Tesar_-_sbirka

ullnull
nullnull


cos


cos


F;
null


W


WF
()
()






Příklad 19 / strana 20
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla F (3; 2; 1) [N] působící po dráze s (1; 2; 3) [m]. Určete úhel,
který svírají F a s.
2
2
2
22 2
W21
F.s
2
633.5 63
2
21 21 21 21
0,3591 ´
6.9,7468 58,4808
1899.50369 36.95
ϕ= = =
⎛⎞
++ +−+
⎜⎟
⎝⎠
===ϕ=°
++ + +
68 57
nullnull
()()
==
( )



()
11 2 2 33
222222
2
W F.s F .s F .s F .s 3.1 2.2 1.3 3 4 3
W10 1010
WF.s.cos cos
941.149 14.14F.s
321.123
10 10
0,7143 = ° ´
14
14
== + + =++=++=
=ϕ⇒ϕ== = ==
++ ++
++ ++
=== ϕ
10 J
44 24
nullnull
nullnull
nullnull
David Michálek strana 15
Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 20 / strana 20
Vypočítejte práci, kterou vykoná síla F (5; 1; 1) [N] působící po dráze s (3; 5; 5) [m] a určete úhel,
který svírají F a s.

()()()
11 2 2 33
222 2 2 2
F.s F .s F .s F .s 5.3 1.5 1.5 15 5 5
W2 25
.s.cos cos
25 1 1. 9 25 25F.s
511.355
25 25 25
0,6264 = ° ´
5,1962.7,6811 39,9128
27. 59
== + + =++=++=
=ϕ⇒ϕ== = =
++ + +
++ ++
== ϕ
25 J
51 13
nullnull
nullnull
nullnull

W

WF


==

Příklad 21 / strana 20
Jakou potenciální energii (v homogenním gravitačním poli) získá těleso o hmotnosti m = 5 kg,
pohybuje-li se z počátku souřadnicového systému do bodu X (3; 1; 2) [m] ? Jaký úhel svírá dráha
uvedeného pohybu svislým směrem daný osou z? Orientace gravitačního pole je dána kladným
směrem osy z.
[ ]
[]
()()()()()()()[]
()()()
p
2
123
p1123

Em



.g.hJ
(0;0;10) m.s F m.g 5.(0; 0; 10) 5.0 5.0 5.10 ( ; ; )
XX0 x 0;x 0;x 0 30;10;20 ;; m
F.s F .s F .s F .s 0.3 0.1 50.2 0 0 100
−
=
=⇒===+=
==−= − − −=− − −=
== + + =++ =++=
0050 N
312
100 J
nullnull
nullnullnull
nullnullnull
nullnull
g
h0
nullnull
E

Příklad 23 / strana 21
Síla F = 4 N o směrových úhlech (60°; 60°; 45°) způsobí posunutí s(1;2;2)=−
null
[m]. Jakou při tom
vykoná práci?
[]
()()()()
1
1
2
2
3
3
11 2 2 33
f
cos f cos . F cos 60 .4 0,5.4
F
f
cos f cos . F cos 60 .4 0,5.4
F
f 2
cos f cos . F cos 45 .4 .4
2
F
F;; N
2
WF.s F.s F.s F.s 2.1 2.24 .2 244
2
α= ⇒ = α = ° = =
β= ⇒ = β = ° = =
γ= ⇒ = γ = ° = =
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
== + + =−++ =−++=
2
2
2
4
2
2
224
2
6J
null
null
null
null
null
null
null
nullnull












David Michálek strana 16

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 24 / strana 21
Síla F (-3; -1; 0) [N] způsobí posunutí hmotného bodu po dráze s (-1; -3; 2) [m]. Jakou vykoná
práci, jaký úhel svírá F a s.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()() ()()
11 2 2 33
22 22
22
F.s F .s F .s F .s 3. 1 1 . 3 0.2 3 3 0
W6 6
.s.cos cos
910.194F.s
310.132
666
0,4899 = ° ´
3,1623.3,873 12,2476
10. 15
== + + =−−+−−+=++=
=ϕ⇒ϕ== = =
++ ++
−+−+ −+−+
== ϕ
6J
60 39
nullnull
nullnull
nullnull
W


