Zaklady Mongeova promitani

VYSOK´A ˇSKOLA B´AˇNSK´A – TECHNICK´A UNIVERZITA OSTRAVA
GEOMETRIE
Jiˇr´ı Doleˇzal
Vytvoˇreno v r´amci projektu Operaˇcn´ıho programu Rozvoje lidsk´ych zdroj˚u
CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016
Studijn´ı opory s pˇrevaˇzuj´ıc´ımi distanˇcn´ımi prvky pro pˇredmˇety teoretick´eho
z´akladu studia.
Tento projekt je spolufinancov´an Evropsk´ym soci´aln´ım fondem
a st´atn´ım rozpoˇctem ˇCesk´e republiky
ESF – ROVN´E PˇR´ILEˇZITOSTI PRO VˇSECHNY
ISBN 978-80-248-1318-9
Geometrie Obsah
Obsah
Obsah 3
Pˇredmluva projektu 7
Pokyny ke studiu 8
´Uvod 9
1 Mongeovo prom´ıt´an´ı 10
1. Obecn´y ´uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Zobrazen´ı bodu – princip metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Zobrazen´ı pˇr´ımky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Zobrazen´ı roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1. Pr˚useˇcnice dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Pr˚useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1. Pˇr´ımka kolm´a k rovinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2. Rovina kolm´a k pˇr´ımce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Ot´aˇcen´ı roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1. Konstrukce pˇr´ımky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2. Konstrukce stop roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3. Pr˚useˇcnice dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4. Vzd´alenost bodu od roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5. Vzd´alenost bodu od pˇr´ımky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6. Teˇcn´a rovina kulov´e plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.7. Konstrukce pravideln´eho ˇsesti´uheln´ıka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
- 3 -
Obsah Geometrie
6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7. Konstrukˇcn´ı ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.1. Pravideln´y osmistˇen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2. Kulov´a plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3. Rotaˇcn´ı kuˇzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8. ´Ulohy k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2 Pravo´uhl´a axonometrie 134
1. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v pravo´uhl´e axonometrii . . . . . . . . . . . . . . 134
1.1. Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
1.2. Zobrazen´ı bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
1.3. Zobrazen´ı pˇr´ımky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1.4. Zobrazen´ı roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2. Polohov´e ´ulohy v pravo´uhl´e axonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.1. Pr˚useˇcnice dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.2. Pr˚useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3. Zobrazen´ı kruˇznice (leˇz´ıc´ı v p˚udorysnˇe) v pravo´uhl´e axonometrii . . . . . . . . 154
4. Zobrazen´ı tˇelesa v pravo´uhl´e axonometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.1. Pravideln´y ˇctyˇrbok´y jehlan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2. Z´aˇrezov´a (Eckhartova) metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3 Kˇrivky 173
1. Kuˇzeloseˇcky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1.1. Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
1.1.1. Definice a ohniskov´e vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Konstrukce a z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Teˇcny k elipse dan´ym bodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Teˇcny k elipse dan´eho smˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
1.2. Afinn´ı vztah kruˇznice a elipsy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
1.2.1. Troj´uheln´ıkov´a a prouˇzkov´e konstrukce elipsy . . . . . . . . . 196
- 4 -
Geometrie Obsah
1.2.2. Uˇzit´ı prouˇzkov´ych konstrukc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1.2.3. Sdruˇzen´e pr˚umˇery kruˇznice a elipsy . . . . . . . . . . . . . . . 200
