Tesar_-_sbirka

Jiří Tesař















Vypracoval: David Michálek
Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Soustavy lineárních rovnic

Příklad 2 / strana 6
Řešte soustavu rovnic:
123
123
123
3x 6x x 4
x2x x2
2x x 2x 0
3 6 14 1 2 32 1 2 3 2 1 2 32 1 2 32
1 2 32 2 1 20 0 5 4 4 0 5 44 0 5 44
21 20 36 14 012810 0645 41
00
55
/2
+−=
−+ + =
+−=
⎛⎞
⎜⎟
⎛−⎞⎛− ⎞⎛− ⎞⎛− ⎞−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
−
⎝
∼∼ ∼∼
⎠
s r
h h n 3 soustava má jedno řeše===⇒

3
2
33
23 2 2 2
131 12 1
41
x/5 4x1
55
1
5x 3 x 4 5x 4 4 5x 1 4
S
5x 5
4
13
x2x3x2 x213 2 x
ousta
2
va rovnic má jedno řešen
x
x1
x2
44
í;;.
−= ⋅ −=⇒
⎛⎞
+⋅ = +⋅− = −= = ⇒
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−+ +⋅= −+⋅+⋅− = − +−
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
=⇒
⎜⎟
⎝⎠
31
1
44
ní
1
4
3
4
=−
=
=−
Příklad 3 / strana 6
Řešte soustavu rovnic:
12 3
12 3
12 3
231
123 231 231
2x x 3x 3
3x x 5x 0
4x x x 3
xxx
xxx xxx xxx
2133 1530 1530 1530
3150 1143 0473 0473
4113 1323 02533
00
22
−+ =
+− =
−+ =
⎛⎞
⎜⎟
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−−−
⎜⎟
−− − −
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎜⎟
⎝

⎠
s r
hhn3 jedno eř=== ⇒
∼∼∼
šení
David Michálek strana 1

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()
11
31 3 3 3
231 2 2 2
1
3
2
1
1
2
=
33
x/2 3x3
22
4x 7x 3 4x 7 1 3 4x 7 3 4x 4
x5x3x0 x51310 x530 x
Soustava rovnic má jedno ře
x
x
x
šení ; ;
2
.
0
=⋅ =⇒
−+= −+⋅= −+= −=−⇒
−+= −⋅+⋅= −+= −=⇒
=
=

121


Příklad 4 / strana 6
Řešte soustavu rovnic:

12
123
12
rs
hhn jednořešení== ⇒
1
5
3
x2
=
3
3
3x 2x 12
5x 4x x 17
x2x5x3
125331253 125331253
5 4 1 17 0 6 26 148 0 3 13 74 0 3 13 74
32012 041587 041587 735
00
33
735
x
/2
/3 7
33
+=
+−=
++=
⎛⎞
⎜⎟
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
−−−− −−−−−
⎜⎟
−− − −−−
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎝⎠
=⋅
∼∼∼
()
33
23 2 2 2
123 1 1
2
Soustava rovnic má jedno řešení ; ;
x35
3x 13x 74 3x 13 5 74 3x 65 74 3x 9
x2x5x3 x235
x
x
5 33 x 31 33
.
=⇒
−− =− −−⋅=− −−=− −=−⇒
++= +⋅
=
=+⋅= + = ⇒
235

Příklad 5 / strana 6
Řešte soustavu rovnic:

123
1
213
23
xx5x1
3x 4x 7x 2
6x 8x 9x 4
1151 11 5 1 11 5 1
3472 01 8 1 01 8 1
6894 02 212 00 5 0
++=
++=
++=
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
−− −−
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
−− −
⎝⎠⎝ ⎝

⎠ ⎠
∼∼
s r
hhn3 jednořešení== ⇒=
David Michálek strana 2

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()
3
23 2
12 3 1
3
1
2
0
1
x2
=
=−
1
5x 0
x8x 1 x80 1
xx5x1 x
x
Soustava rovnic má jedno řeš
1501
x
x1
ení ;
1
;
−= ⇒
−=− −⋅=−⇒
++ = −+⋅= −= ⇒ =

