Tesar_-_sbirka

k 6 2 7
89
0 1054 96 03
nullnull
nullnull
nullnull
nullnull
nullnullnull
nullnullnull
()
()( )
2
čtyřstěnu 1 2
2
28
,
43,231989 21
10 9 21 sin 96 03´ cos 130 21´
1
Vabcsincos
66
27,9908
4,6651 ,
6
⋅−
=− =− ϕ = °
⋅
⋅⋅ ⋅ °⋅ °
=⋅⋅⋅⋅ ϕ⋅ ϕ= =
−
=−
0 6477 130 21
47
nullnullnull
null




Příklad 48 / strana 24
Vypočtěte objem čtyřstěnu s vrcholy 0 (0; 0; 0), A (5; 2; 0), B (2; 5; 0) a C (1; 2; 4).
David Michálek strana 28

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
( ) ( )
()
()
()
()()( )
()
()
čtyřstěnu
a0AA0 50;20;00 ;;
b0BB0 20;50;00 ;;
c0CC0 10;20;40 ;;
ijk
20 50 52
ab 520 i j k 00i 00j 254k
50 20 25
250
;;
1
Vab
6
==−=−−−=
==−=−−−=
==−=−−−=
×= = − + = − −
čtyřstěnu
1
Vabc
6
=⋅×
− +−=
=−+ =
=⋅×⋅
520
250
124
0i 0j 21k 0 0 21
nullnullnullnullnull
nullnullnullnull
nullnullnullnull
nullnull
null null
⋅
nullnullnull
01 02 214 0 0 84
c
66
⋅+⋅+ ⋅ ++
===14
null


Příklad 49 / strana 24
Určete objem jehlanu ABCO, je-li A (3; 2; 1), B (-1; -2; -3); C (0; 0; 5) a O (0; 0; 0).
()()
)
()()
()()()()()()
jehlanu p p
1Sab
VSvSS
322
×
=⋅⋅ = = =
a0AA0 30;20;10 ;;
b0BB0 10;20;30 ; ;
cv0CC0 00;00;50 ;;
ijk
21 31 32
ab 3 2 1 i jk
23 13 12
123
62i91j62k
==−=−−−=
==−=−−−−−−=−−−
== =−= − − − =
×= = − + =
−− −− −−
−−−
=−−− −−−− +−−− =−
321
123
005
4i
nullnullnullnullnull
nullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnull
null null
null
null
()
()
()
() () ()
p
jehlanu p
;;
ab
S484
SS ;; ;;
22 222
11 1 1010
VSv020452010 ,
33 3 33
+− =− −
×
⎛⎞
== = =− − =− −
⎜⎟
⎝⎠
=⋅⋅=⋅⋅−+⋅+⋅− =⋅+− =− = =⎡⎤
⎣⎦
8j 4k 4 8 4
24 2
333
nullnull
null
null



Příklad 50 / strana 25
David Michálek strana 29

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Vypočtěte moment síly (3; 4; 2) [N] působící v bodě A (3; 1; 0) vzhledem
k počátku a jeho velikost.
F
null
( ) ( )[ ]
()()( )
()[]
()
2
222 2 2
xyz
r0AA0 30;10;00 ;;
ijk
10 30 31
MrF 310 i j k 20i 60j 123k
42 32 34
342
;;
M m m m 2 6 9 4 36 81 121
==−=−−−=
=×= = − + = − − − + − =
=−+ =− ⋅
=++=+−+=++==⋅
310 m
2i 6j 9k 2 6 9 N m
11 N m
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnull


Příklad 51 / strana 25
Určete výsledný moment síly M
nullnullnull
[ ]1
Fi2j3kN=+ −
null nullnullnull
, která působí v bodě
A
1
(2; -1; 3) [m] a síly
[ ]2
F2i3jkN=−+
nullnullnullnull
s působištěm v bodě A
2
(3; 5; 1) [m]
vzhledem k bodu O (1; 1; 1) [m].