1.2.4. Rytzova konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
1.3. Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
1.3.1. Definice a ohniskov´e vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Konstrukce a z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Teˇcny k hyperbole dan´ym bodem . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Teˇcny k hyperbole dan´eho smˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1.4. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
1.4.1. Definice a ohniskov´e vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Konstrukce a z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Teˇcny k parabole dan´ym bodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Teˇcny k parabole dan´eho smˇeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Konstrukce paraboly dan´e dvˇema teˇcnami s body dotyku . . . . 244
1.5. ˇReˇsen´e ´ulohy na ohniskov´e vlastnosti kuˇzeloseˇcek . . . . . . . . . . . . 249
1.5.1. Konstrukce kuˇzeloseˇcky z dan´ych podm´ınek . . . . . . . . . . 249
1.5.2. Konstrukce paraboly z dan´ych podm´ınek . . . . . . . . . . . . 254
2. ˇSroubovice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
2.1. ˇSroubovice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3. ´Ulohy k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
4 Plochy 273
1. ˇSroubov´e plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
1.1. Schodov´a plocha v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
1.2. V´yvrtkov´a plocha v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
1.3. Rozvinuteln´a ˇsroubov´a plocha v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . 289
2. Rotaˇcn´ı plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
2.1. Anuloid v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
2.2. Rotaˇcn´ı kvadriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
2.2.1. Rotaˇcn´ı paraboloid v kolm´em prom´ıt´an´ı na n´arysnu . . . . . . 305
- 5 -
Obsah Geometrie
2.2.2. Jednod´ıln´y (zborcen´y) rotaˇcn´ı hyperboloid v MP . . . . . . . 313
3. Pr˚uniky ploch a tˇeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
3.1. Rovinn´e ˇrezy ploch a tˇeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
3.1.1. ˇRez kos´eho ˇctyˇrbok´eho hranolu v pravo´uhl´e axonometrii . . . 320
3.1.2. ˇRez prav. ˇctyˇrbok´eho jehlanu v pravo´uhl´e axonometrii . . . . 327
3.1.3. ˇRez rotaˇcn´ıho v´alce v pravo´uhl´e axonometrii . . . . . . . . . . 333
3.1.4. ˇRez rotaˇcn´ıho zploˇstˇel´eho elipsoidu v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı . . 340
3.2. Pr˚unik pˇr´ımky s plochou ˇci tˇelesem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
3.2.1. Pr˚unik pˇr´ımky s kos´ym kruhov´ym kuˇzelem v PA . . . . . . . 346
3.2.2. Pr˚unik pˇr´ımky s kos´ym kruhov´ym v´alcem v PA . . . . . . . . 351
3.3. Pr˚uniky rotaˇcn´ıch ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
3.3.1. Pr˚unik rotaˇcn´ıho vejˇcit´eho elipsoidu a kulov´e plochy
v kolm´em prom´ıt´an´ı na n´arysnu
(varianta rovnobˇeˇzn´ych os – metoda rovnobˇeˇzn´ych rovin) . . . 356
3.3.2. Pr˚unik rotaˇcn´ıho vejˇcit´eho elipsoidu a kulov´e plochy
v kolm´em prom´ıt´an´ı na n´arysnu
(varianta r˚uznobˇeˇzn´ych os – metoda soustˇredn´ych kulov´ych
ploch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
4. ´Ulohy k samostatn´emu ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Literatura 373
- 6 -
Geometrie Pˇredmluva projektu
STUDIJN´I OPORY S PˇREVAˇZUJ´IC´IMI
DISTANˇCN´IMI PRVKY PRO PˇREDMˇETY
TEORETICK´EHO Z´AKLADU STUDIA
je n´azev projektu, kter´y uspˇel v r´amci prvn´ı v´yzvy Operaˇcn´ıho programu Rozvoj lidsk´ych
zdroj˚u. Projekt je spolufinancov´an st´atn´ım rozpoˇctem ˇCR a Evropsk´ym soci´aln´ım fondem.
Partnery projektu jsou Region´aln´ı stˇredisko v´ychovy a vzdˇel´av´an´ı, s.r.o. v Mostˇe, Univerzita
obrany v Brnˇe a Technick´a univerzita v Liberci. Projekt byl zah´ajen 5.1.2006 a bude ukonˇcen
4.1.2008.
