Úvod do matematické statistiky

µσ −=



 +−+=+−+=
−=



 −=



 −
∑
∑∑∑
=
===
nnnnXEXDnXEXD
XnEXEXnXEXXE
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i

tudíž
2
1
2
1
22 )(
1
1)(
1
1)( σ=



 −⋅
−=


 −
−= ∑∑ ==
n
i
i
n
i
i XXEnXXnESE . □

Poznámka. Označme
∑
=
− −−=
n
i
in XXnS
1
22
1 )(1
1 a ∑
=
−=
n
i
in XXnS
1
22 )(1 .
Pak
2
1
2 1
−⋅
−=
nn Sn
nS ,
a tedy
222
1
2
1
2 1)(11)( σσ )Γ(
=
−−
.00
,022 1
)(
212
2
x
xexn
xf
xn
n
n
pro
pro

Toto rozdělení budeme označovat symbolem 2nχ a skutečnost, že veličina X má takové rozdělení,
budeme vyjadřovat zápisem 2~ nX χ .

Charakteristiky. Nechť 2~ nX χ . Pak 2ˆ −= nx , nXE =)( , nXD 2)( = .

Konvoluce chí-kvadrát rozdělení. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny, přičemž 2~ mX χ
a 2~ nY χ . Pak 2~ nmYX ++ χ .

Tvrzení. Má-li veličina X rozdělení )1,0(N , pak veličina 2X má rozdělení 21χ .
Důkaz. Označme Φ distribuční funkci veličiny X a G distribuční funkci veličiny 2XY = . Pro
0>y máme
1)(2)()()()()()( 2 −Φ=−Φ−Φ=n , pak )2()( −= nnXD .

Věta. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny, přičemž )1,0(~ NX a 2~ nY χ . Pak
ntnY
X ~ .

Důsledek. Pro ∞→n se rozdělení nt asymptoticky blíží k rozdělení )1,0(N . To znamená, že pro
velké n lze s rozdělením nt počítat jako s rozdělením )1,0(N .

Kritické hodnoty. Nechť )(αu , resp. )(αnt jsou čísla vyhovující následujícím podmínkám: má-li
veličina X rozdělení )1,0(N , pak
[ ] αα => )(uXP ;
má-li veličina X rozdělení nt , pak
[ ] αα => )(ntXP .
Tato čísla nazýváme kritickými hodnotami rozdělení )1,0(N , resp. nt .
Povšimněte si, že označení kritických hodnot rozdělení )1,0(N a nt není konzistentní; odchylné
označení má historický původ a netřeba v něm hledat žádný hlubší smysl.
7

Nejčastěji používané kritické hodnoty rozdělení )1,0(N jsou uvedeny v následující tabulce:
α ( )2αu
0,05 1,96
0,01 2,576
0,001 3,291


F rozdělení

Definice. Řekneme, že spojitá náhodná veličina X má F rozdělení s m a n stupni volnosti, jestliže
má hustotu nmf , danou předpisem
2)(
12
2
, 1
22
2)( nmmm
nm xn
mx
n
m
nm
nm
xf
+−
− 



 ⋅+




ΓΓ
 +Γ
= .
Toto rozdělení budeme označovat symbolem nmF , a skutečnost, že veličina X má takové rozdělení,
budeme vyjadřovat zápisem nmFX ,~ . Starší název pro F rozdělení je Fisherovo-Snedecorovo roz-
dělení.

Věta. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny, přičemž 2~ mX χ a 2~ nY χ . Pak
nmFnY
mX
,~ .

Kritické hodnoty. Symbolem )(, αnmF budeme označovat kritickou hodnotu rozdělení nmF , , tj. ta-
kovou hodnotu, která je veličinou s rozdělením nmF , překročena s pravděpodobností α . Lze ukázat,
že )()1( 1,, αα −=− mnnm FF .


Beta funkce a beta rozdělení

Beta funkce. )( )()(),( sr srsr +Γ ΓΓ=Β

Beta rozdělení. Nechť sr, jsou daná přirozená čísla. Řekneme, že spojitá náhodná veličina X má
beta rozdělení s parametry sr, , jestliže má hustotu srf , danou předpisem


∉