Zaklady Mongeova promitani

ky p od p˚udorysny
jako velikost ´uhlu, kter´y sv´ıraj´ı pˇr´ımky p1,(p) (vrcholem tohoto ´uhlu je jiˇz sestrojen´y
bod P=P1=(P), kter´y pˇri skl´apˇen´ı zˇrejmˇe z˚ustane na m´ıstˇe)
O1,2 x1,2
A1
A2
B1
B2
P=P1
P2
N1
N=N2
p1
p2
zA
zB
(A)
(B)
(p)
=(P)
- 20 -
Geometrie 2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• analogicky lze sestrojit sklopenou polohu [p]=[A][B] pˇr´ımky p do n´arysny ν, tentokr´at
ovˇsem nan´aˇs´ıme y-ov´e souˇradnice bod˚u A,B (tj. jejich vzd´alenosti od n´arysny)
O1,2 x1,2
A1
A2
B1
B2
P=P1
P2
N1
N=N2
p1
p2
zA
zB
(A)
(B)
(p)
=(P)
yA
yB
[A]
[B]
[p]
=[N]
a50
2.3. Zobrazen´ı roviny
- 21 -
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
V´yklad
Stopy a hlavn´ı pˇr´ımky roviny
• p˚udorysem resp. n´arysem obecnˇe poloˇzen´e roviny ρ je cel´a p˚udorysna pi resp. cel´a
n´arysna ν
O1,2 x1,2
• pr˚useˇcnice roviny ρ s p˚udorysnou (n´arysnou) je tzv. p˚udorysn´a (n´arysn´a) stopa pρ
(nρ) roviny ρ – spl´yv´a se sv´ym p˚udorysem pρ1 (n´arysem nρ2) a jej´ı n´arys pρ2 (p˚udorys nρ1)
padne na osu x
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
=pρ2=nρ1
- 22 -
Geometrie 2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• hlavn´ı pˇr´ımky I. osnovy roviny ρ jsou pak pˇr´ımky v ρ rovnobˇeˇzn´e s p˚udorysnou
stopou – jejich p˚udorys je rovnobˇeˇzn´y s pρ a n´arys je rovnobˇeˇzka s osou x
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
=pρ2=nρ1
Ihρ1
Ihρ2
N1
N2
• hlavn´ı pˇr´ımky II. osnovy jsou pˇr´ımky v ρ rovnobˇeˇzn´e s n´arysnou stopou - jejich
n´arys je rovnobˇeˇzn´y s nρ a p˚udorys je rovnobˇeˇzka s osou x
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
=pρ2=nρ1
Ihρ1
Ihρ2
N1
N2
IIhρ2
IIhρ1
P1
P2
- 23 -
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Najdˇete n´arys bodu A leˇz´ıc´ıho v rovinˇe ρ; ρ(−3;4;2),A[1;2;?].
• zad´an´ı: stopy roviny ρ jsou urˇceny pomoc´ı bod˚u X,Y,Z, kde pρ1=XY, nρ2=XZ, pˇriˇcemˇz
pro souˇradnice bod˚u X,Y,Z plat´ı X[−3;0;0], Y[0;4;0], Z[0;0;2]
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
• 1. zp˚usob ˇreˇsen´ı pomoc´ı hlavn´ı pˇr´ımky I. osnovy roviny ρ: A1∈Ihρ1, Ihρ1 bardbl pρ1
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
Ihρ1
- 24 -
Geometrie 2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• najdeme jej´ı n´arysn´y stopn´ık N: N1=Ihρ1 ∩x a N2 leˇz´ı na ordin´ale a na stopˇe nρ2
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
Ihρ1
N1
N2
• bodem N2 pak proch´az´ı n´arys Ihρ2 bardbl x
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
Ihρ1
N1
N2 Ihρ
2
- 25 -
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• a n´arys A2 bodu A najdeme na ordin´ale a na Ihρ2
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
Ihρ1
N1
N2 Ihρ
2A2
• 2. zp˚usob ˇreˇsen´ı pomoc´ı hlavn´ı pˇr´ımky II. osnovy: A1∈IIhρ1, IIhρ1 bardbl x
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
IIhρ1
- 26 -
Geometrie 2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• najdeme jej´ı p˚udorysn´y stopn´ık P: P1=IIhρ1 ∩pρ1 a P2 leˇz´ı na ordin´ale a na ose x
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
IIhρ1
P1
P2
• bodem P2 pak proch´az´ı n´arys IIhρ2 bardbl nρ2
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
IIhρ1
P1
P2
IIhρ2
- 27 -
2. Zobrazen´ı z´akladn´ıch ´utvar˚u v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• a t´ım dojdeme k t´emuˇz v´ysledku
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
IIhρ1
P1
P2
IIhρ2
A2
• na z´avˇer jsou vyr´ysov´any oba zp˚usoby ˇreˇsen´ı
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
X
Y
Z
A1
Ihρ1
N1
N2 Ihρ
2A2
IIhρ1
P1
P2
IIhρ2
a50
- 28 -
Geometrie 3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
3.1. Pr˚useˇcnice dvou rovin
V´yklad
• dvˇe r˚uznobˇeˇzn´e roviny se prot´ınaj´ı v pˇr´ımce – k jej´ımu sestrojen´ı tedy staˇc´ı zn´at dva
spoleˇcn´e body obou rovin
• v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı se nejˇcastˇeji uˇz´ıvaj´ı pr˚useˇc´ıky p˚udorysn´ych a n´arysn´ych stop,
pˇr´ıpadnˇe pr˚useˇc´ıky hlavn´ıch pˇr´ımek obou rovin leˇz´ıc´ıch v nˇekter´e rovinˇe rovnobˇeˇzn´e s pi
nebo s ν
- 29 -
3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte pr˚useˇcnici r rovin ρ,σ; ρ(−3;4;2),σ(4;2;3).
