VMB-derivace

te v ˇreném inter v alu I
dr uhou der iv aci.
P okud je f (x) na I
rostoucí, pak je
f0(x) 0 na I.
P okud je f (x) na I
klesající, pak je
f0(x) 0 na I.
f0(x) > 0
f0(x) < 0
f0(x) = 0
Der iv ace funkcí Inter v aly monotonie 11 / 24
P odmínky pro monotonii
V ˇeta
Bud ’ f funkce mající na inter v alu I dr uhou der iv aci.
Je-li f0(x) > 0 na I, pak je f na I rostoucí.
Je-li f0(x) < 0 na I, pak je f na I klesající.
Je-li f0(x) = 0 na I, pak je f na I k onstantní.
D ˚usledek
P okud má funkce f v bod ˇe a minim um nebo maxim um (tj. e xtrém), pak
b ud ’to f0(a) = 0 nebo f0(a) nee xistuje .
Der iv ace funkcí Inter v aly monotonie 12 / 24
Hledání inter v al ˚u monotonie
Úloha
Nalezn ˇete maximální inter v aly monotonie funkce ln
x2 2x + 5
x 1
.
ˇRešení: Nejd ˇrív e nalezneme D(f ): x2 2x+ 5
x 1 > 0 ) x 2 (1;1)
P oté zder ivujeme:
f0(x) = 1
x2 2x+ 5
x 1
(2x 2)( x 1) (x
2 2x+ 5)
(x 1)2 =
x 1
x2 2x+ 5
2x2 4x+ 2 x2 + 2x 5
(x 1)2 =
x2 2x 3
(x2 2x+ 5)( x 1) =
(x 3)( x+ 1)
(x2 2x+ 5)( x 1)
K o ˇren y der iv ace jsou 3 a 1 . Nulo vé body jsou 3 , 1 a 1 .
d d t
1 1 3
; ;
&
+
%
Funkce je klesající na (1;3i
Funkce je rostoucí na h3;1)
Der iv ace funkcí Inter v aly k on v e xity a k onkávnosti 13 / 24
K on v e xní a k onkávní funkce
Definice
ˇRekneme , že funkce je na inter v alu I k on v e xní , když pro všechna
a < c < b z inter v alu I platí
f (c) < f (a) +
f (b) f (a)
b a
(c a)
a že je k onkávní , když platí totéž s obrácenou nero vností.
k on v e xní
k onkávní
infle xní bod
Der iv ace funkcí Inter v aly k on v e xity a k onkávnosti 14 / 24
P odmínky pro k on v e xitu a k onkávnost
V ˇeta
Necht ’ má funkce f (x) na inter v alu I dr uhou der iv aci.
1 Je-li f00(x) > 0 na I, pak je f (x) na I k on v e xní.
2 Je-li f (x) na I k on v e xní, pak je f00(x) 0 na I.
3 Je-li f00(x) < 0 na I, pak je f (x) na I k onkávní.
4 Je-li f (x) na I k onkávní, pak je f00(x) 0 na I.
5 Je-li f00(x) = 0 na I, pak je f (x) na I lineár ní.
D ˚usledek
Má-li funkce f (x) v bod ˇe a infle xní bod, pak je f00(a) = 0 , anebo funkce
nemá v bod ˇe a dr uhou der iv aci.
Der iv ace funkcí Inter v aly k on v e xity a k onkávnosti 15 / 24
P ˇríklad na k on v e xitu a k onkávnost
Úloha
Nalezn ˇete maximální inter v aly monotonie , k on v e xity a k onkávnosti funkce
f (x) =
1
(1 x)2
ˇRešení: D(f ) = R r f1g
f0(x) =
0 1 2 (1 x) ( 1)
(1 x)4
=
2
(1 x)3
f00(x) =
0 2 3 (1 x)2 ( 1)
(1 x)6
=
6
(1 x)4
Nulo vým bodem der iv ace i dr uhé der iv ace je 1 .
d
1
+
%

&
Funkce je rostoucí na ( 1 ;1)
Funkce je klesající na (1;1)
Der iv ace funkcí Inter v aly k on v e xity a k onkávnosti 16 / 24
P ˇríklad na k on v e xitu a k onkávnost
d
1
+ +
S S
Funkce je k on v e xní
na ( 1 ;1) a na (1;1).
Der iv ace funkcí Inter v aly k on v e xity a k onkávnosti 17 / 24
P ˇríklad na k on v e xitu a k onkávnost
Úloha
Nalezn ˇete maximální inter v aly monotonie , k on v e xity a k onkávnosti funkce
f (x) =
ln x9
x
ˇRešení: D(f ) = (0;1)
f0(x) =

9
ln x
x
!0
= 9
1
x x ln x 1
x2
= 9
1 ln x
x2
f00(x) = 9
1x x2 (1 ln x) 2x
x4 = 9
x 2x+ 2x ln x
x4 = 9
2 ln x 3
x3
K o ˇren y der iv ace: 1 ln x = 0 ) x = e.
d t
0 e
; +
%

&
Funkce je rostoucí na (0;ei
Funkce je klesající na he;1)
Der iv ace funkcí Inter v aly k on v e xity a k onkávnosti 18 /