WF


==



Příklad 25 / strana 21
Hmotný bod se pohybuje z počátku do bodu M (10; -10; 20) [m] za působení stálé
síly. Určete velikost této síly, jestliže svírá se směrem dráhy úhel α = 60° a vykoná
práci W = 6 J.

()()()( ) ( ) ( )( ) ()[ ]
()
123
2
22
s
nullnull
0M M0 m 0;m 0;m 0 100; 100;200 ; ; m
W6 6
.s.cos F
100 100 400.0,5s.cos
10 10 20 .cos 60
666
,
24,4949.0,5 12,2475600.0,5
==−= − − −=−−− −=−
=α⇒== = =
++α
+− + °
==
10 10 20
0 4899N
nullnullnull
nullnull null
null

WF


==



Příklad 26 / strana 21
Určete skalární a vektorový součin vektorů a (3; -2; 0) a b (3; 0; 2).

()
()() () (
11 2 2 33
23 13 12
123
23 13 12
123




)
ba.b a.b a.b 3.3 2.00.2900
ijk
aa aa aa
a a a i j k
bb bb bb
bbb
20 30 3 2
ijk 40i60j06k ;;
02 32 30
⋅= + + = +− + =++=
×= =⋅ −⋅ +⋅ =
−−
=⋅ −⋅ +⋅ =−+ − − + −− =− − + =−−⎡⎤
⎣⎦
9
4i 6
a
nullnull
ab
nullnull
j 6k 4 6 6


David Michálek strana 17

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 27 / strana 21
Vypočtěte: , pro a (2; -3; 1) a b (3; 0; 0).
()(
ab ab+×−
nullnull nullnull
)








Příklad 28 / strana 21
Vypočtěte: , pro u (1; 2; 3), v (2; 3; 1) a z (3; 1; 2).
()
uv z××
nullnull null









Příklad 29 / strana 21
Určete vektorový a skalární součin vektorů a (-1; 2; 4) a b (5; 4; 8)






()( )
()
112 233
112 23 3
a b;a b;a b 23;30;10 ; ;
a b;a b;a b 23;30;10 ; ;
+= + + + = +−+ + = −
−= − − − = −−− − =−−
531
131
nullnull
ab
nullnull
ab
()( )
()
()()
ab
nullnull
() () ( ) ( )
112 233
112 233
a b;a b;a b 23;30;10 ; ;
a b;a b;a b 23;30;10 ; ;
ijk
31 5 1 5 3
ab ab 5 31 i j k
31 11 1 3
131
33i51j 153k ;;
+= + + + = +−+ + = −
−= − − − = −−− − =−−
−−
+×−= − =⋅ −⋅ +⋅ =
−−−−
−−
−− − −− + − − = − − = − −⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
531
131
0i 6j 18k 0 6 18
nullnull
nullnull nullnull
ab
=−
() ()
()()()
()
()
() () ( ) ( )
u v z nejprve vypočítáme u v
ijk
23 13 12
123 i j k 29i 16j 34k
31 21 23
231
;;
ijk
51 71 75
uv z 75 1 i j k
12 3 2 31
312
10 1 i 14 3 j 7 15 k ; ;
×× ×
× = =⋅ −⋅ +⋅ = − − − + − =
+ − = − −
−−−−
××=− −=⋅ −⋅ +⋅ =
=−−−−−−+−− =+− = −⎡⎤⎡ ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
7i 5j k 7 5 1
11i 11j 22k 11 11 22
nullnull null nullnull
nullnull null
uv
nullnull
=−
()()() (
()
23 13 12
123
23 13 12
123
11 2 2 33
ijk ijk
aa aa aa
)
a a a 124 i j k
bb bb bb
bbb 548
24 14 12
i j k 1616i 820j 410k ; ;
48 5 8 5 4
b a .b a .b a .b 1 .5 2.4 4.8 5 8 32
×= =− =⋅ −⋅ +⋅ =
−−
−⋅ +⋅ = − −−− +−− = + − = −
⋅= + + =− + + =−++ =
0i 28
ab
j=⋅
a
14k 0 28 14
35
nullnull
nullnull
David Michálek strana 18