• podle zad´an´ı sestrojme stopy pρ1,nρ2 a pσ1,nσ2 obou rovin
O1,2
x1,2
pρ1
nρ2
pσ1
nσ2
• p˚udorysn´y stopn´ık P pˇr´ımky r=ρ∩σ je pr˚useˇc´ıkem p˚udorysn´ych stop – tedy P1=pρ1∩pσ1
a n´arys P2 najdeme na ordin´ale a na ose x
O1,2
x1,2
pρ1
nρ2
pσ1
nσ2
P1
P2
- 30 -
Geometrie 3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• podobnˇe pro n´arysn´y stopn´ık N hledan´e pˇr´ımky r je N2=nρ2 ∩nσ2 a p˚udorys N1 leˇz´ı na
ordin´ale a na ose x
O1,2
x1,2
pρ1
nρ2
pσ1
nσ2
P1
P2 N1
N2
• na z´avˇer staˇc´ı doplnit oba pr˚umˇety r1=P1N1 a r2=P2N2 pr˚useˇcnice r=PN rovin ρ a σ
O1,2
x1,2
pρ1
nρ2
pσ1
nσ2
P1
P2 N1
N2
r1
r2
a50
- 31 -
3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
3.2. Pr˚useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou
V´yklad
• k sestrojen´ı pr˚umˇetu pr˚useˇc´ıku dan´e pˇr´ımky a roviny je tˇreba proloˇzit zadanou pˇr´ımkou
pomocnou rovinu; obecnˇe lze tuto rovinu volit libovolnˇe vhodnˇe – v Mongeovˇe pro-
m´ıt´an´ı se nejˇcastˇeji prokl´ad´a rovina kolm´a k p˚udorysnˇe pi nebo k n´arysnˇe ν (uˇz´ıv´a se
t´ım tzv. kryc´ı pˇr´ımka)
• je-li tedy d´ana pˇr´ımka p a rovina ρ, proloˇzme pˇr´ımkou p rovinu α (β) kolmou k pi (ν);
pr˚useˇcnice a (b) rovin ρ a α (β) pak prot´ın´a pˇr´ımku p v hledan´em pr˚useˇc´ıku R pˇr´ımky
p s rovinou ρ
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte pr˚useˇc´ık R pˇr´ımky p=PN s rovinou ρ; P[2;3;0],N[−3;0;2],ρ(3;2;3).
- 32 -
Geometrie 3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• podle zad´an´ı sestrojme stopy pρ1,nρ2 roviny ρ a sdruˇzen´e pr˚umˇety p1,p2 pˇr´ımky p, kter´a
je urˇcena sv´ymi stopn´ıky P=p∩pi, N=p∩ν
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
P1
P2N1
N2
p1
p2
• 1. zp˚usob ˇreˇsen´ı: pˇr´ımkou p proloˇzme rovinu α ⊥ pi – je tedy p1=α1=pα1, nα2 ⊥ x a stopy
pα1,nα2 se prot´ınaj´ı na ose x
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
P1
P2N1
N2
p1
p2
nα2
=α1=pα1
- 33 -
3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• sestrojme pr˚useˇcnici a=PaNa rovin α a ρ, kde Pa1 =pρ1 ∩ pα1, Na2=nρ2 ∩ nα2 a zb´yvaj´ıc´ı
pr˚umˇety Pa2 a Na1 najdeme na ose x a pˇr´ısluˇsn´ych ordin´al´ach; v p˚udorysu se tud´ıˇz
kryj´ı pr˚umˇety pˇr´ımek a a p (a1=p1) a odtud poch´az´ı n´azev kryc´ı pˇr´ımka, v n´aryse je
a2 = Pa2 Na2
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
P1
P2N1
N2
p1
p2
nα2
=α1=pα1
Pa1
Pa2Na1=
Na2
a2
=a1
- 34 -
Geometrie 3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• pˇr´ımky a,p se prot´ınaj´ı v hledan´em bodˇe R=p∩ρ, jehoˇz n´arys je R2=a2∩p2 a p˚udorys
R1 najdeme na ordin´ale a na p˚udorysu p1 pˇr´ımky p
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
P1
P2N1
N2
p1
p2
nα2
=α1=pα1
Pa1
Pa2Na1=
Na2
a2
=a1
R1
R2
• 2. zp˚usob ˇreˇsen´ı: analogicky proloˇzme pˇr´ımkou p rovinu β ⊥ ν – je tedy nβ2=β2=p2,