−210


Příklad 6 / strana 6
Řešte soustavu rovnic:
sr sr
2
h h 2 n 3 h h n nekonečně mnoho řenše í== = =< ⇒
12 3
12 3
12 3
3232 2
xx2x 1
2x x 2x 4
4x x 6x 2
1 121 1 1 21 1 1 21
2124 0326 0326
4162 0326 0000
zvolíme x 1 3x 2x 6 3x 2 1 6 3 x4x
++ =
−+ =−
++ =−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−− −−− −−−
−−−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
=⇒−−=− −−⋅=−−= =−⇒
∼∼
12 3 1 1
Soustava rovn
410
xx2x1x 211 x 1
3
ic má řešení např.: ; .;
3
++ = ++⋅= +=
⎛⎞
∞−
⎜⎟
⎝⎠
⇒
74
1
33
1
x
7
3
4
3
=−

Příklad 7 / strana 7
Řešte soustavu rovnic:

1234
1234
1234
1234
1234 2341 2341
2x x x x 1
3x 2x 2x 3x 2
5x x x 2x 1
2x x x 3x 4
xxxx xxxx xxxx
21111 11121 11121
32232 22332 00174
5 1121 11251 00 110
2 1134 11324 00245
+−+=
−+−=
+−+=
−+−=
⎛⎞⎛ ⎞⎛
⎜⎟⎜ ⎟⎜
−− −
−− −− −
⎜⎟⎜ ⎟⎜
−− −− −
⎝⎠⎝ ⎠⎝
∼∼
2341
xxxx
11121
00245
00 110
00 174
⎞ ⎛⎞
⎟⎜ ⎟
−
⎟⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟
−
⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜
−
⎠ ⎝⎠
∼

David Michálek strana 3

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 8 / strana 7
Řešte soustavu rovnic:
134
12 3 5
12 345
12 3 5
12345 23451 2345
3x 2x 2x 7
2x x 5x 2x 5
7x 2x 12x 2x 4x 17
6x 3x 15x 6x 15
xxxxx xxxxx xxxx
302207 150225
215025 21224717
7 2 12 2 4 17 3 15 0 6 6 15
6 3150615 022037
++ − =
−+ +=
−+ −+=
−+ +=
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−−
−−−
−− −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼∼
sr sr
h h 2 n 5 h h n nekonečně mnoho řešeín== = =< ⇒
1
23 451 23451
x
15 0225
022037
000000
022037
xxxxx xxxxx
15 0225 15 0225
0 2 2 0 37 0 2 2 0 37
022037 000000
000
zvolíme
000 00 000
3
0
n
⎛⎞
⎜⎟
−
−
⎜⎟
−
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−−
−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼
∼∼
()
()
3451 3 3
23451 2
1 4
22
5
2
45
2x 2x 0x 3x 7 2x 2 1 0 3 7 2x 2 0 5 7
33
45 810
x5x0x2x2x5 x50012 2 5 x 5
33
54
eznámé :
3
x;x;x1
33
S
x
oustava rovnic má řešení např.: ; ;
3
18
x5x
;;
65
3
− + + = −⋅−+⋅+⋅= +++= ⇒
− + + + + = − +⋅+⋅−+⋅+⋅= − ++ =
−
===−
⎛
+= −+=
⎞
3
2
0
x 1
=
∞
⎜
⇒
−
⎝
54
10 1
33
.
⎟
⎠
=


Příklad 9 / strana 7
Řešte soustavu rovnic:
2x 3y z 4
x2y2z
5x y 4z 21
++=
++=
++=
6



David Michálek strana 4

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady


Příklad 10 / strana 7
Řešte soustavu rovnic:
sr sr
volíme např.:z 1=
2x =
3x 5y z+−=0
x2yz5
4x 3y 5
3510 1215 12 1 5 12 1 5
1215 4305 011415 011415
4305 35
h h 2 n 3 h h n nekonečně mnoho řeše
10 01 415 0000
11y 4z
n
15 1 y
í
1
−+=
+=
⎛−⎞⎛−⎞⎛− ⎞⎛− ⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−
−−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
−=−
== = =< ⇒
−
∼∼ ∼
()
()
4 1 15 11y 4 15 11y 11
x2yz5 x2 1 15 x215 x3
Soustava rovnic má řešení např.: ; ;
y1
.
5
⋅ =− − =− =− ⇒
−+= −⋅−+= ++=
∞−
+= ⇒
=−
211


