Diferenciální počet

a´lnı´ funkce ........................... 42
3.3 Goniometricke´ a cyklometricke´ funkce ................ 46
3.4 Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce ................. 53
3.5 Mocninna´ funkce ........................... 55
Cvicˇenı´ ................................... 58
4 Limitaa spojitost funkce 63
4.1 Limita ................................. 63
4.2 Veˇty o limita´ch ............................ 66
4.3 Spojitost funkce v bodeˇ ........................ 71
4.4 Spojitost funkce na intervalu ..................... 76
4.5 Body nespojitosti ........................... 80
4.6 R
ˇ
esˇene´prˇı´klady na limity ....................... 82
Cvicˇenı´ ................................... 84
v
5 Derivace funkce 87
5.1 Derivace a jejı´geometricky´vy´znam ................. 87
5.2 Veˇty o derivaci ............................ 91
5.3 Derivace elementa´rnı´ch funkcı´ .................... 97
5.4 Veˇtyostrˇednı´ hodnoteˇ ........................ 99
5.5 L’Hospitalovo pravidlo ........................ 102
5.6 R
ˇ
esˇene´prˇı´klady na derivaci a limitu ................. 108
Cvicˇenı´ ................................... 111
6Pru˚beˇhfunkce 113
6.1 Podmı´nky monotonie funkce ..................... 113
6.2 Extre´my ................................ 115
6.3 Konvexnost, konka´vnost, inflexnı´body ............... 120
6.4 Asymptoty funkce ........................... 128
6.5 Pru˚beˇh funkce — shrnutı´ ....................... 131
6.6 R
ˇ
esˇene´prˇı´klady na extre´myapru˚beˇh funkce ............. 133
Cvicˇenı´ ................................... 151
7Prˇiblizˇne´ vyja´drˇenı´funkce 153
7.1 Diferencia´l .............................. 153
7.2 Tayloru˚v vzorec ............................ 158
7.3 Aplikace Taylorova vzorce ...................... 164
Cvicˇenı´ ................................... 166
Dodatek 168
D.1 Dalsˇı´vlastnosti rea´lny´chcˇı´sel .................... 168
D.2 Limita funkce a jejı´zobecneˇnı´ .................... 173
D.3 Dalsˇı´vlastnosti konvexnı´ch funkcı´ .................. 176
D.4 Dalsˇı´vlastnosti funkcı´ na intervalu .................. 183
D.5 Obecna´ Taylorova veˇta ........................ 188
Historicka´pozna´mka 190
Vy´sledky cvicˇenı´ 193
Literatura 204
Rejstrˇı´k 206
vi
1
Kapitola1
Pojemfunkce
Obsahem te´to kapitoly je zavedenı´ pojmu funkce a popis neˇktery´ch nejdu˚lezˇiteˇjsˇı´ch
vlastnostı´ funkcı´. Spra´vne´ pochopenı´ tohoto pojmu je du˚lezˇite´ pro cely´ diferencia´lnı´
pocˇet funkcı´ jedne´promeˇnne´ a rovneˇzˇ pro navazujı´cı´ partie jako integra´lnı´ pocˇet,
obycˇejne´ diferencia´lnı´ rovnice a pod.
1.1. Za´kladnı´mnozˇinove´pojmy
Abychom mohli v na´sledujı´cı´m oddı´lu zave´st mnozˇinurea´lny´chcˇı´sel, prˇipomeneme
si neˇktere´du˚lezˇite´ pojmy z teorie mnozˇin.
Definice 1.1. Karte´zsky´m soucˇinemdvou mnozˇin A a B rozumı´me mnozˇinu vsˇech
usporˇa´dany´ch dvojic (x,y), kde x ∈ A a y ∈ B jsou libovolne´ prvky. Znacˇı´me
A × B.Tedy
A × B ={(x,y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Bina´rnı´relacı´rozumı´melibovolnoupodmnozˇinukarte´zske´hosoucˇinuA×B.Vprˇı´-
padeˇ,zˇe A = B, se pouzˇı´va´na´zev bina´rnı´ relace na mnozˇineˇ A. K oznacˇenı´ relacı´
pouzˇı´va´me obvykle mala´pı´smena. Naprˇ.: f ⊆ A × B.
Prona´snejdu˚lezˇiteˇjsˇı´prˇı´pad bina´rnı´ relace je zaveden v na´sledujı´cı´ definici.
Definice 1.2. Relaci f ⊆ A