111
222
12 1 2
MrF
MrF
MMM
=×
=×
=+
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnullnull




( ) ( )[ ]
()[]
()( ) ()() ()[]
1 1
1
2 2
2
111
rOAAO21;11;31 ;;
rOAAO31;51;11 ;;
ijk
2212 12
MrF12 2i j k
2313 12
123
64i 32j 2 2k ;;
==−=−−−−=−
==−=−−−=
−−
=×= − = − + =
−−
−
= − −−− + −− = + + = ⋅
122m
240 m
2i 5j 4k 2 5 4 N m
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
1 1rOA=
null nullnullnullnull
2 2rOA=
null nullnullnullnull
()
O 1;1;1
( )
1
A2;1;3−
( )
2
A3;5;1
1Fi2j3k
null
= +−
nullnullnull
2F2i3jk=−+
nullnullnullnull
David Michálek strana 30

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()()( ) ( )[]
() ( )()[]
()
222
12 1 2
2
22
12
ijk
40 20 2 4
MrF240i j k
31 21 2 3
231
40i 20j 68k ; ;
MMM 24;5 2;4 14 ;;
M 6 3 10 36 9 100 145 12,0416
=×= = − + =
−−
−
=− −− +−− =−− = −− ⋅
= + = + +− +− = − ⋅
=++−=++= = ⋅
4i 2j 14k 4 2 14 N m
63 10 N m
12 N m
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnullnull
nullnullnull
null


Příklad 52 / strana 25
Na těleso působí tři síly
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]12 3
F 3;2;5N,F 1;1;3NaF 1;1;2N=− =− =−−
nullnull null

v bodě A (3; -2; 3) [m]. Určete celkový moment sil vzhledem k bodu B (3; 0; 1) [m],
jeho velikost a jeho směrové úhly.

()()[]
() ()() ()[]
()() ()() ()[]
1
123 1 2 3
123 123
FF
M
F
rF
F=++
= ×
nullnullnullnull
nullnullnull nullnull
23 1 2 3
123 123
123
rBAAB 33;20;31 ; ;
F F F F 3 1 1;2 1 1; 5 3 2 ; ;
ijk
22 02 0 2
MrF022i j k
00 30 3 0
300
00i 06j 0 6k ;;
M
==−=−−−−=−
= + + = ++− +−+− −++ =
−−
=× = − = − + =
=− −− +−− = + = ⋅
=
022m
300 N
6j 6k 066 Nm
nullnullnullnullnull
nullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnull
y
x
z
222
123
123
123 123
123
123
066 03636 728,4853,
m
m
cos cos 0,7071
8,4853 8,4853
MM
m
6
cos 0,7071
8,4853
M
++=++= = ⋅
α= = = α= ° β= = β °
γ= = γ= °
85N m
090 45
45
null
nullnullnullnull nullnull
nullnullnullnull


( )
B3;0;1
( )
A3; 2;3−
rBA=
null nullnullnullnull
( )1
F3;2;5
null
= −
( )2
F1;1;3=−
null
( )3
F1;1;2=− −
null
David Michálek strana 31

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 53 / strana 25
Určete velikost a směr momentu síly
( )[ ]
F21;14; 8 N−
null
, která působí v bodě
Q (0; 1; 3) [m] vzhledem k P (6; 5; 1) [m].

( ) ( )[ ]
()() ()() ()[]
()
2
22
x
rPQQP 06;15;31 ; ;
ijk
42 62 64
MrF 6 4 2i j k
14 8 21 8 21 14
21 14 8
32 28 i 48 42 j 84 84 k ; ;
M 4 6 0 16 36 0 52 ,
m4
cos , ´
7,2111
M
c
==−=−−−=−−
−−−−
=×=− − = − + =
−−
−
=− −− +−−− =−+=− ⋅
=+−+=++== ⋅
α= = α= °
642m
4i 6j 0k 4 6 0 N m
7 2111 N m
0 5547 56 18
nullnullnullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnull
nullnullnullnull
y
z
m
6
os , ´
7,2111
M
m0
cos
7,2111
M
−
β= = − β= °
γ= = = γ= °
0 8321 146 18
090
nullnullnullnull
nullnullnull