říklad 11 / strana 8


P
Řešte soustavu rovnic:
3x 5y z−+=0
2x 2y 3z 5
xyz4
3510 1114 1114 1114
2235 3510 08412 08412
1114 2235 0453 0453
−+=
+−=
⎛ − ⎞⎛ − ⎞⎛ − ⎞⎛ − ⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
− − −− −−
− − −− −−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
∼∼ ∼ ∼



sr
7z 21 z3
y3
2314 1226 1 2 2 6 1 2 2 6 1 2 2 6
122 6 5 1421 0 9 6 9 0 1 3 8 0 1 3 8
51421 2314 0 1 38 0 3 2 3 0 0 721
y3z 8
/3
hhn3 jednořešení
y13 8 y9 8
x2y2z
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
− −− − −− − −−
−−− −−−
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
−− =− ⋅=−
=== ⇒
=−−−=− ⇒
++
∼∼ ∼ ∼
()
()
Soust
6x2
ava
1
rovnic má jedno
23 6 x 2 6 4
ře
x26
šení ; ; .
=+⋅−+⋅= −+
−
==⇒
213
=⇒
−−
=
6 x=+
David Michálek strana 5

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()
sr
/: 6
hhn3 jednořešen
1114 1114 1114
0453 0453 0453
08412 0066 0011
zmatice vyplývá :
4y 5−+
í
z 3 4y 5 1 3 4y 5 3 4y 8
xyz4 x21
Sousta
4x1
va rovn
4
ic
z1
y2
x3
⎛−⎞⎛−⎞⎛−⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−− −− −−
−− −−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
=−−+⋅=−−+=−−=−⇒
+−= +−= += ⇒
−
=== ⇒
=
=
=
∼∼ ∼
()
má jedno řešení ; ; .321


říklad 12 / strana 8



P
Řešte soustavu rovnic:
x3y5z−+=
()
sr
zmatice vyplý
2
51
vá :
1,1
0
⋅−=7
x1,4
−
=
8
xyz1
2x y z 3
1358 1358 1358
1111 0247 0247
2113 07919 0051
2
hhn3 jednořešení
11
11
z1,1
11
5z / :5
2
2y 4z 7 2y 4
−
−+ − =
++=
⎛⎞
⎜⎟
⎛ − −⎞ ⎛ − −⎞ − −
⎜⎟⎜⎟
−− −− −−
⎜⎟
−
⎝
=== ⇒
=−
⎠⎝ ⎠
−
⎝⎠
=− ⇒
−+=− −+
=− =−
∼∼
()
2y4,72y2,6
x 3y 5z 8 x 3 1, 3 5 1,1 8 x 3, 9 5
y1,3
S
,5 8 x 9,
oustava rovnic má jedno řešení , ; , ;
4 8
,.
−−=−−=− ⇒
−+=− −⋅+⋅− =− −
=
−=− −
−
=− ⇒
14 13 11







David Michálek strana 6

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 13 / strana 8
Řešte soustavu rovnic:
123
x2x x−+
4
234
12 4
234
x 4
xxx3
x3x 3x 1
7x 3x x 3
12344 1234
/:
412344
01113 01113 01113
13031 05313 002412
07313 07313 004824
1234
0
2
111
002
−=
−+=−
+−
−++=−
⎛− − ⎞⎛− − ⎞⎛− − ⎞
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
−− −− − −
−
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
−−− −−
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
−−
−
∼∼ ∼
∼
()
sr
34 3 3 3
234 2
3
2
sr
h h 3 n 4 h h n nekonečně mnoho řešení
412344
301113
412 0 0 2 412
002412 00000
plý
2x 4x 4 2 12 2x 8 12 2x 4
xxx 3x22 3x4
x2
⎛⎞⎛−⎞
⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠
− −⋅−= += =⇒
− + =− − − =−
== = =< ⇒
=
−=−
∼
()
()
1234 1
1
2
1
1
3
x2x3x4x 4x2324 24x 6
x
Soustava rov
1
x
nic m ení na
84
x12
př.: ; ; ; .
4 8
⇒
− + − = −+⋅−⋅−= +=
+= ⇒
=
=−
−−812 2


říklad 15 / strana 9

4
x2volíme a z matice vy vá :
12 2x=
=−
2
á řeš
−+
∞
P
Řešte soustavu rovnic:
x2y z+−
()
sr sr
0
3x y 2z 0
11x y 4z 0
1 2 10 1 2 10 1 2
/:
h h 2 n 3 h h n nekoneč
10 1 2 10
3 1 20 0 7 50 0 7 50 0 7 50
ně mnoh
11 1 4 0 0 21 15 0 0 7 5 0 0 0
o řešen
0
í
0
=
−+=
++=
⎛ − ⎞⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞⎛ − ⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−
−−
⎝⎠⎝⎠⎝
−
== = =<
⎠ ⎝⎠
3
∼∼∼
⇒
David Michálek strana 7

