VMB-derivace

Der iv ace funkcí 1 / 24
Výpo ˇcetní metody v biologii
2. Der iv ace funkcí
P ˇrem ysl Jedli ˇcka
Katedr a matematiky , TF ˇCZU
Technická
fakulta
Der iv ace funkcí Motiv ace pojm u der iv ace 2 / 24
Der iv ace v e fyzice
Isaac Ne wton
1643–1727
Pr ˚um ˇer ná r ychlost
v =
s
t
Okamžitá r ychlost
v = lim
dt!0
ds
dt
ds
Der iv ace funkcí Motiv ace pojm u der iv ace 3 / 24
Der iv ace v geometr ii
Gottfr ied Wilhelm Leibniz
1646–1716
Sm ˇer nice te ˇcn y
k = lim
x!0
y
x
x
y
Der iv ace funkcí Motiv ace pojm u der iv ace 4 / 24
Der iv ace funkce
Definice
Bud ’ f reálná funkce spojitá v bod ˇe a . Der iv ace funkce f v bod ˇe a ,
zna ˇcená f0(a), je defino vána jak o
lim
x!0
f (a + x) f (a)
x
:
Definice
Bud ’ f reálná spojitá funkce . Der iv ace funkce f (x) je reálná funkce f0(x),
neboli funkce , která každém u bodu p ˇri ˇradí der iv aci v p ˇríslušném bod ˇe.
Der iv ace funkcí Pr a vidla pro der iv o vání 5 / 24
Der iv ace mocnin
P ˇríklad

x2
0
= lim
x!0
(x + x)2 x2
x
= lim
x!0
x2 + 2x x + x2 x2
x
=
= lim
x!0
2x x + x2
x
= lim
x!0
x (2x + x)
x
= lim
x!0
(2x + x) = 2x
F akt
Pro každé 2 R platí (x )0 = x 1 .
Speciáln ˇe, x0 = 1 .
Der iv ace funkcí Pr a vidla pro der iv o vání 6 / 24
Základní vz ore ˇcky pro der iv o vání
V ˇeta (Der iv ace sou ˇctu, rozdílu a k onstant)
Bud ’te f , g dv ˇe der iv o v atelné funkce a k k onstanta. P ak platí

f (x) + g(x)
0
= f0(x) + g0(x)

f (x) g(x)
0
= f0(x) g0(x)

k f (x)
0
= k f0(x)
(k)0 = 0
V ˇeta (Der iv ace základních elementár ních funkcí)
(sin x)0 = cos x (cos x)0 = sin x
(ex )0 = ex (a x )0 = a x ln a
(ln x)0 = 1x (log a x)0 = 1x ln a
(
p
x)0 = 1
2
p
x

1
x
0
= 1x2
Der iv ace funkcí Pr a vidla pro der iv o vání 7 / 24
Der iv ace sou ˇcin u, podílu a složené funkce
V ˇeta
Bud ’te f a g dv ˇe der iv o v atelné funkce . P ak platí

f (x) g(x)
0
= f0(x) g(x) + f (x) g0(x)

f (x)
g(x)
!0
=
f0(x) g(x) f (x) g0(x)
g(x)2
V ˇeta
Bud ’ g funkce der iv o v atelná v bod ˇe x a f funkce der iv o v atelná v bod ˇe g(x).
P ak
(f g)0(x) = f0(g(x)) g0(x)
Der iv ace funkcí Der iv ace vyšších ˇrád ˚u 8 / 24
Der iv ace vyšších ˇrád ˚u
Definice
Dr uhou der iv aci funkce f , zna ˇcení f00(x), dostaneme , když zder ivujeme
der iv aci funkce f ješt ˇe jednou, neboli f00(x) = (f0(x))0.
n -tá der iv ace funkce f , zna ˇcení f (n )(x), se dostane n postupnými
der iv acemi funkce x, neboli f (n )(x) = (f (n 1)(x))0.
P ˇríklad
f (x) = x ex
f0(x) = x0 ex + x (ex )0 = 1 ex + x ex = (1 + x)ex
f00(x) = (1 + x)0 ex + (1 + x)( ex )0 = 1 ex + (1 + x)ex = (2 + x)ex
f (3)(x) = (2 + x)0 ex + (2 + x)( ex )0 = 1 ex + (2 + x)ex = (3 + x)ex
::
:
f (n )(x) = (n + x) ex
Der iv ace funkcí Der iv ace vyšších ˇrád ˚u 9 / 24
P ˇríklad na der iv ace vyšších ˇrád ˚u
Úloha
Najd ˇete dr uhou der iv aci funkce f (x) = ln
r
1 x
1 + x
.
ˇRešení: Dv akrát zder ivujeme
f0(x) =
1
q
1 x
1 + x

1
2
q
1 x
1 + x
( 1) (1 + x) (1 x) 1(1 + x)2 =
1
2
q
1 x
1 + x
2
1 x 1 + x
(1 + x)2
=
1
2 1 x1 + x
2(1 + x)2 = 1 + x2(1 x) 2(1 + x)2 = 22(1 x) (1 + x) =
1
1 x2
f00(x) =
0 (1 x2 ) ( 1) ( 2x)
(1 x2 )2
=
2x
1 2x2 + x4
Der iv ace funkcí Inter v aly monotonie 10 / 24
Inter v aly monotonie
V ˇeta
Bud ’ f (x) funkce mající na
o