Příklad 54 / strana 25
Vypočítejte souřadnice a velikost momentu síly F
null
, která vychází z bodu
A(6; 0; 0) [cm], vzhledem k počátku, je-li F5N=
null
a úhel ϕ, který svírá síla
s rovinou xy je 60° v kladném směru osy z, přičemž síla
F
null
F
null
je rovnoběžná
s rovinou yz.
( ) ( )[ ]
2
r0AA0 0,060;00;00 , ;;
r0,06,
MrF0,065,
==−= −−−=
==
=⋅= ⋅= ⋅
006 00 m
006m
03N m
nullnullnullnullnull
null
nullnullnullnullnull




z
ϕ rovina xy
rovina yz
( )A 6;0;0
0
F5N=
null
•
x
y
( )
xyz
Mm;m;m=
nullnullnull
•
α
⋅
γ
( )Q0;1;3(
rPQ=
nullnullnullnullnull
)P6;5;1
( )F21;14;8
null
= −
David Michálek strana 32
Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()
()
x
x
y
y
M svírá s osou x úhel z obr. 90 , protože
m
cos m cos M cos 90 0,3 0 0,3
M
Msvírá
Mr
90 60 90 , protože FM
⊥
β=ϕ+°=° ° ⊥+°=150s osou y úhel z obr.
m
cos m cos M cos 150 0,3 0,8660 ,0
M
α⇒ α= °
α= ⇒ =α⋅= °⋅=⋅=⋅
β⇒
β= ⇒ = β⋅ = ° ⋅ =−⋅
0N m
nullnullnull
nullnullnull
nullnullnull
nullnullnull
nullnullnull
nullnull
nullnullnull
nullnull
null
null
nullnull


Příklad 55 / strana 25
Určete celkový moment síly a jeho velikost, jestliže na těleso působí síly
( )[ ]1
F1; 2;3 N−
null
a
( )[ ]2
F3;2;0 N
null
v bodě B (2; 0; 2) [m] vzhledem k bodu
A (0; -1; 1) [m].
( )( ) ( )[ ]
()[]
()()()
()[]
()()
12 1 2
12
22
2
rABBA 20;0 1;21 ;;
FFF13;22;30 ;;
ijk
11 21 21
MrF 211i j k 30i 64j 04k
03 43 40
403
;;
M3 2 4 941629,
==−=−−−−=
=+=+−+ +=
=× = = − + = − − − + − =
=−− = −− ⋅
=+−+−=++= ⋅
211 m
403 N
3i 2j 4k 3 2 4 N m
53852N m
nullnullnullnullnull
nullnullnull
nullnullnullnullnull
nullnullnull
null







()
A0; 1;1−
( )
B2;0;2
rBA=
nullnullnullnullnull
( )1
F1;2;3=−
null
( )2
F3;2;0=
null
()
()()[]
z
z
xyz
3,
M svírá s osou z úhel 60 , protože
m
cos m cos M cos 60 0,3 0,5 0,3 ,
M
M m ;m ;m ; , ; ,
=− ⋅
γ⇒γ= °
γ= ⇒ = γ⋅ = °⋅ = ⋅ =
=− ⋅
⋅
=
0 2598 N m
015N m
0 0 2598 0 15 N m
nullnullnull
nullnullnull
nullnullnull
nullnullnull
90 150 90γ=β− °= °− °= °60
David Michálek strana 33

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Limity

Příklad 6.1 / strana 39
( )
()
2
32
2
x0 x0 x0
x3
x3x x303
lim lim lim
x2x x2 x
x
x 202
→→ →
⋅+
++
===
−⋅−−−
3
2
+
=−

Příklad 6.2 / strana 39
x0 x0 x0 x0 x0
sin x
tg 2x 2 tg x 2 2 2 1cos x
lim lim lim lim lim
sin5x 5 sin x 5 sin x 5 cos x 5 cos x
21 21
5cos0 5
sin x
si
1
nx
→→→→ →
=⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
⋅
=⋅ =⋅=
°
2
5



Příklad 6.3 / strana 39
x0 x0 x0 x0 x
0x
sin x
sin x
lim 1
x
→
=
0
sin x
tg x 1 tg x 1 1 1 1
cos x
lim lim lim lim lim
3x 3 x 3 x 3 cos x 3 cos x
11 11
3cos0 3
x
1
→→→ → →
=⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
⋅
=⋅ =⋅
°
=
1
3



Příklad 6.4 / strana 40
()
()
() ()
3
32 23
x
ab a 3a
3
32 32
x0 x0 x0
2
22
x0 x0
3
x1 1
x3x3x11 x3x3x
lim lim lim
xx
x3x3
lim lim x 3x 3 0 3 0 3
x 1 jsme rozložili podle vzor
x
ce b 3ab b
→→ →
→→
+−
+++− ++
===
⋅++
==+=+⋅=
+ + =+++
3