C´ılem projektu je zpracov´an´ı studijn´ıch materi´al˚u z matematiky, deskriptivn´ı geometrie,
fyziky a chemie tak, aby umoˇznily pˇredevˇs´ım samostatn´e studium a t´ım minimalizovaly poˇcet
kontaktn´ıch hodin s uˇcitelem. Je zˇrejm´e, ˇze vytvoˇren´e texty jsou urˇceny student˚um vˇsech
forem studia. Studenti kombinovan´e a distanˇcn´ı formy studia je vyuˇzij´ı k samostudiu, studenti
v prezenˇcn´ı formˇe si mohou doplnit z´ıskan´e vˇedomosti. Vˇsem student˚um texty pomohou pˇri
procviˇcen´ı a ovˇeˇren´ı z´ıskan´ych vˇedomost´ı. Nezanedbateln´ym c´ılem projektu je umoˇznit zv´yˇsen´ı
kvalifikace ˇsirok´emu spektru osob, kter´e nemohly ve studiu na vysok´e ˇskole z r˚uzn´ych d˚uvod˚u
(soci´aln´ıch, rodinn´ych, politick´ych) pokraˇcovat bezprostˇrednˇe po maturitˇe.
V r´amci projektu jsou vytvoˇreny jednak standardn´ı uˇcebn´ı texty v tiˇstˇen´e podobˇe, konci-
povan´e pro samostatn´e studium, jednak e-learningov´e studijn´ı materi´aly, pˇr´ıstupn´e prostˇred-
nictv´ım internetu. Souˇc´ast´ı v´ystup˚u je rovnˇeˇz banka testov´ych ´uloh pro jednotliv´e pˇredmˇety,
na n´ıˇz si studenti ovˇeˇr´ı, do jak´e m´ıry zvl´adli prostudovan´e uˇcivo.
Bliˇzˇs´ı informace o projektu m˚uˇzete naj´ıt na adrese http://www.studopory.vsb.cz/.
Pˇrejeme v´am mnoho ´uspˇech˚u pˇri studiu a budeme m´ıt radost, pokud v´am pˇredloˇzen´y text
pom˚uˇze pˇri studiu a bude se v´am l´ıbit. Protoˇze nikdo nen´ı neomyln´y, mohou se i v tomto
textu objevit nejasnosti a chyby. Pˇredem se za nˇe omlouv´ame a budeme v´am vdˇeˇcni, pokud
n´as na nˇe upozorn´ıte.
ESF – ROVN´E PˇR´ILEˇZITOSTI PRO VˇSECHNY
- 7 -
Pokyny ke studiu Geometrie
POKYNY KE STUDIU
Pro zv´yraznˇen´ı jednotliv´ych ˇc´ast´ı textu jsou pouˇz´ıv´any ikony a barevn´e odliˇsen´ı, jejichˇz
v´yznam nyn´ı objasn´ıme.
V´yklad
oznaˇcuje samotn´y v´yklad uˇciva dan´e ˇc´asti.
ˇReˇsen´e ´ulohy
oznaˇcuj´ı vzorov´e pˇr´ıklady, kter´e jsou tˇeˇziˇstˇem pr´ace.
Pˇr´ıklad: uv´ad´ı zad´an´ı pˇr´ıkladu.
Literatura
obsahuje seznam knih, kter´e byly pouˇzity pˇri tvorbˇe pˇr´ısluˇsn´eho textu a na kter´e byly pˇr´ıpadnˇe
uvedeny odkazy k hlubˇs´ımu prostudov´an´ı t´ematu.
