Diferenciální počet

× B nazveme zobrazenı´m mnozˇiny A do mnozˇiny B,
jestlizˇeplatı´, zˇe kekazˇde´mu prvku x ∈ A existuje pra´veˇ jeden prvek y ∈ B takovy´,
zˇe(x,y) ∈ f.
Mnozˇinu A nazy´va´me definicˇnı´ obor f aznacˇı´me D(f). Mnozˇinu vsˇech prvku˚
y ∈ B takovy´ch,zˇe existuje x ∈ A s vlastnostı´ (x,y) ∈ f, nazy´va´meobor hodnot
f aznacˇı´me H(f).
2 Pojem funkce
Je-li relace f ⊆ A × B zobrazenı´, pak skutecˇnost, zˇe (x,y) ∈ f, zapisujeme
ve tvaru y = f(x). Rovneˇzˇ pouzˇı´va´me za´pis f : A → B,cozˇ znamena´, zˇe f je
zobrazenı´ A do B.Da´lex nazy´va´meneza´visle promeˇnnou a y za´visle promeˇnnou.
Pozna´mka 1.3. Neˇkdy se zobrazenı´ definuje jesˇteˇ trochu obecneˇji. V definici 1.2 se
tehdy pozˇaduje, aby ke kazˇde´mu prvku x ∈ A existoval nejvy´sˇe jeden prvek y ∈ B
takovy´, zˇe (x,y) ∈ f.Neˇktere´ x ∈ A tedy nemusı´by´t prvnı´slozˇkou zˇa´dne´ dvojice
patrˇı´cı´f.Takova´ relacesepotomnazy´va´ zobrazenı´zAdo B.Definicˇnı´obor D(f)se
pakdefinujejakomnozˇinavsˇech x ∈ A,knimzˇ existuje y ∈ B takove´,zˇe(x,y) ∈ f.
Jetedy D(f) ⊆ A,alemu˚zˇesesta´t,zˇeD(f) negationslash= A.Vteˇchtoskriptech nebudemetoto
zobecneˇnı´ pouzˇı´vat a budeme vzˇdyprˇedpokla´dat,zˇeD(f) = A.
Zobrazenı´mohoumı´tru˚zne´vy´znamne´ vlastnosti.Rozlisˇujemetytospecia´lnı´typy
zobrazenı´ f ⊆ A × B:
• injekce (proste´ zobrazenı´) je takove´ zobrazenı´, pro ktere´ platı´:
∀x
1
,x
2
∈ A : x
1
negationslash= x
2
⇒ f(x
1
) negationslash= f(x
2
).
Tedy ru˚zny´m hodnota´m neza´visle´promeˇnne´ odpovı´dajı´ru˚zne´ hodnoty za´visle
promeˇnne´.
• surjekce (zobrazenı´ A na B) je takove´ zobrazenı´, pro ktere´ platı´, zˇeH(f)= B, tj.
∀y ∈ B ∃x ∈ A : y = f(x).
• bijekce (vza´jemneˇ jednoznacˇne´ zobrazenı´) jezobrazenı´, ktere´jeza´rovenˇ injektivnı´
i surjektivnı´.
Du˚lezˇitou vlastnostı´prˇi zava´deˇnı´rea´lny´chcˇı´sel bude jejich usporˇa´da´nı´.
Definice1.4. Bud’A mnozˇina.R
ˇ
ekneme,zˇebina´rnı´relace ≤ na A jeusporˇa´da´nı´m,
jestlizˇeje
1. reflexivnı´: ∀x ∈ A platı´: x ≤ x,
2. antisymetricka´: ∀x,y ∈ A platı´: x ≤ y a y ≤ x ⇒ x = y,
3. tranzitivnı´: ∀x,y,z ∈ A platı´: x ≤ y a y ≤ z ⇒ x ≤ z.
R
ˇ
ekneme, zˇerelace ≤ jeu´plne´ usporˇa´da´nı´, jestlizˇe jeusporˇa´da´nı´m a navı´c platı´, zˇe
∀x,y ∈ A je x ≤ y nebo y ≤ x.
Je-li ≤ usporˇa´da´nı´naA,pak dvojici (A,≤) nazveme usporˇa´danou mnozˇinou .
Je-li ≤ u´plne´ usporˇa´da´nı´naA, pak dvojici (A,≤) nazveme u´plneˇ (linea´rneˇ) uspo-
rˇa´danou mnozˇinou (neboli rˇeteˇzcem).
1.2 Rea´lna´cˇı´sla 3
Za´pis x ≥ y povazˇujeme za jinou formu za´pisu vztahu y ≤ x. Je-li x ≤ y,ale
x negationslash= y,pı´sˇeme xy.Vu´plneˇ usporˇa´dane´ mnozˇineˇ A
platı´tzv.za´kon trichotomie: Pro libovolna´ x,y ∈ A nastane pra´veˇ jedna z mozˇnostı´
x = y, xy.ProB,C ⊆ A pı´sˇeme B b.
Du˚kaz. Nejprvedoka´zˇeme,zˇeNnenı´vRshoraohranicˇena´.Prˇipust’me,zˇeplatı´opak.Podle
axiomu (R13) pak existuje supN = c ∈ R.Protozˇe c − 1 c− 1. Pak ale n + 1 ∈ N,
n + 1 >c,cozˇ jesporstı´m, zˇec je (nejmensˇı´)hornı´za´voraN.
Nynı´doka´zˇemetvrzenı´lemmatu.Kdybyneexistovalo n ∈Ns vlastnostı´ na > b,platilo
by pro vsˇechna n ∈ N,zˇe na ≤ b, tj. n ≤ b/a aNby byla shora ohranicˇena´,cozˇvedeke
sporu.
Usporˇa´dane´ pole majı´cı´vlastnostpopsanouv prˇedchozı´mlemmatu, se nazy´va´ archime-
dovske´.MnozˇinaRjetedyarchimedovske´ pole.
Lemma1.12. Necht’x,y ∈R, x