přednáška 6

e
vextendsingle
= (x + 1) ln(x + 1)−
integraldisplay 1
x + 1 (x + 1)dx
= (x + 1) ln(x + 1)−
integraldisplay
1dx = (x + 1) ln(x + 1)− x + C.
Je dobré si uvědomit, že pokud vprime = 1, platí, že v = x + c, kde c je
libovolná konstanta. Většinou se volí c = 0, zde jsme s výhodou volili
c = 1.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 11 / 15
Příklad.
Vypočítejme
integraldisplay arctgx
1 + x2 dx.
Řešení.
Máme
integraldisplay arctgx
1 + x2 dx =
integraldisplay
arctgx · 11 + x2 dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle u = arctgx, vprime = 11+x2uprime = 1
1+x2, v = arctgx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
= (arctgx)2 −
integraldisplay arctgx
1 + x2 dx.
Odsud po úpravě integraldisplay
arctgx
1 + x2 =
1
2 arctg
2 x + C.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 12 / 15
Věta. (Metoda integrace substitucí)
Nechť f je funkce spojitá na intervalu I a F je funkce k ní primitivní na I.
Dále předpokládejme, že funkce g má první derivaci gprime(x) ve všech bodech
x ∈ J a že g(x) ∈ I pro každé x ∈ J. Pak složená funkce F(g(x)) je
primitivní funkcí k funkci f (g(x))gprime(x) na intervalu J.
integraldisplay
f parenleftbigg(x)parenrightbiggprime(x)dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle g(x) = tgprime(x)dx = dt
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
integraldisplay
f (t)dt
= F(t)+ C = Fparenleftbigg(x)parenrightbig + C.
integraldisplay
f (t)dt =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle t = g(x)dt = gprime(x)dx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
integraldisplay
f parenleftbigg(x)parenrightbiggprime(x)dx
= G(x)+ C =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle g(x) = tx = g−1(t)
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = Gparenleftbigg−1(t)parenrightbig + C.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 13 / 15
Příklad.
Vypočítejme
integraldisplay
sin2 x cosx dx.
Řešení.
Použijeme 1. metodu :
integraldisplay
sin2 x cosx dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle sinx = tcosx dx = dt
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
integraldisplay
t2 dt = t
3
3 + C =
sin3 x
3 + C.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 14 / 15
Příklad.
Vypočítejme integrál
integraldisplay
e
√t
dt.
Řešení.
Použijeme 2. metodu a dále také metodu per partes:
integraldisplay
e
√t
dt =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
t = x2
(x = √t)
dt = 2x dx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
integraldisplay
2x ex dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle u = 2x, vprime = exuprime = 2, v = ex
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
= 2x ex −
integraldisplay
2ex dx = 2ex(x − 1)+ C = 2e
√t
(√t − 1)+ C.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 15 / 15