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
volíme z 1, z matice vyplývá :
7y 5z 0 7y 5 1 0 7y 5 0 7y 5
553
x2yz0x210x210x 0
Soustava rovnic má řešení nap
777
ř.: ; ; .
5
7
3
x
7
=
=−
y
=
−+= −+⋅= −+= −=−⇒
+−= +⋅−= +⋅−= +=
⎛⎞
∞−
⎜⎟
⎠
⇒
⎝
35
1
77


Příklad 16 / strana 9
Řešte soustavu rovnic:
1234
1234
1234
13
3x x x x 0
xxx2x0
5x 2x x x 0
3x 5x 0
31110 11320 11 3 20
1 1 3 2 0 5 2 1 1 0 0 7 14 11 0
52110 30500 03 4 60
30500 31110 0410 50
11 3 2
07141
03 4 6
0410
+−+=
−++=
++−=
+=
⎛−⎞⎛− ⎞⎛− ⎞
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
−−−
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
−−
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
−
−−
−−
−−
∼∼ ∼
∼
()
sr sr
h h 3 n 4 h h n nekonečně mnoho řešení== = =< ⇒
2
1
1,8
8
x3
=−
=−
=
4
34 3
11 3 2
00
11 3 2
0
07141
0 7 14 11
0
9
900 2
0 00 2
7
7
50 9
00 0 000 2
7
volíme x 2,8 , z matice vyplývá :
99
2x x 0 2x 2,8
77
−
⎛⎞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎛⎞
⎜⎟−−
−−⎜⎟
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−
⎝⎠
⎝⎠
=−
− =−⋅−=
∼∼
() ()
()()
33
23
3
42 2
22
12 3141
1
02x3,602x 3,6
7x 14x 11x 0 7x 14 1,8 11 2,8 0 7x 25,2 30,8 0
7x 5
Soustava rovnic má řešení např
60 7x 56
xx3x2x 0x83 1,82 2,80x85
x
x
,
.: ; ; ,
45,6
x30
,
0
;
+= =− ⇒
−−= −⋅−−⋅−= ++=
+= =− ⇒
−+ + = ++⋅− +⋅− = +− − =
−=
∞−−−
⇒
38182
()
.8


David Michálek strana 8

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 17 / strana 9
Řešte soustavu rovnic:
1234
1234
1234
1234
2x 3x 4x 5x 26
3x 4x 5x 2x 25
4x 5x 2x 3x 24
5x 2x 3x 4x 23
2 3 4 5 26 2 3 4 5 26 2 3 4 5
3 4 5 2 25 0 0,5 1 5,5 14 0 1 6 7
4 5 2 3 24 0 1 6 7 28 0 0,5 1 5,5
5 2 3 4 23 0 5,5 7 8,5 42 0 5,5 7
+++=
+++=
+++=
+++=
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
−−−− −−−
−− −− − −−
⎜⎟⎜ ⎟
−−−− −−−
⎝⎠⎝ ⎠
∼∼
26
28
14
8,5 42
⎛⎞
⎜⎟
−
−
−
⎝⎠
∼

4
34 3
sr
hhn4 jednořešení
2
=== ⇒
=
3
2
x2
2
1
=
=
=
4
234526 234526 234526
016728 016728 016728
0022 0 0022 0 0022 0
0 0 26 30 112 0 0 13 15 56 0 0 0 28 56
zmaticevyplývá:
28x 56
2x
/
2x 0 2x 2
:2
x
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−−− −−−− −−−−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
=⇒
−= −
∼∼∼
()
33
234 22
22
12 34 1
1
1
11
20 2x 40 2x 4
x6x7x 28 x6272 28 x1214 28
x26 28 x 2
2x 3x 4x 5x 26 2x 3 2 4 2 5 2 26 2x 6 8 10 26
2
Soustava rovnic má jedno řeše
x2426 2
ní ; ; ;
x
xx2
.
⋅= −= = ⇒
−− − =− −−⋅−⋅=− −−−=−
−−=− −=−⇒
+++= +⋅+⋅+⋅= +++=
+= =⇒
1 222
0
0



Příklad 18 / strana 9
Řešte soustavu rovnic:
x3y2z
2x y 3z 0
3x 5y 4z 0
x17y4z
++=
−+=
−+=
++=