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 30 / strana 22
Určete vektorový a skalární součin vektorů u (1; 2; 3) a v (2; 3; 4).






Příklad 31 / strana 22
Určete vektorový a skalární součin vektorů x (-1; 2; 3) a y (2; 0; 5).






Příklad 32 / strana 22
Jsou dány vektory a . Vypočítejte ( 2; 4;1) a b (0; 3;8)−− −
nullnull
( )(
ab a a ba b
)
× ×××
null nullnull nullnullnull
.












11 2 2 33
u u .v u .v u .v 1.2 2.3 3.4 2 6 12⋅= + + = + + =++ =20u
nullnull
()()() (
23 13 12
123
23 13 12
123
ijkijk
uu uu uu
uv u u u 123 i j k
vv vv vv
vvv 234
23 13 12
ijk 89i46j34k ;
34 24 23
×= = =⋅ −⋅ +⋅ =
=⋅ −⋅ +⋅ = − − − + − =−+ − =− −i2
nullnull
)
j k121
()()() (
()
23 13 12
123
23 13 12
123
11 2 2 33
ijk ijk
xx xx xx
)
x x x 123 i j k
yy yy yy
yyy 205
23 13 12
ij k 10i56j04k ;;
05 2 5 2 0
y x .y x .y x .y 1 .2 2.0 3.5 2 0 15
× = =− =⋅ −⋅ +⋅ =
−−
−⋅ +⋅ = − −−− + − = + − = −
⋅= + + =− + + =−++ =
10i 11
xy
j=⋅
x
4k 10 11 4
13
nullnull
nullnull
() ()
() ( )( ) ( )
()
()
123
123
a b a nejprve vypočítáme a b
ijk i jk
41 21 2 4
a a a 2 41 i j k
38 0 8 0 3
bbb 0 38
32 3 i 16 0 j 6 0 k ; ;
ijk
16 6 29 6 29 16
ab a 2916 6 i j k
41 2 1 2 4
241
16 24
×× ×
−−−−
×= =−−=⋅−⋅+⋅ =
−
−− −− − + − =− + + =−⎡⎤
⎣⎦
−−
××=− =⋅ −⋅ +⋅ =
−− −−
−−
−⎡
29i 16j 6k 29 16 6
nullnull null nullnull
nullnull null
()() ( )
() ()
ab
nullnull
=−
=−
() ()( ) ( )
123
123
i 29 12 j 116 32 k ; ;
b a b nejprve vypočítáme b a
ijk i jk
38 0 8 0 3
b b b 0 3 8 i j k
41 21 2 4
aaa 2 41
332i016j06k ;;
−− + + + = + + =⎤
⎣⎦
×× ×
−−
×= = − =⋅ −⋅ +⋅ =
−−−−
−−
−− − −− + − = − − = − −⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
40i 17j
ba
=−
148k 40 17 148
29i 16j 6k 29 16 6
nullnull null nullnull
nullnull
David Michálek strana 19

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()
()()() (
ijk
16 6 29 6 29 16
ba b 29 16 6 i j k
38 08 0 3
038
128 18 i 232 0 j 87 0 k ; ;
−− − −
××= − −=⋅ −⋅ +⋅ =
−
=− − − − +− − =− − − =− − −146i 232 )j 87k 146 232 87
nullnull null


Příklad 33 / strana 22
Pomocí vektorového počtu dokažte, že trojúhelník ABC, s vrcholy A (3; 6), B (-4; 3)
a C (1; 1), je pravoúhlý a vypočtěte jeho obsah.

