příklady

33
11
3.( ). 2 3.( ).1.1.0
.
1.(
0
33
3.1
00
0
1. ) 2
()(2.)
3
1
0
.
0
0
0









 







 
( 1) 2.0.1 1.2.0 1.1.1 3.0.0 2.2.( 1) 3 1 4 0      





1
0
16
17
5.4.2 Úpravou na trojúhelníkový tvar vypoþt
 te hodnotu determinantu
313174
6283 8
10 40 54 13
837461
1. 1.
2.(1. ) 2.
. ( 5).(2. ) 10.(2. )
.) .5.
1
3.5
11
313174 31317 4
6283 8 0 2 10
.
10 40 54 13 0 20 3 1
8 37 46 11 0 25 14 3
31317 4 31317 4
10 02 10
.
(3. )
1. 1.
2. 2
3
3.
.
13 1 13 1
00 41 7 00 2(3. 4)























313 17 4
02 1 0
3.2.( 13).50
.5
0 0 13 1
00 0 50
13
1
.
3.
.2.(3).












4.(3.
3
5
3.5.
02
.4300 5.4 00 
3.5.4.13 3.5.4 13.

4
5.4.3 P
 esv
 dþete se, že hodnota determinantu A a determinantu transponované matice k matici A je
stejná.
2
T2
a
det A= .( ) . .
a
det A = .( ) . .
c
aacb acb
ba
b
aabc acb
ca
 

 

5.4.4 P
 esv
 dþete se, že vým
 na dvou po sob
 jdoucích
 ádk
$ zp
$ sobí zm
 nu znaménka.
Vým
 na prvých dvou
 ádk
$ :
123
det 2 1 2 1 12 12 9 4 4 40
321
212
det 1 2 3 4 9 4 12 12 1 40
321
A
A

      

 
17
18
6.
 ešení soustav lineárních rovnic
6.1.1
 ešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminaþní metody
2348
35 1
77
xyz
xyz
xyz



0
15
 ·
¸

¸
¸

¹
6
Protože matice soustavy má hodnost h(A)=2 a rozší
 ená matice sou
1. 1.
(1,5).(1.) 2.
(3,5).(1.) (1).
23 8 2 3 8 2 3 8
35 10 09,5 2
(2.
09,5 2
7 1 15 0 9,5 13 0 0) 011


§· § ·§
¨¸ ¨ ¸¨

©¹ © ¹©

 
~~
stavy má hodnost h(A B)=3,
nemá soustava A.X=B dle Frobeniovy v
 ty
 ešení
|
4
1
7
4
7
7
4
7
6.1.2
 ešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminaþní metody
235
345
xyz
xyz


po
Matice soustavy i rozší
 ená matice soustavy mají hodnost h (A)=h (A B)=2,
þet prom
 nných n=3. Podle v
 ty Frobeniovy je n-h (A) =1 prom
 nná volitelná
12 1.
(3).(1.)
35 1 2 3 5
3456 0101 9





§·§ ·
¨¸¨ ¸

©¹© ¹

|
~
.
Zvolme tedy z = t. Pak ze soustavy plyne
kde t je libovolné reálné þíslo.
11
=t y= (14 9) ( 16) ,
10 5
ztxt 
4
18
19
6.1.3
 ešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminaþní metody
595
20
233
xyz
xyz
xyz



1
2
0
0
0
zp
 tný
1. 1.
1. 5.(1. ) 5.(1. )
2.(1. ) 2.(1.
5951 1210 1210
12 0 5951 0101
2332 2332 0712
1210 1210
0101 0101
07
)
1. 1.
2. 2.
7.(2. ) 7.(2. )12 001 5










 
§·§·§·
¨¸¨¸¨¸
©¹©¹©¹

§·§·
¨¸¨¸

©¹


©¹


~~
~~
když dosadíme vypoþtené hodnoty y a z .
chod :
51 02527,zyxzy    
~1
6.1.4
 ešte soustavu lineárních rovnic A.X=0 pomocí Gaussovy eliminaþní metody
12 3
12 3
12 3
12 3
23
47 5
610
40
xx x
xx x
xx x
xx x




12 3 1 2 3
12 3
47 5 0 1 7
0-1 7
1610 0 4 7
04 7
11 4 0 1 7
2
1. 1.
1.
4.(1. ) 2.
.( 1)
(1.) 4.(2.)
(4).(2. )
(1. ) ( )
13123
07 01
.
2.
/
7,
00 21 001(21)








 vynech




§·§ ·
§·
¨¸¨ ¸

¨¸

¨¸¨ ¸
¨¸
©¹

©¹© ¹
§·§·
¨¸¨¸
¨¸¨¸

©¹©¹







1
1
~~~
~
123
soustava má triviální
 ešeníh (A)=h (A B)=n=3 , 0xxx |
19
20
6.1.5
 ešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminaþní metody
12 3
12 3
12 3
23
24 6
26
xx x
xx x
xx x



1
2
3
3
2
1
h(A)=2, h(A/ )=2, n=3, tedy jednu prom
 nnou volíme jako parametr
12 1 1 2 3 1
12 1
24 2 0 0 0 0
11
01
26 3 010 1
210
11
210
11 12
1 2.( ) 3. 2
210 10
xt
xt
xttt
§·§ ·
§·
¨¸¨ ¸
¨¸


©¹
©¹© ¹

 
    

B
3
6
1
3
5
6.2.1 Pomocí Cramerova pravidla
 ešte soustavu lineárních rovnic
37
32
3
xyz
xyz
xyz



5
x
x
y
y
det(A) 0, tedy soustava má práv
 jedno
 ešení
113
det(A) =1-32 3329218,
111
713
det(A ) 8
det(A ) = 5 -3 2 21 15 6 27 14 5 8 1 1
det(A) 8
311
173
det(A )
0
det(A ) = 1 5 2 5 9 14 15 6 7 0 0
det(A) 8
131
xt
yt
z      
     
  
edy x
e
Z
z
0
117
det(A ) 16
det(A ) = 1 -3 5 9 7 5 21 5 3 16 2 2
det(A) 8
113
dy y
ztedyz

     
20