příklady

8
4. Vektory a matice
4.1.1 Seþt
 te vektory @
>
2, 3, 2b >
@
1, 4, ,2a 
a+b
> @1, 4, ,2a 
a-b= - (b-a)
a-b
b-a
> @
a= 2,-5,1,9,-7
v
=-v = -3a-0b
30 1 321 121
A251 654 221
720 024 010
BC
ªº
«»«»«»

«»«»«»
¬¼¬¼¬¼
=2A+B
B - A
=2C.
> @ > @ > @ > @1, 4, 2 3, 2, 2 1 3, 4 2, 2 2 4, 2, 0   
4.1.2 Odeþt
 te vektory @
>
2, 3, 2b 
> @ > @ > @ > @
>@>@> @>
1, 4, 2 3, 2, 2 1 3, 4 2, 2 2 2, 6, 4
3, 2, 2 1, 4, 2 3 1, 2 4, 2 2 2, 6, 4
Platí t y:ed
  
  



@

4.1.3 Urþete vektor v = 2a , je-li
> @ > @
2 2, 5,1,9, 7 4. 10, 2,18, 14   
4.1.4 Urþete vektor v = -3a-0b , je-li a=[3,2,-1] b=[0,3,9]
> @
3[3,2,-1] -0[0,3,9] = -9,-6,3
4.2.1 Jsou dány þtvercové matice A,B,C
ªºªº
a) vypoþt
 te A+B
30 1 321 02 0
51 654 8105
720 024 470
ªºªºªº
«»«»«»

«»«»«»
¬¼¬¼¬¼
b) vypoþt
 te B-A
32 1 3 0 1 62 2
654 25 1 403
02 4 7 20 74 4
ªºªºª
«»«»«

«»«»«
¬¼¬¼¬
º
»
»
»
¼
º
»
»
»
¼
c) vypoþt
 te 2.C
121 242
2.221 442
010 020
ªºª
«»«

«»«
¬¼¬
d) vypoþt
 te A-3B+2C
8
9
30 1 321 121 30 1
=2 5 1 3 6 5 4 22 2 1 2 5 1
720 024 010 720
9 6 3 242 14 2 2
18 15 12 4 4 2 12 6 9
0 6 12 0 2 0 7 10 12
 
ªºªºªºªº
«»«»«»«»

«»«»«»«»
¬¼¬¼¬¼¬¼
 
ªºªºªº
«»«»«»
 

¬¼¬¼¬¼
A-3B+2C
=(A+B)-(B - A)-2A
A=
2468
1357
-1 2 -3 4
4200
1
0
E=
0
0
,
ªº
«»
«»
¼¬
A+E=
ac -ab
A= , B=
db c -b
ªº ª º
«» « »
¬¼ ¬ ¼
+AB=
e) vypoþt
 te (A+B)-(B-A)-2A
02 0 622 30 1 02 0
8105 403 225 1 8105
70 4 74 4 7 20 70 4
622 602 000
40 3 4 10 2 000
744 1440 000

ªºªºªºªº
«»«»«»«»

«»«»«»«»   
¬¼¬¼¬¼¬¼
 
ªºª ºªº
«»« »«»
    
«»« »«»
¬¼¬ ¼¬¼

4.2.2 Vypoþt
 te A+E ,je-li
000
100
010
001
ªº
«»
«»
«
¼¬
»
2468 1000 3468
1357 0100 1457
-12-34 0010 -12-24
4 2 0 0 0001 4 2 0 1
ªºªºª
«»«»«

«»«»«
¬¼¬¼¬
º
»
»
»
»
¼
º
4.2.3 Vypoþt
 te A+B , je-li
ac -ab 0 c+b
db c -b d+c 0
ªºª ª

«»«
¬¼¬ ¼¬
«» »
¼
9
10
4.3.1 Vypoþt
 te souþin matic A . B a B . A, jestliže
10
357
,B=34
294
57
A=
ªº
ªº
«»

«»
«»

