Studijní materiály

Zpět

Hromadně přidat materiály

přednáška 7

TAA01E - Aplikovaná matematika

Hodnocení materiálu:

Vyučující: doc. RNDr. CSc. Petr Gurka

Zjednodušená ukázka:

Stáhnout celý tento materiál

rka (katedra matematiky) 7. Diferenciální rovnice 16. 11. 2006 5 / 10
Máme
y(x)prime = k y(x)
parenleftBig
1− y(x)L
parenrightBig
= k y(x)
parenleftbigL−y(x)parenrightbig
L ,
odkud parenleftBig 1
y(x) +
1
L−y(x)
parenrightBig
yprime(x) = Ly
prime(x)
y(x)parenleftbigL−y(x)parenrightbig = k.
Nyní integrujeme integraltext ··· dx:
ln
parenleftBig y(x)
L−y(x)
parenrightBig
=
integraldisplay parenleftBig 1
y(x) +
1
L−y(x)
parenrightBig
yprime(x)dx =
integraldisplay
k dx = kx + C
substituce:
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
y(x) = y
yprime(x)dx = dy
tj. yprime(x) = dydx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
integraltext parenleftbig1
y +
1
L−y
parenrightbigdy = lny− ln(L−y) = lnparenleftbig y
L−y
parenrightbig
Vyjde
y(x)
L−y(x) = e
kx+C = C1 ekx,
tedy
y(x) = C1 Le
kx
1 + C1 ekx .
Petr Gurka (katedra matematiky) 7. Diferenciální rovnice 16. 11. 2006 6 / 10
Vyšlo
y(x) = C1 Le
kx
1 + C1 ekx .
Dále platí
y0 = y(0) = C1 L1 + C
1
,
odkud y0(1 + C1) = C1 L ⇒ C1(L−y0) = y0 ⇒ C1 = y0L−y0.
Potom
y(x) =
y0
L−y0 Le
kx
1 + y0L−y0 ekx =
Ly0 ekx
L−y0 + y0 ekx =
Ly0
y0 + (L−y0)e−kx .
Petr Gurka (katedra matematiky) 7. Diferenciální rovnice 16. 11. 2006 7 / 10
Definice. (Separovatelná rovnice)
Diferenciální rovnici typu
yprime = f (x)g(y) (1)
nazveme separovatelnou diferenciální rovnicí.
Poznámka.
Za separovatelné rovnice můžeme rovněž považovat rovnice
u(y)yprime = v(x), yprime = v(x)u(y) apod.
Definice. (Řešení diferenciální rovnice)
Řekneme, že funkce ϕ definovaná na otevřeném intervalu (a,b), je řešením
diferenciální rovnice (1) na intervalu (a,b), jestliže má ve všech bodech
x ∈ (a,b) vlastní derivaci ϕprime(x) a pro každé

Stáhnout celý tento materiál

Předchozí

1 2 3

Další

Vloženo: 25.06.2009

Velikost: 309,34 kB

Stáhnout celý tento materiál

Komentáře

Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.

Mohlo by tě zajímat:

Skupina předmětu TAA01E - Aplikovaná matematika
Reference vyučujících předmětu TAA01E - Aplikovaná matematika
Reference vyučujícího doc. RNDr. CSc. Petr Gurka

Podobné materiály