Příklad 6.5 / strana 40
David Michálek strana 34

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()()
()() ()() ()
()()
22
li
x1
b abab
−
−=+⋅−
22
x1 x1 x1
x1 x1 x1
2
12 12 1 2
lim lim lim
x1 x 1 x1 x 1 x1 x1 x1
x12 1 1
lim lim m
x1 x1 x1 x1 11
x 1 jsme rozložili podle v
x1
aorzce
→→→
→→→
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
−= −= − =
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−− −− −+⋅−
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
+−
====
⎜⎟⎜⎟
+⋅− +⋅ + +
⎝⎠
−
⎝⎠
−
1
2

Příklad 6.6 / strana 40

()
( )
( ) ( )
()
( )
()
( )
()()
( )
()
( )
()
()
()
3
x1
33
333
3
3x1 x1 x1 x1
33
33 3
22
33x1 x1 x1 x1
x1
lim do rovnice dostadíme
x1
t1. t 1 t1. t 1
t1 t1 t1
lim lim lim lim
t1
t1 t1t1
t1 t1
t1 t1 t1
x1
lim lim lim lim
t. t 1 1tt1 tt1
xx1
t1
1
1
→
→→ → →
→→→→
−
−
−+ −+
−−+
=⋅= = =
−
−⋅ +
+ +
+
=====
++⋅++ ++
⋅++
=
+
()
3
xt
t1
=
⋅+
−
−

()
()
33
1
11
1111
1111
+
==
⋅++
⋅ + +
2
3
33
xt t x= ⇒ =


Příklad 6.8 / strana 40
x x0
sin x
lim 1
x
→x0 0
sin3x sin x
lim 3 lim 3 1
xx
→→
=⋅ =⋅= =3


Příklad 6.9 / strana 40
( )
()()
()
()
()
()
()()()
x0 x0 x0
x0 x
x0
sin x
sin x
lim 1
x
→
=
0x0
sin x x 2 2
sin 2x sin x x 2 2
lim 2 lim 2 lim
x2 2 x2 2 x2 2
x2 2 x2 2
s
x
in x x 2 2 x 2 2
2lim 2lim 2lim x 2 2
x2 2
2022222222
→→ →
→→→
⋅++
++
=⋅ ⋅ =⋅ =
+− +− ++
+− ⋅ ++
⋅++ ⋅++
=⋅ =⋅ =⋅ ++ =
+−
=⋅ ++ =⋅ =+⋅=42


Příklad 6.10 / strana 40
David Michálek strana 35

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
( )
22
22
x0 x0 x0 x0
22
x
2
0x0x
2
0
1cosxsinx
1 sin x sin x sin x
lim lim lim lim
x sin x x.sin x x.sin x x.sin x
2sin x sin x sin x
lim 2 lim 2 li
cos2x 1 cos x
lim
sin x
m221
x.sin x x.s x.in x
→→ → →
→ →→
−−
−++
====
⋅
⋅
==⋅=⋅ =⋅= ⋅=2
x0
22 2
sinx sinx
x
cos2x cos x sin x nis
→
= −
−
22
xcosx1 1cosxsinx+=⇒−=

Příklad 6.12 / strana 40
()()
22
t0 t0 t0 t0
22
sin t
si
sin t
tg t 1 1 1
cos t
lim lim lim lim
sin 2t 2 sin t cos t 2 cos t 2 cos t
11 11
2
t
cos0 1
n
2
→→ → →
==⋅=⋅
⋅⋅ ⋅
=⋅ =⋅ =
°
1
2
=





















David Michálek strana 36

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady





Derivace

Příklad 7.1 / strana 41
Určete derivaci funkce :
42
yx 3x 5x6=− −+
42
yx 3x 5x6
y´
=− −+
=−−
3
4x 6x 5


Příklad 7.2 / strana 41
Určete derivaci funkce
( )
2
yx x1=⋅−:
()()
u.v ´ u´ v u v´=⋅+
()
2
2
yx x1
y´ 2x x 1 x
=⋅−
=⋅−+ −=
⋅

