Úvod do matematické statistiky

1

Předmět matematické statistiky


Pravděpodobnost a matematická statistika. Metody teorie pravděpodobnosti slouží k výpočtu
pravděpodobností náhodných jevů a k hledání rozdělení náhodných veličin. Vycházíme přitom vždy z
určitých známých skutečností či apriorních předpokladů o podmínkách, za nichž k pozorovaným je-
vům dochází. To znamená, že metody teorie pravděpodobnosti jsou deduktivní*); umožňují totiž zjistit,
s jakou pravděpodobností dochází v důsledku jistých příčin k určitým následkům.
Na druhou stranu metody matematické statistiky jsou ve své podstatě induktivní*). Jejich prostřed-
nictvím na základě experimentálních dat usuzujeme na příčiny pozorovaných jevů.

Příklad. Hod hrací kostkou

Základní myšlenkové schéma matematicko-statistických metod. Cílem matematické statistiky je
odhalování obecných zákonitostí, které se odrážejí v hromadných datech. Data jsou určitým souborem
reálných čísel nxxx ,,, 21 K a získáme je změřením hodnot nějakých náhodných veličin
nXXX ,,, 21 K . Předpokládejme, že veličiny nXXX ,,, 21 K jsou nezávislé a mají stejné rozdělení L
(to odpovídá situaci, kdy na jednotkách určitého statistického souboru provádíme vzájemně nezávislá
měření jednoho a téhož statistického znaku). Naším cílem je získat z hodnot nxxx ,,, 21 K co možná
nejvěrnější obraz o rozdělení L . (Určité informace o tomto rozdělení mohou být přitom známy; na-
příklad může být znám typ rozdělení, nikoliv však jeho parametry).

Náhodný výběr. Posloupnost nXXX ,,, 21 K nezávislých náhodných veličin s týmž rozdělením L
se nazývá (náhodný) výběr z rozdělení L .

Hlavní metody matematické statistiky.
Odhad neznámých parametrů
Statistické testování hypotéz

Odhad neznámých parametrů.
Bodový odhad …
Intervalový odhad …

Statistické testování hypotéz. Nemáme-li o určitém rozdělení L dostatečné informace, můžeme
stanovit nějakou pracovní hypotézu, týkající se jeho vlastností a tuto hypotézu posléze testovat. Při
tomto testování ověřujeme, zda je naše hypotéza v souladu s experimentálními daty; daty přitom ro-
zumíme hodnoty nxxx ,,, 21 K nezávislých náhodných veličin nXXX ,,, 21 K s rozdělením L .
Testovanou hypotézu nazýváme nulovou hypotézou a značíme ji 0H . K této hypotéze stanovíme
nějakou alternativní hypotézu (neboli alternativu) 1H . Jsou-li získaná data s hypotézou 0H v příliš
velkém rozporu, pak tuto hypotézu zamítneme a nahradíme ji alternativou 1H . (Říkáme, že hypoté-
zu 0H testujeme proti alternativě 1H .)
Při testování hypotéz je třeba předem stanovit nějaké objektivní kritérium, dle kterého rozhodne-
me, zda testovanou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme. Bez ohledu na to, jak je toto kritérium
zvoleno, můžeme při jeho aplikaci dojít k chybnému závěru. Jednak můžeme zamítnout hypotézu,
která je správná; to je tzv. chyba prvního druhu. Na druhou stranu se může stát, že nezamítneme hypo-
tézu, která je nesprávná; tomu říkáme chyba druhého druhu. Pravděpodobnost chyby prvního druhu se
ve statistické teorii nazývá hladina významnosti testu.

*) Deduk