B (-4; 3)



Důkaz, že je trojúhelník
pravoúhlý provedeme s pomocí
Pythagorovy věty .
2 2 2
c =a +b
Nejprve zjistíme velikosti
vektorů a, b, c
nullnullnull
:




Bude-li se
222
abc+=
nullnullnull
pak je pravoúhlý. ABCnull








X
A (3; 6)
C (1; 1)
•
•
C
v
aBC=
null nullnullnullnull
cAB=
() ( ) ()
() ()
()()
()(
null nullnullnullnull
b CA=
null nullnullnullnull
α
β
)
;6,B 4;3,C1;1
CCB 1 4;13 ;
AAC 31;61 ;
BBA 43;36 ;
==−=
==−=−−−=−
==−=−−=
==−=−−−=−−
52
25
73
nullnullnullnull
nullnullnullnull
nullnullnull
A3
aB
null
bC
null
cA
nullnull
γ
2
γ
c
cAB
v
22
==
nullnullnullnullnull
()
()()
2
22 2
xy
22 22
xy
22
22
aa
xy
nullnullnullnullnullc > a a c > b ⇒ c=pře
a 5 2
b 5
c 7 3
=+=+−=
=+=+=
=+=−+−=
29
29
58
null
null
bb
cc
null
pona
()()( )
()
222
c
abcazároveň a b ABC je pravoúhlý rovnoramenný 45
cAB
v
22
+= =⇒ ⇒α=β= °
= =
nullnullnull nullnull
null
nullnullnullnullnull
222222
2
a bc
c 29 29 58 292958
45 CAX je opět pravoúhlý rovnoramenný
2
58c
58
c58.
av bv cv 58
222
222 2 2 24
+= + = += ⇒=
γ
= °⇒ ⇒
⋅
⋅ ⋅⋅
=== ⇒ = ===
58 58
null
null
null
null
nullnull ,=14 5
ab
nullnull
α=
SS
David Michálek strana 20

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 35 / strana 23
Určete obsah rovnoběžníku ABCD, je-li strana ( )aAB 3;2;1==−
null nullnullnullnull
a úhlopříčka
. ()eAC 5;1;3==−
null nullnullnullnull
eAC=
null nullnullnullnull

Nejprve vypočítáme úhel ϕ , který svírají strana a
null
s úhlopříčkou : e
null
( ) ( )
() ()
()
22
2222
a
2
22
a
3.5 2 . 1 1.3
ae 15 2 3
cos
941.2519ae
321.513
20
0,9035 ´ a 14 ; e 35
14. 35
XC
sin XC v sin e sin 25 22´ 35 ,
e
S a v 3 2 1 2,5345 9 4 1 2,5345 14 2,
+− − +
⋅+
ϕ= = = =
++ ++⋅
+− + +− +
== ⇒ϕ=° ==
ϕ= ⇒ = = ϕ⋅ = ° ⋅ =
=⋅=+−+⋅=++⋅=⋅
25 22
2 5345
nullnull
nullnull
nullnull
nullnullnullnull
nullnullnullnull null null
null
nullnull
null 5345 ,9 483null





aAB=
nullnullnullnullnull
ϕ
i
A
B
CD
b BC=
nullnullnullnullnull
a
XC v=
nullnullnullnullnull
David Michálek strana 21