2
3x 2x

Příklad 7.3 / strana 41
Určete derivaci funkce
234
yx x=⋅ :
()
3
2324
4
31
31 77
12
2 44
44 44
yx x xx
333
y´ 2x x x x2x x 2x x
4 44
⎛⎞ ⎛⎞
+−
− ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
=⋅ =⋅
=⋅+⋅ = + = + =
7
4
11
x
4
u.v ´ u´vv u´=⋅+⋅


Příklad 7.4 / strana 41
Určete derivaci funkce
23
11 1
y
xx x
=+ + :
() () ()
123
23
11 21 31 234
11 1
yxx
xx x
y´ x 2x 3x x 2x 3x
−−−
−− −− −− −−−
=+ + = + +
=− − − =− − − =− − −
23
123
xxx
4


David Michálek strana 37

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Příklad 7.5 / strana 41
Určete derivaci funkce :
2
ycos2xsinx=+
() ()
2
2sinxcosx sin2x sin2x=− ⋅ =⋅ ⋅
ycos2xsinx
y´ sin 2x 2 2
sin 2x 1 2 1 sin 2x 1
=+
=− ⋅ + +
=⋅−⋅+=⋅−=−⎡⎤
⎣ ⎦
sin2x

Příklad 7.6 / strana 41
Určete derivaci funkce :
()
yxlnx x=⋅ −
()
()
y´ u´ v u v´
1
=⋅+⋅
⎛⎞
⎠
1
yxlnx x
x
y´ 1 lnx 1 lnxln x x
x
11
x
=⋅ −
⎡⎤
⎛⎞
=−=−⋅+⋅
⎜⎟
⎝
=+−=
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
lnx

Příklad 7.7 / strana 41
Určete derivaci funkce
()
1
ysin3x2
2
=−:
() ()
() ()
cos 3x
1
ysin3x2
2
1
y´
2
23−
=−
==−⎡⎤
⎣⎦
3
cos 3x 2
2
sin 3x 2 je funkce složená−
⋅


Příklad 7.8 / strana 42
Určete derivaci funkce
2
2x 1
y
3x 4
−
=
+
:
()( )()
()
()()
()
()
() () ()
2
22
/
2
uu´vuv´
v v
⋅−⋅
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
22
222
2 22
2x 1
y
3x 4
2 2x 3x 4 2x 1 3 4x 3x 4 3 2x 1
y´
3x 4 3x 4
12x 16x 6x 3
12x 16x 6x 3 6x 16x 3
3x 4 3x4 3x4
−
=
+
⋅⋅+− −⋅ ⋅+−⋅ −
===
++
+− −
+−+ ++ ++
= ===
++
++
2
2
6x 16x 3
9x 24x 16


Příklad 7.9 / strana 42
David Michálek strana 38

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Určete derivaci funkce
()
2
2
2x
y
2x
=
−
:
()
()
/
2
2
uu´vuv´
přičemž 2 x je funkce složená
vv
⋅−⋅
⎛⎞
2
2
2x
y
2x
=−
−
=
⎜ ⎟
⎝⎠

()() ()()
()
()( ) ( )()
()
()()()
() ()
() ()
()
()()
22
24
2
22
23 23
44
2323 2
444
2 2x . 2 x 2x 2 2 x 1 4x . 2 x 4x 2 x 1
y´
2
2x
x
2x
4x . 4 4x x 4x 2 x
16x 16x 4x 8x 4x
2x 2x
8x
16x 16x 4x 8x 4x 16x 8x
2x 2x
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤⋅ − − ⋅ −⋅− − − ⋅−⋅−
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
===
−
⎡⎤
−
⎣⎦
⎡⎤
⎡⎤−+ −−⋅−
⎡⎤⎡⎤−+−−+
⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦⎣⎦
−−
−
⋅
−++− −
====
−− −
3
8x
2x
2x−

