VMB-derivace

24
P ˇríklad na k on v e xitu a k onkávnost
K o ˇren y dr uhé der iv ace:
2 ln x 3 = 0
ln x = 32
x = e
3
2
d t
0 e
3
2
;
T
+
S
Funkce je k onkávní na (0;e
3
2i.
Funkce je k on v e xní na he
3
2 ;1).
e e
3
2
Der iv ace funkcí Lokální e xtrém y 19 / 24
Definice lokálních e xtrém ˚u
Definice
Funkce f má v bod ˇe a lokální minim um (resp . lokální maxim um ), pokud
e xistuje ok olí U bodu a tak o vé, že pro každé x z U platí
f (x) f (a); resp . f (x) f (a)
Funkce f má v bod ˇe a ostré lokální minim um (resp . ostré lokální
maxim um ), pokud pro každé x , a z U platí
f (x) > f (a); resp . f (x) < f (a)
maxim um
minim um
Der iv ace funkcí Lokální e xtrém y 20 / 24
Kr itér ia lokálních e xtrém ˚u
V ˇeta
Funkce f má v bod ˇe a lokální e xtrém, jedin ˇe pokud f0(a) = 0 , anebo f0(a)
nee xistuje .
Tvrz ení
Necht ’ má funkce f v bod ˇe a n ulo v ou der iv aci.
P okud e xistuje U , le vé ok olí bodu a , kde f0(x) < 0 pro všechna x 2 U
a V , pr a vé ok olí bodu a , kde f0(x) > 0 pro všechna x 2 V , pak
v bod ˇe a má funkce f lokální minim um.
P okud f00(a) > 0 , pak má funkce f v bod ˇe a lokální minim um.
D ˚usledek
P okud je f0(a) = 0 , pak je v bod ˇe a minim um, nebo maxim um, nebo
infle xní bod.
Der iv ace funkcí Lokální e xtrém y 21 / 24
Hledání lokálních e xrém ˚u
Úloha
Nalezn ˇete lokální e xtrém y funkce f (x) = e
x2 x+ 9
x .
ˇRešení: D(f ) = R r f0g. Zder ivujeme:
f0(x) = e
x2 x+ 9
x (2x 1) x (x
2 x+ 9) 1
x2 = e
x2 x+ 9
x x
2 9
x2
Ur ˇcíme , k o ˇren y der iv ace:
e
x2 x+ 9
x x
2 9
x2 = 0
x2 9 = 0
(x 3) (x + 3) = 0
x1 = 3 x2 = 3
t d t
3 0 3
+ +
% & & %
V bod ˇe 3 má funkce f ostré
lokální maxim um.
V bod ˇe 3 má funkce f ostré
lokální minim um.
Der iv ace funkcí Lokální e xtrém y 22 / 24
Hledání lokálních e xtrém ˚u funkce
Úloha
Nalezn ˇete lokální e xtrém y funkce f (x) = x4 4x3 + 5 .
ˇRešení: D(f ) = R . Dv akrát zder ivujeme:
f0(x) = 4x3 12 x2 f00(x) = 12 x2 24 x = 12 x(x 2)
Hledáme k o ˇren y der iv ace:
4x3 12 x2 = 0 f00(3) = 36 )
4x2 (x 3) = 0 V bod ˇe 3 je lokální minim um
x1 = 0 x2 = 3 f00(0) = 0 ) ???
f0(1) = 8 , f0( 1) = 16 ) bod 0 je infle xní bod
Der iv ace funkcí Lokální e xtrém y 23 / 24
P ˇríklad inspiro v aný živ otem
Úloha: Vstupné na fotbal
V p ˇrípad ˇe, že je cena vstupenky na stadión v K ˇc, p ˇrijde shlédnout ligo vé
utkání 100 10 2
v
120 divák ˚u. Náklady na ligo vý zápas jsou 100.000 K ˇc.
Maximální možná cena vstupenky je 1000 K ˇc. J aká má být cena
vstupenky , ab y b yla tržba co nejvyšší?
ˇRešení: Cílem je nalézt globální maxim um zisku, jak ožto funkce závislé
na cen ˇe vstupenky . Takže
cena vstupenky . . . . . . . . . . . . . x
zisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y
hledám . . . . . . . . . max y = f (x)
defini ˇcní obor . . . . . . .h0;1000 i
Der iv ace funkcí Lokální e xtrém y 24 / 24
P ˇríklad inspiro v aný živ otem
Sesta víme funkci:
zisk = po ˇcet vstupenek cena vstupenky náklady
f (x) =

100 10 2
x
120

x 100000
Funkci zder ivujeme
f0(x) = 100

10 2
x
120 + 10 2
x
120 ln 10 1
120 x

= 100 10 2
x
120

1 ln 10120 x

K o ˇren y der iv ace:
1 ln 10120 x = 0
ln 10
120 x = 1
x = 120ln 10
Funk ˇcní hodnoty:
cena zisk
0 100 :000
120
ln 10 91 :721
1000 100 :000
Optimální cena je 120ln 10 K ˇc, což je asi 52 K ˇc.