Priklady_ze_cviceni

= 1 vhodná počáteční aproximace pro nalezení kořene funkce f(x) =
x3 −x− 1 metodou regula falsi?
2.16. Metodou regula falsi nejděte největší kořen rovnice sinx− (x− 2)2 = 0.
2.17. Qausi Newtonovou metodou spočítejte kořen rovnice f(x) = 0.7x3 −0.4x+1.8, který leží
v intervalu [−2,−1]. Vyzkoušejte obě varianty metody.
2.18. Vysvětlete, co se stane, když použijeme obě varianty Quasi Newtonovy metody pro nalezení
kořene funkce f(x) = 3x2 −ex s počáteční aproximací x0 = 0. Co se stane, když x0 bude rovno 3?
2.19. Najděte kladný kořen rovnice f(x) = (x2 − 3)3. Kde tento kořen leží? Bude výhodnější
použít Newtonovu metodu pro násobné kořeny nebo „obyčejnoucsquotedblright Newtonovu metodu? Která z
nich konverguje rychleji?
2.20. Aplikujte Steffensenovu metodu na iterační funkci g(x) = 2−x. Kolik aproximací je potřeba
k dosažení přesnosti ε = 10−4? Kolik aproximací bychom potřebovali k dosažení stejné přesnosti
metodou prosté iterace?
2
Numerické metody I Kamila Vopatová, 2007
2.21. Pomocí Steffensenovy metody najděte √3 s počáteční aproximací x0 = 2. Konvergují
nalezené iterační funkce i pro metodu prosté iterace?
2.22. Pomocí Müllerovy metody najděte kořen rovnice x3 − x − 1 = 0. Která z počátečních
aproximací x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 a x0 = −1, x1 = 1, x2 = 2 je vhodnější?
2.23. Libovolnou z výše uvedených metod najděte nejmenší kladný kořen rovnice sin2x = cos3x.
2.24. S přesností ε = 10−2 najděte bod, v němž funkce f(x) = x−ex2 nabývá lokálního maxima.
Zvolte si vhodnou metodu.
3 Systémy nelineárních rovnic
3.1. Metodou prosté iterace pro systémy rovnic spočítejte s přesností ε = 10−4 řešení následují-
cího systému
x = 12(2x−x2 + y),
y = 19(2x−x2 + 8) + 14(4y −y2).
Počáteční aproximaci volte x0 = 1.4, y0 = 2.
3.2. Je možné použít jako stop-kriterium u předchozí úlohy vztah
max{|xk −xk−1|,|yk −yk−1|}?
3.3. Metodou prosté iterace pro systémy rovnic spočítejte s přesností ε = 0.01 řešení následují-
cího systému
3x + x2y − 37 = 0
x2 − 5y = 0.
Kořen leží v oblasti D = [0.5,1] × [0,0.5].
3.4. Pro nalezení řešení (ležícího v prvním kvadrantu) rovnic
x = 18(8x− 4x2 + y2 + 1),
y = 14(2x−x2 + 4y −y2 + 3),
použijte jak prostou iteraci tak Seidelovu metodu a porovnejte oba výsledky.
3.5. Newtonovou metodou pro systém nelineárních rovnic určete řešení soustavy
x2 − 2x−y + 0.5 = 0
x2 + 4y2 − 4 = 0
s počáteční aproximací x0 = 2 a y0 = 0.25.
3.6. Newtonovou metodou pro systém nelineárních rovnic spočítejte řešení soustavy
(x− 1)2 + y2 − 4 = 0
x + (y + 1)2 − 1 = 0
Polohu a počet kořenů odhadněte graficky.
3
Numerické metody I Kamila Vopatová, 2007
3.7. Newtonovou metodou pro systém nelineárních rovnic určete řešení soustavy
x2 −x + y − 0.5 = 0
x2 − 5xy −y = 0
s počáteční aproximací x0 = 1 a y0 = 0.
3.8. Newtonovou metodou pro systém nelineárních rovnic nalezněte řešení soustavy
x2 + y2 = z2
x2 + y2 + z2 = 1
6x− 3y + z = 1
s počáteční aproximací (x0,y0,z0) = (1,0,1).
4 Polynomy
4.1. Určete intervaly, v nichž leží reálné kořeny polynomů
P(x) = 2x5 −x4 + 3x3 + x− 5, Q(x) = x6 − 2x5 + 8x4 + 3x3 −x2 + x− 10.
4.2. Sestrojte Sturmovu posloupnost pro následující polyno