Příklad 7.10 / strana 42
Určete derivaci funkce
()
2
2
12x
y
12x
−
=
−
:
()
()
()( ) ()()()
()
)()()( )( ()
()
()
()()( )()()
{}
()
()( )
2
2
2
2
2
2
4
2
12x
y
12x
4x 1 2x 1 2x 2 1 2x 2
y´
12x
4x 1 2x
12x
4x 1 2x 1 2x 2 2
4x 1 2
1
x
−
=
−
⎡⎤
⎡⎤
−⋅− −− ⋅⋅−⋅−
⎣⎦
⎣⎦
==
⎡⎤
−
⎣⎦
−⋅−⋅⎡
⎣
/
2
2
2
4
uu´vuv´
přičemž 1 2x je funkce složená
1 2x 2 2
vv
2x 12x
12x
12x
−− ⋅⋅ ⋅−⎤
⎦
⎣
−
⎡⎤
⋅− −
⎦
⋅−
⋅−⋅
⎛⎞
=−
−⋅⋅−⎡⎤
⎣⎦
⎣⎦
=
−⋅−⎡
⎣
=
()()
()
⎜⎟
⎝⎠
−−
−
−
()()
()
() ()
()
()
2
22
33
22
33
412x
4x 8x 4 8x
12x 12x
4x 8x 4 8x 4 4x
12x 12x
⎡⎤
−− −⎤
−+ −−+
⎦
⎣⎦
==
⋅−
−+ +− −
===
−−−
3
41x
12x


Příklad 7.11 / strana 42
David Michálek strana 39

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Určete derivaci funkce y1=+x:
1
1
2
2
y1x1x
⎛⎞
=+ =+
⎜
⎝
⎟
⎠
1
1
2
2
1x jefunkceslože án
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝ ⎠

1
11
2
22
3
2
11 1 1
y´ 1 x x
22
41 x x
4xx
−
−⎛⎞
=⋅+ ⋅ = = =
⎜⎟
⎝⎠ ⋅+ ⋅ ⋅+⋅
⋅+
1
4xxx


Příklad 7.12 / strana 42
() ) ()(
Určete derivaci funkce
2
yxx1=⋅ −:


Příklad 7.13 / strana 42
Určete derivaci funkce
x
x
1e
y
1e
+
=
−
:
()()()
()
()()
()
() ()
() ()
x
x
xx xx
xxxx
22
xx
22
xx xx
2
x
/
2
uu´v u v´
vv
⋅−⋅
⎛ ⎞
=
⎜⎟
⎝ ⎠
1e
y
1e
e 1e 1e e
e1e e1e
y´
1e 1e
ee ee
1e
+
=
−
⎡⎤⎡ ⎤
⋅− − + ⋅−
⋅− +⋅+
⎣⎦⎣ ⎦
===
−−
−++
==
−−
x
2
x
2e
1e


Příklad 7.14 / strana 42
() ()
( ) ( )
1
22
2
11
22 2 2
22
222
2
22 2
2222
yx x 1xx 1
11
y´1x1 x x1 2x x1 x2xx1
x1.x1x
1x 1x
x1x x1
x1 x1 x1 x1
−−
=⋅ −=⋅ −
⎡⎤
⎡⎤
=⋅ −+⋅⋅ − ⋅ = −+ ⋅⋅ − =
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
−−+
− +−
=−+⋅ =−+ = = =
1
2
2
u.v ´ u´ v u v´ přičemž x 1 je funkce složená=⋅+⋅ −
2
2
2x 1
x1−
David Michálek strana 40

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
Určete derivaci funkce y1=−x:
() ()
()()
1
2
1
2
y1x1x
1
y´ 1 x 1
2
−
=−=−
=⋅− ⋅−=−
⋅−
1
21x
1
2
1 x je funkce složená−


Příklad 7.15 / strana 42
Určete derivaci funkce :
2
3
yxlogx=⋅
( )
()
2
3
2
33
2
3
u.v ´ u´ v u v´=+⋅⋅
x
x2 x
x
yxlogx
1x
y´ 2x log x x log x log x
ln a ln 3 ln 3
=⋅
⎛⎞
⎛⎞
=⋅ +⋅ =⋅ +=⋅ +=⋅ +
⎜⎟ ⎜ ⎟
⋅
⎝⎠
⎝
2
3
1
xlogx
ln3
⎠

Příklad 7.16 / strana 42
Určete derivaci funkce
x
ylntg
2
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
:
()
2 22
x
ylntg lntg0,5x
2
11 1 1 1
y´
sin 0,5x
tg 0,5x cos 0,5x cos 0,5x s
cos 0,5x
cos 0,5x
sin x cos x sin 0,5x cos0,5x sin x
sin 0,5x cos0,5x
=⋅ ⇒ ⋅ =
⋅
sin 2x
in 0,5x
cos 0,5x
1
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
=⋅ = ⋅ =⋅=
==
1
sinx