¬¼
«»
¬¼
A.B=
B.A=
3-7
A=
45
ªº
«»
¬¼
A.E=
E.A=
ªº
«»
1-2 56
A= B=
-4 3 7 -8
A.B=
B.A=
«»
ªº
«»
ªº ªº
«» «»
¬¼ ¼¬
10
3 5 7 3.1 (5).(3) 7.5 3.0 (5).4 7.7
.34
2 9 4 (2).1 9.(3) 4.5 (2).0 9.4 4.7
57
53 29
964
ªº

ªºª
«»

«»«
«»
 
¬¼¬
«»
¬¼
ªº

«»

¬¼

º

»

¼

1 0 1.3 0.( 2) 1.( 5) 0.9 1.7 0.4
357
3 4 . ( 3).3 4.( 2) ( 3).( 5) 4.9 ( 3).7 4.4
294
5 7 5.3 7.( 2) 5.( 5) 7.9 5.7 7.4
357
17 51 5
13863
  
ªº ª º

ªº
«» « »
 
«»
«» « »

¬¼
«» « »  
¬¼ ¬ ¼

ªº
«»
 
¬¼
4.3.2 P
 esv
 dþeme se, že platí A. E = E . A = A je-li E jednotková matice stejného
 ádu jako matice
A,
která je tvaru
A
10
01
10
3 -7 3.1 ( 7).0 3.0 0.5 3 -7
.
4 5 4.1 5.0 4.0 5.1 4 5
3-7 1.30.41.(7)0.
A
01
53-7
.
45 0.31.40.(7)1.5 45
ªº
«»
¬¼
ª
 
ªºªº

«»«»

¬¼ ¬ ¼¬¼

ªºª ºªº
«»«
º
« »« »

»
¬

¼ ¼¬ ¬ ¼
º
»
¼
º
4.3.3 Vypoþt
 te souþin matic A . B a B . A, jestliže
1-2 56 92
.
-4 3 7 -8 1 48
56 1-2 19 8
.
7-8 - 943 3 38

ªºªºª

«»«

¬¼¬¼¬

ªºª

«»«»

¬¼¬ ¼¬ ¼
10
11
4.3.4 Vypoþt
 te souþin matic A . B a B . A, jestliže
>@
>@
2
52-3.-1 4
4
2104
-1 . 5 2 -3 5 2 3
4208
ªº
«»

«»
«»
¬¼
6
12

ªº ª º
»«»
 
«»
«» « »
¬¬¼¼
>@
>@
2
A= 5 2 -3 B= -1
4
A.B=
B.A=
«
ªº
«»
»
«»
¼
»«
¬
23
A,A
34
A=
-2 1
ªº
«»
¬¼
2
3
34
AA,A=
AA,A.A=
«»
ªªª
«


«
4.3.5 Vypoþt
 te souþin , je-li
2
34 34 116
.
-2 1 -2 1 8 7
34 34 116 34 29 20
.. .
-2 1 -2
A
1-21 8 7-21 1
=
039
.A
ªºªºª º

«»« »

¬¼¬¼¬ ¼

ºª ºª º ºª º º

»« »« » « »« » « »
  
¬¼¬¼¬¼ ¬ ¼¬ ¼¬ ¼
4.3.6 Vypoþt
 te souþin matic A.B , kde
123 111
012, 011
001 001
AB
123111 135
. 0 1 2.0 1 1 0 1 3
001001 001
AB
11
12
4.4.1 Vypoþt
 te hodnost h(A) matice A, je-li
24 680
A= 3 7 2 1 5
10 22 8 18 10
ªº
«»


¬¼
A=
~
1-1
23
A=
32
-1 1
ªº
«»
«»
«»
«»
¬¼
=2A=~~h(A)
«» «
«»
«
a
-201
A= 1 2 1
03
ªº
«»
«»
¬¼
A=
/(2) 1.
(1. ).( 3)
/(2) (1. ).( 5
~~
24 680 12340
37 215 37 215
10 22 8 18 10 5 11 4 9 5
12 3 40
123 4