- 8 -
Geometrie ´Uvod
´Uvod
• pˇredkl´adan´y studijn´ı materi´al je sp´ıˇse sb´ırkou komfortnˇe ˇreˇsen´ych ´uloh neˇz souvisl´ym
uˇcebn´ım textem
• jednotliv´e ´ulohy jsou pˇritom aˇz na v´yjimky ˇreˇseny metodou krok po kroku, tj. od zad´an´ı
aˇz po ˇreˇsen´ı je vyr´ysov´ana s´erie nˇekolika obr´azk˚u opatˇren´ych vysvˇetluj´ıc´ım koment´aˇrem
• uˇcebn´ı l´atka je rozdˇelena do ˇctyˇr ˇc´ast´ı: Mongeovo prom´ıt´an´ı, Pravo´uhl´a axonometrie,
Kˇrivky a Plochy; na zaˇc´atku kaˇzd´e ˇc´asti je uveden jej´ı tematick´y obsah, jen ve struˇcnosti
a heslovitˇe je pˇripojena pˇr´ısluˇsn´a teorie
• na webov´ych str´ank´ach projektu (http://www.studopory.vsb.cz/) lze naj´ıt interak-
tivn´ı verzi tˇechto materi´al˚u vˇcetnˇe virtu´aln´ıch 3D model˚u ke stereometrick´ym ´uloh´am
a dalˇs´ı aktu´aln´ı informace
• v origin´ale jsou vˇsechny obr´azky provedeny barevnˇe, coˇz v´yraznˇe pˇrisp´ıv´a k jejich
pˇrehlednosti; pˇri ˇcernob´ıl´em tisku se tato vlastnost nemus´ı zachovat, zvl´aˇstˇe u n´ahled˚u
poˇr´ızen´ych z virtu´aln´ıch 3D model˚u
- 9 -
Kapitola 1. Mongeovo prom´ıt´an´ı Geometrie
Mongeovo prom´ıt´an´ı
Tematick´y obsah
• Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u
◦ Zobrazen´ı bodu, Zobrazen´ı pˇr´ımky, Zobrazen´ı roviny
• Polohov´e ´ulohy
◦ Pr˚useˇcnice dvou rovin, Pr˚useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou
• Metrick´e ´ulohy
◦ Pˇr´ımka kolm´a k rovinˇe, Rovina kolm´a k pˇr´ımce, Ot´aˇcen´ı roviny
• Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh
◦ Konstrukce pˇr´ımky, Stopy roviny, Pr˚useˇcnice dvou rovin, Vzd´alenost bodu od ro-
viny, Vzd´alenost bodu od pˇr´ımky, Teˇcn´a rovina kulov´e plochy, Pravideln´y ˇsesti´u-
heln´ık
• Zobrazen´ı kruˇznice
• ˇReˇsen´e konstrukˇcn´ı ´ulohy
◦ Pravideln´y osmistˇen, Kulov´a plocha, Rotaˇcn´ı kuˇzel
• ´Ulohy k samostatn´emu ˇreˇsen´ı
- 10 -
Geometrie 1. Obecn´y ´uvod
1. Obecn´y ´uvod
V´yklad
• francouzsk´y geometr a inˇzen´yr Gaspard Monge (1746–1818), po nˇemˇz je prom´ıt´an´ı
pojmenov´ano, je povaˇzov´an za zakladatele novodob´e deskriptivn´ı geometrie
• Mongeovou metodou sdruˇzen´eho p˚udorysu a n´arysu lze pomˇernˇe snadno ˇreˇsit roz-
manit´e typy konstrukˇcn´ıch ´uloh, zejm´ena metrick´ych
• tato relativn´ı jednoduchost je ovˇsem ˇcasto na ´ukor n´azornosti
• zobrazen´ı pomoc´ı Mongeova prom´ıt´an´ı nach´az´ı uˇzit´ı v r˚uzn´ych modifikac´ıch pˇredevˇs´ım
v technick´ych oborech, kde je potˇreba z obraz˚u prostorov´ych objekt˚u jednoduˇse zjistit
jejich rozmˇery a pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ı vz´ajemn´e vztahy
- 11 -
1. Obecn´y ´uvod Geometrie
Uk´azky pouˇzit´ı ve strojn´ı a stavebn´ı praxi
- 12 -
Geometrie 2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
2.1. Zobrazen´ı bodu – princip metody
V´yklad
• v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı je kaˇzd´y bod nejprve pravo´uhle prom´ıtnut do p˚udorysny pi a
n´arysny ν – tj. je sestrojen jeho p˚udorys a n´arys
• n´asleduje sklopen´ı (otoˇcen´ı o 90◦) jedn´e pr˚umˇetny do druh´e kolem osy x – tzv. sdruˇzen´ı
pr˚umˇeten (po otoˇcen´ı smˇeˇruj´ı kladn´e smˇery os y,z na opaˇcn´e strany)
• t´ım je kaˇzd´emu bodu v prostoru jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazena dvojice bod˚u v rovinˇe – tzv.