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady

Příklad 36 / strana 23
Určete vnitřní úhly a plochu trojúhelníku ABC, je-li A (2; -4; 9), B (-1; -4; 5);
C (6; -4; 6).
Nejprve z bodů A, B a C určíme vektory AB, BC a AC
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
:
( ) ( )( ) ( )
()()()
() ()
() ()()
()() ()
22 2
22 2
aBCCB 6 1;4 4;65 ;;
bACCA 62;4 4;69 ;;
cABBA 12;4 4;59 ;;
4. 3 0.0 3 . 4
bc 12 0 12
cos
16 0 9. 9 0 16bc
40 3. 3 0 4
0
25
ABC je prnull avoúhlý
.52
= =−=−−−−− −=
==−=−−−−−= −
= = − =−− −−− − =− −
−+ +− −
⋅−+
α= = = =
++ ++⋅
++− −++−
==α=°⇒
701
40 3
30 4
090
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnull
nullnull

( ) ( )
() ()
22
222 2
je vnější úhel vektorů a,c
´180
β=
α+β+γ= °
nullnull
7. 3 0.0 1. 4
ac
cos
ac
701. 3 0 4
21 4 25
49 1. 9 16 50. 25
135
´ 180 180 135
pro součet úhlů vABCplatí:
180 ´ 180 90 45
−+ +−
⋅
β= = =
⋅
++ −++−
−− −
===−β=
++
β= ° ⇒
β= °−β= °− °= °
γ= °−α−β=°−°−°=
2
135
2
45
4
nullnull
nullnull
null
C (6; -4; 6)
°
abc
a
a
a
a
av bv cv
Smusímevypočítat v
222
v
sin´ v sin´c
c
vsin´csin 45 25
°
⋅⋅⋅
===
β= ⇒=β⋅
=β⋅= °⋅ = ⋅
5
2
25
2
null
null
null
null
´ 45 ABC je pravoúhlý rovnoramennýβ=γ= °⇒ null
222
a
2
701 25
av
50 2 25 50
2
S,
22 44
++⋅ ⋅
⋅
⋅⋅
== = ==12 5
null
null


B (-1; -4; 5)
X
A (2; -4; 9)
γ
•
•
a
v
null nullnullnullnulla=BC
null nullnullnullnullc = AB
null nullnullnullnullb=AC
α
´β
´β
β
David Michálek strana 22

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady

2. způsob výpočtu obsahu : ABCnull
Vektorový součin dvou
vektorů je obsah
rovnoběžníku, přičemž
polovina obsahu
rovnoběžníku je obsah
trojúhelníku tvořený
těmito vektory.
AB
C
cAB
()
()
22
ij k
03 43 40
Sbc 40 3i j k 0i 169j0k
04 34 30
30 4
;;
S025025
S
25
S,
22
−−
=×= −= − + = −− − − =
−−−−
−−
=+ + =
=++= =
===
0i 25j 0k 0 25 0
25
12 5
nullnullnull
null
null
null
null
null
null


Příklad 37 / strana 23
Vypočtěte obsah trojúhelníku určeného vektory a (3; -2; 1) a b (-2; 1; -1).
()( )
() ( )
()
2
22
ijk
21 31 32
Sab 321i j k 21i 32j
11 21 2 1
211
34k ;;
S
3
S111 S ,
22
−−
=×= − = − + = − −−+ +
−−−−
−−
+− =+−= −
=++−= ⇒ ===
ijk 111
3086
nullnullnull
null
null
nullnull
nullnull







=
null nullnullnullnull
b AC=
null nullnullnullnull
aBC=
null nullnullnullnull
b AC=
null nullnullnullnull
cAB=
nullnullnullnullnull
×Sbc
null null
null=
×1bc
S= S
22
null null
nullnull=
α
David Michálek strana 23

