Priklady_ze_cviceni

my
• P(x) = x3 − 3x + 1,
• P(x) = x3 −x− 1,
• P(x) = x5 − 3x− 1.
4.3. Zdvojenou Newtonovou metodou najděte záporný kořen polynomu P(x) = −0.2x4 − x2 +
2x + 3. Počáteční aproximaci volte x0 = −16.
4.4. Zdvojenou Newton-Maehlyovou metodou nalezněte všechny kořeny polynomu P(x) = x3 +
x2 − 10x + 8.
4.5. Bairstowovou metodou nalezněte komplexní kořeny polynomů P(x) = x4 − 4x + 1, Q(x) =
x4 − 3x2 + 4x− 1.
5 Systémy lineárních rovnic
5.1. Následující systémy rovnic vyřešte
• Gaussovou eliminační metodou (GEM)
• Gaussovou eliminační metodou s částečným výběrem pivota (GEM – partial pivoting)
• Gaussovou eliminační metodou s úplným výběrem pivota (GEM – total pivoting)



1 −1 2 −1
2 −2 3 −3
1 1 1 0
1 −1 4 3






x1
x2
x3
x4


 =



−8
−20
−2
4





0 1 1
2 2 3
1 2 1




y1
y2
y3

 =


0
1
5


4
Numerické metody I Kamila Vopatová, 2007
5.2. Choleského metodou vyřešte systém rovnic
x1 + 2x2 + 3x3 = 3
2x1 + x2 + 4x3 = 3
3x1 + 4x2 + x3 = 7.
5.3. Choleského metodou vyřešte systém rovnic
2x1 −x2 = 1
−x1 + 4x2 −x3 = 2
−x2 + 2x3 = 1.
5.4. Croutovou metodou řešte systém rovnic



1 1 0 0
2 −1 5 0
0 3 −4 2
0 0 2 6






x1
x2
x3
x4


 =



5
−9
19
2



5.5. Croutovou metodou řešte systém rovnic


4 2 0
2 6 1
0 1 3




x1
x2
x3

 =


−6
5
10


5.6. Určete, zda je matice A konvergentní.
A =
parenleftbigg0.4 0.3
0.5 −0.1
parenrightbigg
5.7. Je dán systém lineárních rovnic
3x1 + 2x2 + 2x3 = 1
2x1 + 3x2 + 2x3 = 0
2x1 + 2x2 + 3x3 = −1.
Najděte jeho řešení pomocí (a) Jacobiho metody, (b) Gauss-Seidelovy metody.
5.8. Jacobiho metodou spočítejte řešení soustavy rovnic
15x1 −x2 + 2x3 = 30
2x1 − 10x2 + x3 = 23
x1 − 3x2 + 18x3 = −22.
5.9. Ověřte podmínku konvergence Jacobiho metody pro daný systém, zvolte x0 = (0,0,0)T a
spočítejte tři aproximace.
20x1 + 3x2 − 5x3 = −12
2x1 + 25x2 − 3x3 = 13
4x1 − 5x2 − 32x3 = 10.
5
Numerické metody I Kamila Vopatová, 2007
5.10. Ověřte podmínku konvergence Gauss-Seidelovy metody pro daný systém, zvolte x0 =
(0,0,0)T a spočítejte řešení s přesností ε = 0.001.
28x1 − 6x2 + 2x3 = 25
2x1 − 30x2 + 4x3 = −10
x1 + 3x2 + 36x3 = −16.
5.11. Jacobiho a Gauss-Seidelovou metodou spočítejte řešení soustavy rovnic
4x1 −x2 = 2
−x1 + 4x2 −x3 = 6
−x2 + 4x3 = 2
5.12. Jacobiho a Gauss-Seidelovou metodou spočítejte řešení soustavy rovnic
4x1 −x2 = 2
−x1 + 4x2 −x3 = 5
−x2 + 4x3 −x4 = 5
−x3 + 4x4 = 2
5.13. Dokažte, že Gauss-Seidelova i Jacobiho metoda divergují


2 −1 1
3 3 9
3 3 5




x1
x2
x3

 =


−1
0
4


5.14. Relaxační metodou s parametrem relaxace ω = 0.5 najděte řešení soustavy rovnic:
10x1 −x2 = 9
−x1 + 10x2 −2x3 = 7
− 2x2 +10x3 = 6.
Spočítejte optimální hodnotu ω a zkuste tuto soustavu řešit s ω = ωopt.
5.15. Spočítejte optimální hodnotu ω pro soustavu
2x1 −x2 = 1
−x1 + 2x2 −x3 = 0
−x2 +2x3 = 1.
5.16. Relaxační metodou s parametrem relaxace ω = 1.25 spočítejte řešení soustavy rovnic:
2x1 + x2 = 5
x1 + 4x2 +x3 = 12
x2 +2x3 = 1.
6