sdruˇzen´e pr˚umˇety, jejichˇz spojnice je kolm´a k ose x a ˇr´ık´a se j´ı ordin´ala
• je-li d´an bod A o souˇradnic´ıch [xA;yA;zA], pak pˇr´ısluˇsn´a ordin´ala prot´ın´a osu x v bodˇe
xA a p˚udorys A1 resp. n´arys A2 leˇz´ı ve vzd´alenosti (orientovan´e) yA resp. zA od osy x
(viz n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad)
- 13 -
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte sdruˇzen´e pr˚umˇety bodu A[1;2;3].
• vodorovnˇe zvolme osu x, kladn´y smˇer ukazuje doprava, a na n´ı poˇc´atek O; oba ´utvary
leˇz´ı souˇcasnˇe v p˚udorysnˇe i n´arysnˇe, proto je znaˇc´ıme x1,2,O1,2
O1,2 x1,2
• na osu x nanesme ve zvolen´em mˇeˇr´ıtku (obvykle 1 cm) a ve spr´avn´em smyslu x-ovou
souˇradnici bodu A
O1,2 x1,2
1
- 14 -
Geometrie 2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• kladn´y smˇer osy y ukazuje kolmo dol˚u a tud´ıˇz kladnou y-ovou souˇradnici naneseme
t´ımto smˇerem a z´ısk´ame tak p˚udorys A1 bodu A
O1,2 x1,2
1
A1
2
• podobnˇe naneseme kladnou z-ovou souˇradnici v kladn´em smˇeru osy z, tj. nahoru, a
z´ısk´ame n´arys A2; oba sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2 bodu A tedy leˇz´ı na ordin´ale, kter´a je
kolm´a k ose x; bod A m˚uˇzeme nyn´ı snadno vymodelovat: k tomu je vhodn´e pˇreloˇzit
pap´ır pod´el osy x a vr´atit n´arysnu do jej´ı p˚uvodn´ı polohy kolm´e k p˚udorysnˇe; bod A
pak leˇz´ı nad sv´ym p˚udorysem A1 a souˇcasnˇe pˇred sv´ym n´arysem A2
O1,2 x1,2
1
A1
2
A2
3
a50
- 15 -
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
2.2. Zobrazen´ı pˇr´ımky
V´yklad
• sdruˇzen´ymi pr˚umˇety pˇr´ımky p, kter´a m´a k obˇema pr˚umˇetn´am obecnou polohu, je dvojice
navz´ajem r˚uzn´ych pˇr´ımek – p˚udorys p1 a n´arys p2
• pro lepˇs´ı rekonstrukci pˇr´ımky z pr˚umˇetu do prostoru je uˇziteˇcn´e naj´ıt jej´ı pr˚useˇc´ıky
s obˇema pr˚umˇetnami – tzv. stopn´ıky pˇr´ımky
• p˚udorysn´y stopn´ık P je pr˚useˇc´ıkem pˇr´ımky p s p˚udorysnou pi; protoˇze bod P leˇz´ı
v p˚udorysnˇe, spl´yv´a se sv´ym p˚udorysem P1=P a jeho n´arys P2 leˇz´ı na ose x – z t´eto
podm´ınky lze tak´e p˚udorysn´y stopn´ık v pr˚umˇetu nejl´epe naj´ıt: pr˚useˇc´ık pˇr´ımky p2 s osou
x je jeho n´arys P2 a na ordin´ale a pˇr´ımce p1 najdeme p˚udorys P1 bodu P
• podobnˇe je n´arysn´y stopn´ık N pr˚useˇc´ıkem pˇr´ımky p s n´arysnou ν; spl´yv´a se sv´ym
n´arysem N2=N a jeho p˚udorys N1 leˇz´ı na ose x – jeho konstrukce v pr˚umˇetu je tud´ıˇz
obdobn´a: pr˚useˇc´ık pˇr´ımky p1 s osou x je p˚udorys N1 a na ordin´ale a pˇr´ımce p2 najdeme