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady

Příklad 38 / strana 23
Určete plochu trojúhelníka určeného vrcholy A (1; -2; 3), B (2; 1; 0) a C (0; 2; 1).
( )( ) ( )
()()()
()()()()() ( )
()()()
222
bACCA 01;2 2;13 ;;
cABBA 21;1 2;03 ;;
ij k
42 12 14
Sbc 142i j k
33 13 13
13 3
12 6 i 3 2 j 3 4 k ; ;
S 6 5 7 36 25 49 110
S
110 10,488
S
22
==−=−−−−=−−
==−=−−− −= −
−−−−
=×=− −= − + =
−
=− −− − −− +−− =− − − =− − −
=−+−+− = ++=
== =
14 2
13 3
6i 5j 7k 6 5 7
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnull
null
null
null
null
null
null
1
5,24405 ,
2
= 524null

AB
C
cAB






Příklad 39 / strana 23
Jsou dány vektory a (3; 1; -2) a b (0; -2; 1). Určete vektor c, který je kolmý na
rovinu, v níž leží vektory a a b. Určete úhel, který spolu svírají vektory a a b a plochu
trojúhelníka vymezeného vektory a a b.
=
null nullnullnullnull
b AC=
null nullnullnullnull
aBC=
null nullnullnullnull
b AC=
null nullnullnullnull
cAB=
nullnullnullnullnull
×Sbc
null null
null=
×1bc
S= S
22
null null
nullnull=
α
David Michálek strana 24

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()()( ) ( )
()()
() ()
123
123
22
22 2 2
ijkijk
12 32 31
cS ab a a a 3 1 2 i j k
2101 02
bbb 0 2 1
14i 30j 60 ; ;
30 1 2 2 1
ab 0 2 2
cos
914 41ab
31 2 0 2 1
4
,´
14 5
Sab
S
22
−−
==×= = −= − +
−
=− −− +−−=−−− =−−−
⋅+⋅−+−⋅
⋅−
ϕ= = = =
++⋅ +⋅
++− ⋅ +− +
−
=− ϕ=°
⋅
×
== =
3i 3j 6k 3 3 6
0 4781 118 33
nullnull nullnull
null
nullnull
nullnull
null
nullnullnull
null
null
()()()
=
222
336
9936 54
,
2
−+−+−
++
==3 6742null

Příklad 40 / strana 23
Určete obsah, obvod a úhel , je-li dáno: A (1; 1), B (3; 4) a C (-1; 4). v ABCα null
( ) ( )
()()
()()
()
()
()
()
2
2
2
2
22
2
222
2
aBCCB 13;44 ;
bACCA 11;41 ;
cABBA 31;41 ;
aBC 4 0 16
bAC 2 3 49
cAB 23 49
bc 22 33 4 9
cos
13 13bc
2323
5
13
= = − =−− − =−
= = − =−− − =−
==−=−−=
==−+==
==−+=+=
==+=+=
⋅−⋅+⋅ −+
α= = = =
⋅⋅
−+⋅ +
==
40
23
23
4
13
13
5
1
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
null nullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnull
nullnull
c
c
,´
v sin . b sin112 37´ 13 ,
c.v
13 3,3283
S
22
O a b c 13 13 4 ,
α= °
=α= °⋅ =
⋅
==
=++= + +
03846 67 22
3
3 3283
6
11 2
null
null
null
nullnull
nullnullnull
nullnull

AB
C
cAB=

Příklad 41 / strana 23
null nullnullnullnull
b AC=
null nullnullnullnull
aBC=
null nullnullnullnull
b AC=
null nullnullnullnull
cAB=
null nullnullnullnull
×Sbc
null null
null=
×1bc
S= S
22
null null
nullnull=
α
David Michálek strana 25

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Vypočtěte pomocí vektorového součinu vektorového součinu plochu , je-li
A (3; -1; 5), B (2; 1; 4) a C (-3; 2; 1).
ABCnull
( ) ( )
()()()
() ()
()()()()
123
123
aBCCB 32;21;14 ;;
bACCA 33;2 1;15 ;;
cABBA 23;1 1;45 ;;
ijk ijk
13 53 51
Sabaaa 513i j k
34 64 63
bbb 63 4
49i2018j156k
= =−=−− −−=− −
==−=−−−−−=−−
==−=−−−−=−−
−−−−
=×= =− −= − + =
−−−−
−−
=−−− − − +− + = − − =
51 3
63 4
12 1
5i 2j 9k
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnull
null
()
;;−−529