Příklad 7.17 / strana 43
Určete derivaci funkce
1
yt
cos x
=+gx:
David Michálek strana 41

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()
()
()()
() ()()
/
2
2
22
1uu´vuv´
cos x v v
sin x 1
jsm r p
1sinx
1sinx a b abab
⋅−⋅
⎛⎞
==
2222222
1
ytgx
cos x
0.cos x 1 sin x
1 sinx 1 sinx 1 sinx 1 sinx 1
y´
cos x cos x cos x cos x cos x 1 sin x
1sinx
1sinx
e ozložili odlevzorce
⎜⎟
⎝⎠
=+
−⋅−
++ +
=+=+====
−
−
==
−⋅
1
x
+
+ −
−−=+⋅
1sin

Příklad 7.18 / strana 43
Určete derivaci funkce
x
2
e
yln
x1
=
+
:
( )
()
( )
()
( ) ( )
()
()()
()()
()
()
x
x
2
222
e
e
x 2x 1 je vzorec a 2ab b a b−+ − +=−
x2 x
x2 x2 2
2
x2 2x
2
2
2x
2
2
2
222
ex1 e2x
ex12x ex1x2x1
1x1
y´
e e
x1 x1 ex1
x1
x2x1
x2x1
x
x1
x 11 x1
⎡⎤
⎡⎤⋅+−⋅
⋅+− ⋅+⋅−+
+
⎣⎦
⎣⎦
=⋅ =⋅ = =
++⋅
+
⋅⋅−+
−
−+
==
++⋅⋅+
+
+
2
2
x1
x1
x
2
/
x
22
euu´vuv´
je složená funkce, kde
x1 v v
e
yln
x 1
⋅ −⋅
⎛⎞
==
⎜⎟
+
⎝⎠

+
=

Příklad 7.19 / strana 43
Určete derivaci funkce
sin x
y
sin x cos x
=
+
:
David Michálek strana 42

Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) – řešené příklady
()()
()
()()
()
() ()
2
/
2
2 2
uu´vuv´
vv
sin x cos x
⋅−⋅
⎛⎞
=
⎜⎟
⎠
+
⎝
22
2
2
22
2
sin x
y
sin x cos x
cosx sinx cosx sinx cosx sinx
y´
sin x cos x
sin x cos x cos x sin x cos x sin x
sin x cos x
sin x cos x cos x sin x cos x sin x 1
sinxcosx sinxcosxsinx
=
+
⋅+ −⋅−⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
==
+
⋅+ −⋅−
+
⋅+ −⋅+
= ==
++
()

=
2
co 2
cos x
11
2sinxcosx
22
22
sin x s x sin x cos x
sin x cos x 1 2 sin x cos x sin
1
2x
+
==
⋅ + + +
1
1sin2x+⋅ ⋅⋅
+= ⋅⋅=

Příklad 7.20 / strana 43
Určete derivaci funkce y 4x1arccotg4x1=−+ −:
() ()()
11
22
y4x1arcotg4x 14x1 arcotg4x1=−+ −=−+ − uv´u´v´
4x 1 je funkce složená; arccot g 4x 1 je dvojitá složenáfunkec
+=+
− −

()
()
()
11
22
2
11
y´ 4x 1 4 4x 1 4
14x1
−−
⎡⎤
−
⎡⎤
⎢⎥
=⋅−⋅+ ⋅ −⋅
⎢⎥
⎣⎦
+−
⎣⎦
=
()
()
()
() () ()
()
()
()
2
2
2
4
2222
4x 1 4x 1 4x 1 1 4x 1
4x11 4x1
4x 1
2224x28x2
4x 1 4x 1 4x 4x 4x 1 4x 4x 1 x 4x 1
4x 1 4x 1 4x 1 4x 1 4x 1
4x 1
2x 4x 1 4x 1 2x 4x 1 4x 1
2x 4x 1
4x
2x
1
=− =− =
⎡⎤−−−⋅+
−⋅ + −
⎢⎥
⎣⎦
⋅−
⋅− −
=−====
− −⋅ ⋅−⋅−⋅−
−− ⋅
−
=⋅= = =
⋅− − ⋅−⋅−
⋅−
−
==
⋅
4x 1
2x

4x 1
4 1x
⋅−−
−

Příklad 7.21 / strana 43
David Michálek strana 4