n´arys N2 bodu N
• dalˇs´ı ˇcasto uˇz´ıvanou konstrukc´ı je tzv. skl´apˇen´ı prom´ıtac´ı roviny pˇr´ımky do pr˚u-
mˇetny - obecnˇe jde o otoˇcen´ı roviny urˇcen´e pˇr´ımkou a jej´ım pr˚umˇetem do pr˚umˇetny
- 16 -
Geometrie 2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
(tedy o 90◦); skl´apˇet lze vˇzdy na dvˇe r˚uzn´e strany - v´ybˇer z´aleˇz´ı na konkr´etn´ım zad´an´ı
a situaci v pr˚umˇetnˇe; sklopen´ım lze zjistit vzd´alenost dvou bod˚u, nan´est urˇcitou
vzd´alenost nebo urˇcit odchylku pˇr´ımky od pr˚umˇetny
• v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı lze sklopit p˚udorysnˇe prom´ıtac´ı rovinu pˇr´ımky p, tj. rovinu
urˇcenou pˇr´ımkamip,p1 dopi; v n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe jsou tak sklopeny bodyA,B – jejich
v´yˇska nad p˚udorysnou pi je d´ana pˇr´ısluˇsnou z-ovou souˇradnic´ı a objevuje se v n´arysu
jako vzd´alenost bod˚u A2,B2 od osy x; sklopen´e ´utvary se v pr˚umˇetu obvykle vyznaˇcuj´ı
ˇcerchovanˇe a znaˇc´ı se v z´avork´ach
• podobnˇe je moˇzno sklopit n´arysnˇe prom´ıtac´ı rovinu pˇr´ımky p, tedy rovinu urˇcenou
pˇr´ımkami p,p2 do ν
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte sdruˇzen´e pr˚umˇety pˇr´ımky p=AB; A[3;4;1],B[−2;1;3].
• podle zad´an´ı vynesme souˇradnice a sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2,B1,B2 bod˚u
A,B
O1,2 x1,2
A1
A2
B1
B2
- 17 -
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• p˚udorysem pˇr´ımky p=AB je pˇr´ımka p1=A1B1 a jej´ım n´arysem je pˇr´ımka p2=A2B2
O1,2 x1,2
A1
A2
B1
B2
p1
p2
• pro n´arys P2 p˚udorysn´eho stopn´ıku P=p∩pi plat´ı P2=p2 ∩x1,2 a p˚udorys P1 najdeme
na pˇr´ımce p1 a na ordin´ale
O1,2 x1,2
A1
A2
B1
B2
P=P1
P2
p2
p1
- 18 -
Geometrie 2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• podobnˇe sestroj´ıme sdruˇzen´e pr˚umˇety n´arysn´eho stopn´ıku N=p∩ν: plat´ı N1=p1 ∩x1,2
a N2 leˇz´ı na p2 a na ordin´ale
O1,2 x1,2
A1
A2
B1
B2
P=P1
P2
N1
N=N2
p1
p2
- 19 -
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• skuteˇcnou d´elku ´useˇcky AB m˚uˇzeme zjistit sklopen´ım p˚udorysnˇe prom´ıtac´ı roviny pˇr´ım-
ky p do pi: sklopen´a poloha (A) bodu A leˇz´ı na kolmici k pˇr´ımce p1 veden´e bodem
A1 a plat´ı |(A)A1|=zA=1 (v´yˇska bodu A nad pi), podobnˇe se sestroj´ı sklopen´a poloha
(B) bodu B (|(B)B1|=zB=3); t´ım z´ısk´ame sklopenou polohu (p)=(A)(B) pˇr´ımky p,
skuteˇcnou velikost ´useˇcky AB (|AB|=|(A)(B)|) a tak´e odchylku pˇr´ım