David Michálek strana 9

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
sr sr
hh2 n3 hhn nekonečně mnoho řešení
1
= ⇒== =<
=
11x =
1 3 20 1 3 20 1 3 20
2130 0 710 0710
3540 01420 0000
11740 0 14 20 0 0 00
volíme z 7 , z matice vyplývá :
7y z 0 7y 7 0 7y 7
x3y2z
y
0
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
−−−−
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
=−
−−= −+=−=−⇒
++=
∼∼
()
()
Soustava rovni
x312 7 0 x
cmá řešení např.: ; ;
314 0
.∞
+⋅+⋅− = +− ⇒=
−11 1 7


































David Michálek strana 10

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Vektory

Příklad 1 / strana 17
110 1 0
2300 11010 11010 11010 11010
017 20
5 7 00 2 3 00 0 17 20 0 17 20 0 17 20
7
00 0
6010 6010 063 70 0 0 70 0 0 70
17
1 10 1 0 5 7 0 0 0 43 4 0 18 0 0 18 0 0 0 0 0
00 0
17
⎛⎞
⎜⎟
Zjistěte, zda vektory a (2; 3; 0), b (5; 7; 0), c (-6; 0; 1) a d (1; 10; 1) jsou lineárně
závislé.
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−−
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−− −− −−
−
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−− − −
−−
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜⎟
⎝⎠
∼∼ ∼ ∼ ∼
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


⎝⎠


Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 4 ⇒ h < n ⇒ vektory jsou
lineárně závislé.

Příklad 2 / strana 17
Zjistěte, zda vektory a (3; 2; 0; 1), b (1; 0; 0; 1), c (2; 4; 2; 1) a d (5; 2; 3; 1) jsou
lineárně závislé.

⎛

⎜


⎜
⎝
1001 100 1 100 1 100 1
3201 020 2 020 2 020 2
2421 042 1 002 3 002 3
5231 023 4 003 2 000 6,5
Hodnost matice h = 4 a počet uvažovaných vektorů n = 4 ⇒ h = n ⇒ vektory jsou
lineárně nezávislé.

Příklad 3 / strana 17
Zjistěte, zda vektory a (1; 0; 0), b (2; -1; 1) a c (1; 1; 3) jsou lineárně závislé.

⎛

⎜

⎜
⎝
⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
−− −
∼∼∼
−
⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
−−−
⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎜
−
400
110
001
310
110
001
311
112
001
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ⇒ h = n ⇒ vektory jsou
lineárně nezávislé.

David Michálek strana 11

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 4 / strana 17
Zjistěte, zda vektory a (1; 0; -2), b (3; 1; 0) a c (-2; 1; 10) jsou lineárně závislé.

⎛

⎜
⎝
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
Hodnost matice h = 2 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ⇒ h < n ⇒ vektory jsou
lineárně závislé.

Příklad 5 / strana 17
Zjistěte, zda vektory a (5; 2; -2), b (3; 1; -1) a c (-1; 0; 0) jsou lineárně závislé.

⎛

⎜

⎜
⎝
Hodnost matice h = 2 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ⇒ h < n ⇒ vektory jsou
lineárně závislé.

Příklad 6 / strana 18
Zjistěte, zda vektory a (3; 2; 1), b (1; -2; 2) a c (1; 2; -3) jsou lineárně závislé.

⎛

⎜

⎜
⎝
⎜
−
−
000
610
201
610
610
201
1012
013
201
⎜
−
−
−
000
110
001
220
110
001
225
113
001
001
113
225
⎜
−
−
500
540
321
1040
540
321
123
221
321
321
221
123
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ⇒ h = n ⇒ vektory jsou
lineárně nezávislé.

Příklad 7 / strana 18
Zjistěte, zda vektory a (2; 3; 0), b (5; 7; 0) a c (0; 1; 2) jsou lineárně závislé.




yz x
xyz yzx y z x
12 0
230 120 1 2 0
0145
570 705 0 145
1
012 302 0 6 2 00
7
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
∼∼ ∼
−
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
−
⎜⎟
− −
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
David Michálek strana 12

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ⇒ h = n ⇒ vektory jsou
lineárně nezávislé.


Příklad 8 / strana 18
Zjistěte, zda vektory a (2; 1; 0), b (3; 3; 2) a c (1; 2; 1) jsou lineárně závislé.

⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∼
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
100
130
121
230
130
121
012
233
121
121
233
012

⎜
⎜

⎜
⎝
Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ⇒ h = n ⇒ vektory jsou
lineárně nezávislé.

Příklad 9 / strana 18
Určete z-ovou souřadnici vektoru a tak, aby vektory a (4; 1; a
z
), b (2; -1; -3) a c (-1; -
1; -1/2) byly lineárně závislé.

