Úvod do matematické statistiky

ce je způsob myšlení, kdy z obecného vyvozujeme konkrétní a z příčin usuzujeme na následky. Oproti tomu indukce
je způsob myšlení, kdy z konkrétních faktů usuzujeme na obecné principy a z následků na příčiny.

2

Není rozumné požadovat, aby pravděpodobnost chyby prvního druhu byla příliš malá, neboť pak
by byly s malou pravděpodobností zamítány i nesprávné hypotézy, tj. byla by příliš veliká pravděpo-
dobnost chyby druhého druhu. My však naopak požadujeme, aby nesprávné hypotézy byly zamítány
s velkou pravděpodobností; v takovém případě říkáme, že test má velkou sílu. Kritérium pro zamítání
testované hypotézy proto stanovujeme tak, aby hladina významnosti testu nepřekročila určitou únos-
nou mez (zpravidla 0,05) a přitom měl příslušný test při zvolené hladině významnosti co možná nej-
větší sílu.
Ve statistické praxi se k testování hypotéz používá tzv. testovacích statistik. Testovací statistika T
pro hypotézu 0H je náhodná veličina, která je funkcí veličin nXXX ,,, 21 K . Hypotéza 0H se zamítá,
jestliže hodnota testovací statistiky T padne do tzv. kritické oblasti.













































3

Odhad střední hodnoty a rozptylu


Bodové odhady parametrů µ a 2σ . Nechť nXXX ,,, 21 K je náhodný výběr z rozdělení L
s konečnou střední hodnotou µ a konečným rozptylem 2σ . Náhodná veličina
∑
=
=
n
i
iXnX
1
1
se nazývá výběrový průměr a veličina
∑
=
−−=
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
výběrový rozptyl. Veličiny X a 2S představují tzv. bodové odhady parametrů µ a 2σ .

Tvrzení. Nechť nXXX ,,, 21 K je náhodný výběr z rozdělení L majícího konečnou střední hodno-
tu µ a konečný rozptyl 2σ . Pak platí:
(a) µ=)(XE ,
(b) nXD
2
)( σ= .
Důkaz.
(a) .)(111)(
111
µµ ==⋅=



⋅=



= ∑∑∑
=== n
nXE
nXEnXnEXE
n
i
i
n
i
i
n
i
i
(b) nnnXDnXDnXnDXD
n
i
i
n
i
i
n
i
i
2
2
2
12121
)(111)( σσ ===



⋅=



= ∑∑∑
===
. □

Komentář.
(a) 0)( =− µXE ; X je nestranný (nevychýlený) odhad parametru µ , tj. při odhadu parametru µ
veličinou X se nedopouštíme systematické chyby (pouze náhodné).
(b) 0)(  → ∞→nXD ; odtud vyplývá, že µ → ∞→nX podle pravděpodobnosti. (Čebyševův zákon
velkých čísel). To znamená, že velikost náhodné chyby, které se dopustíme při odhadu parametru µ
veličinou X se s rostoucí velikostí výběru (tj. s rostoucím počtem měření) stále zmenšuje – říkáme, že
X je konsistentní odhad parametru µ .
Rozepsáno:
αεµαε ≤≥−⇒≥∃>∀>∀ )(:00 00 XPnnn ,
tj.
αεµαε −>∀>∀ 1)(:00 00 XPnnn .
Příklad. 01,0=ε , 05,0=α (resp. 01,0=α )

Tvrzení. Nechť nXXX ,,, 21 K je náhodný výběr z rozdělení L majícího konečnou střední hodno-
tu µ a konečný rozptyl 2σ . Pak platí:
(a) Pro 2≥n je 22 )( σ=SE , tj. 2S je nestranný odhad parametru 2σ .
(b) 2S je konsistentní odhad parametru 2σ , tj. 22 σ → ∞→nS podle pravděpodobnosti.
4

Důkaz. (a) Je
[ ] [ ] ,)1()()()()()(
)()()(
22
2
22
1
22
1
22
1
22
1
2
σµσ