()()
22
2
Sab
52 9
25 4+81 110 10,49
S,
22 2 2 2 2
×
+− +−
+
== = = = = 5 245
nullnullnull
null


Příklad 44 / strana 24
Určete objem rovnoběžnostěnu, který je tvořen vektory a (3; 2; 1), b (-1; 2; 3) a
c (1; -3; 2).
( )
() ()()()() ()
()
()()
123
123
V a b c (smíšený součin vektorů, kdeV je reá ln é číslo)
ijk ijk
21 31 32
ab a a a 32 1 i j k
23 13 12
bbb 123
62i 9 1j 6 2k ; ;
Vabc41 10 38.2
=×⋅
×= = = − + =
−−
−
=− −−− +−− =− += −
=×⋅=⋅+− ⋅−+ =
4i 10j 8k 4 10 8
50
nullnullnull
nullnull
nullnullnull


Příklad 45 / strana 24
Určete objem trojbokého hranolu určeného vektory a (3; -2; 1), b (1; 3; -1) a
c (1; 1; 5).
David Michálek strana 26

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()( )() ( )
()
obecně podstavy
trojbokého hranolu
VS v
S ab
SS
22
=⋅
×
== =
nullnull
null
null
123
123
ijkijk
2131 32
Sabaaa 321i j k
31 1113
bbb 1 3 1
23i 31j 92k ;;
S
S;;
2
111
Vabc 121
22
−−
=×= = − = − + =
−−
−
=−−−−++ =−++ =−
⎛⎞
==−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=×⋅=−⋅+⋅ ⋅
⎠
+
⎜⎟
⎝
i 4j 11k 1 4 11
111
2
22
nullnullnull
null
null
null
null
null
nullnullnull

155
52
22
=− + + =29
⎞
⎟
−
⎠

Příklad 46 / strana 24
Určete, zda vektory a (1; -3; 0), b (2; 1; -2) a c (-1; -4; -2) jsou lineárně závislé.
Pokud nejsou, vypočtěte objem čtyřstěnu, který určují.
xyz
xyz
xyz
xyz
130 130 130
aaa
212 072 072
bbb
142 072 004
ccc
⎛⎞
−−
⎛⎞⎛⎞⎛
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜
⎜⎟
−−− −− −
⎝⎠⎝⎠⎝
⎝⎠
∼∼∼
Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ⇒ h = n ⇒ vektory jsou
lineárně nezávislé.
David Michálek strana 27

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()()() ()
()()() ()
() () () ()()()
()
čtyřstěnu 1 2
1
2
1
Vabcsincos
6
je úhel, který svírají vektory a a b
je úhel, který svírá vektor c s a b
=⋅⋅⋅⋅ ϕ⋅ ϕ
ϕ
ϕ×
nullnullnull
null null
nullnull
null
2
222
22
xyz
2
22 2
2 2
xyz
2
22222
x yz
aa a a 13019
bb b b 12 414
cc c c 1 421164
a
=++=+−+=+=
=++=++−=+=
=++=−+−+−=++=
10
9
21
null
null
null
()( ) ()()
()
() ()
()
() ()
222
1 1
2
ijk
30 10 13
b 130i j k 60i 20j1 6k
12 22 21
212
;;
ab 6 2 7 36449
12 3 1 0 2
ab 2 3 1
cos , ´
9,4868 9,486810 9
ab
abc
61247
cos
abc
−−
× = − = − + = − −−− + −− =
−−
−
=++ =
×= ++ = ++ =
⋅+−⋅+⋅−
⋅−
ϕ = = = =− =− ϕ = °
⋅⋅
×⋅
⋅− + ⋅− +
ϕ= =
×⋅
6i 2j 7