() ()[]
2−=⇒=+=+−
=+−⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−−
−−−
∼
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−−
∼
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
∼
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞





Příklad 10 / strana 18
Určete souřadnici x vektoru a tak, aby vektory a (a
x
; 1; -2), b (1; 2; -3/2) a c
(2; 2; 1) byly lineárně závislé.






⎜
⎝
⎜
⎜
−−−
−−
zzz
z
zzz
z
a02a042
042a
42a00
430
2
1
11
2a30
430
2
1
11
a14
312
2
1
11
2
1
11
312
a14
⎛
⎜
a
() ()[]
()[]
0=⇒=−+
=−+⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
∼
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∼
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
∼
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
−
xx
x
xx
x
x
a044
044a
44a00
450
221
xyz
4a50
450
221
xyz
a12
12
2
3
221
xyz
122
2
3
21
21a
zyx
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
⎝
a
David Michálek strana 13

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 12 / strana 19
Je dán bod M (5; -3; 4) [m], určete délku ⏐OM⏐ a jeho směrové úhly a výsledek
ověřte.
()
2
22
1
2
3
OM 5 3 4 25 9 16 50 ,
a5
cos ,
7,0711
OM
a 3
cos , ´
7,0711
OM
a 4
cos , ´
7,0711
OM
=+−+=++==
α= = = α= °
−
β= = =− β= °
γ= = = γ= °
70711m
07071 45
04243 115 6
05657 55 33
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull








Příklad 15 / strana 19
Síla F (2; 3; 2) [N] posunula těleso z bodu A (3; 0; 1) [m] po přímce do bodu B (1; 2;
3). Jakou přitom vykonala práci?

()()()( ) ( ) ( )( )
()
()()()()
11 2 2 33
11 2 2 33
sA
nullnull
BBA b a;b a;b a 13;20;31
2; 2; 2
.s F.s F.s F.s 2.2 3.22.2 462
==−=− − −=− − −=
== + + =−++=−++=6J
nullnullnull
nullnull

=−

WF


Příklad 16 / strana 19
Určete práci, kterou vykoná síla F (5; 3; 1) [N] působící z bodu X (0; 0; 1) [m] po přímé dráze do
bodu Y (1; 1; 3) [m] a určete úhel, který svírá síla F a dráha s.
()()()( ) ( ) ( )( )
()[]
()()()
11 2 2 33
11 2 2 3 3
222222
sX






YYX y x;y x;y x 10;10;31
1; 1; 2 N
F.s F .s F .s F .s 5.1 3.1 1.2 5 3 2
W10 10
.s.cos cos
25 9 1. 1 1 4F.s
531.11
10 10 10
0,6901 =
5,9161.2,4495 14,4915
35. 6
==−=− − −=− − −=
== + + =++=++=
=ϕ⇒ϕ== = =
++ ++
++ ++
== ϕ
10J
null nullnullnullnull
nullnull
nullnull
nullnull
´°46 21
=
W
WF
==



David Michálek strana 14

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 17 / strana 19
Chlapec táhne sáňky do kopce silou F (100; 0; 20) [N] po dráze s (20; 0; 1) [m]. Jakou vykoná práci
a jaký úhel svírá F a s?

()()()
11 2 2 33
22 2 222
W





F.s F .s F .s F .s 100.20 0.0 20.1 2000 0 20
W 2020 2020
WF.s.cos cos
10000 400. 400 1F.s
100020.2001
2020 2020 2020
0,9891 = ´
101,9804.20,025 2042,1575
10400. 401
== + + = ++ = ++=
=ϕ⇒ϕ== = =
++
++ ++
==ϕ°
2020 J
828
nullnull
nullnull
nullnull
==
Příklad 18 / strana 19
Určete práci, kterou vykoná síla F = 6 N o směrových úhlech 45°; 60°; 60° jestliže působí po dráze
s =
(
[
)
]
52; 6;3m− . Dále určete jaký úhel svírají F a s.

[]
()()() ()
1
1
2
2
3
3
11 2 2 33
f 2

cos f cos . F cos 45 .6 .6
2
F
f
f cos . F cos 60 .6 0,5.6
F
f
f cos . F cos 60 .6 0,5.6
F
;N
2
F.s F.s F.s F.s 6 .523.6 3.330189
2
.s.cos cos
α= ⇒ = α = ° = =
β= ⇒ = β = ° = =
γ= ⇒ = γ = ° = =
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
== + + = +−+=−+=
=ϕ⇒
2
6
2
3
3
2
633
2
21 J
null
null
null
null
null
null
n