pβ1 ⊥ x a stopy pβ1,nβ2 se prot´ınaj´ı na ose x
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
P1
P2N1
N2
p1
p2
pβ1
nβ2=β2=
- 35 -
3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• podobnˇe sestrojme pr˚useˇcnici b=PbNb rovin β a ρ, kde Pb1=pρ1 ∩ pβ1, Nb2=nρ2 ∩ nβ2 a
zb´yvaj´ıc´ı pr˚umˇety Pb2 a Nb1 najdeme na ose x a pˇr´ısluˇsn´ych ordin´al´ach; v n´arysu se
tud´ıˇz kryj´ı pr˚umˇety pˇr´ımek b a p (b2=p2), v p˚udoryse je b1 = Pb1Nb1
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
P1
P2N1
N2
p1
p2
pβ1
nβ2=β2=
Pb1
Pb2=
Nb1
Nb2
b1
b2=
- 36 -
Geometrie 3. Polohov´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• tentokr´at najdeme nejdˇr´ıv p˚udorys R1=b1 ∩p1 pr˚useˇc´ıku R=p∩ρ a pak dopln´ıme jeho
n´arys R2 na pˇr´ısluˇsn´e ordin´ale a na pˇr´ımce p2
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
P1
P2N1
N2
p1
p2
pβ1
nβ2=β2=
Pb1
Pb2=
Nb1
Nb2
b1
b2=
R1
R2
• na z´avˇer jsou vyr´ysov´any oba zp˚usoby ˇreˇsen´ı
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
P1
P2N1
N2
p1
p2
nα2
=α1=pα1
Pa1
Pa2Na1=
Na2
a2
=a1
R1
R2
pβ1
nβ2=β2=
Pb1
Pb2=
Nb1
Nb2
b1
b2=
a50
- 37 -
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
4.1. Pˇr´ımka kolm´a k rovinˇe
V´yklad
• pˇr´ımka k kolm´a k rovinˇe ρ je kolm´a ke vˇsem pˇr´ımk´am t´eto roviny, a tedy i k jej´ım
stop´am
• p˚udorysn´a (n´arysn´a) stopa pρ (nρ) roviny ρ leˇz´ı v p˚udorysnˇe pi (n´arysnˇe ν) a podle Vˇety
o pravo´uhl´em pr˚umˇetu prav´eho ´uhlu mus´ı b´yt p˚udorys k1 (n´arys k2) pˇr´ımky k kolm´y ke
stopˇe pρ (nρ), tj. k ⊥ ρ ⇒ k1 ⊥ pρ1 a k2 ⊥ nρ2
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Bodem A ved’te pˇr´ımku k kolmou k rovinˇe ρ; A[−2;4;3],ρ(−4;3;2).
- 38 -
Geometrie 4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• podle zad´an´ı jsou sestrojeny sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2 bodu A a stopy pρ1,nρ2 roviny ρ
O1,2
x1,2
pρ1
nρ2
A1
A2
• podle v´yˇse uveden´eho jsou tedy pˇr´ımky k1 ⊥ pρ1,A1 ∈ k1, a k2 ⊥ nρ2,A2 ∈ k2, sdruˇzen´e
pr˚umˇety pˇr´ımky k ⊥ ρ,A ∈ k
O1,2
x1,2
pρ1
nρ2
A1
A2
k1
k2
a50
- 39 -
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
4.2. Rovina kolm´a k pˇr´ımce
V´yklad
• jde o obr´acenou ´ulohu k pˇredchoz´ı ´uloze Pˇr´ımka kolm´a k rovinˇe, a proto lze pouˇz´ıt
analogick´e vztahy
• stopy hledan´e roviny kolm´e k dan´e pˇr´ımce ovˇsem nelze sestrojit pˇr´ımo a je tˇreba j´ıt na
nˇe oklikou pˇres hlavn´ı pˇr´ımku nˇekter´e osnovy a jej´ı stopn´ık
• v n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe je ´uloha ˇreˇsena nejprve pomoc´ı hlavn´ı pˇr´ımky prvn´ı osnovy a
pot´e pˇres hlavn´ı pˇr´ımku osnovy druh´e
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Bodem A ved’te rovinu ρ kolmo k pˇr´ımce p=KL; A[0;2;3],K[3;3;4],L[−1;1;1].
- 40 -
Geometrie 4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• podle zad´an´ı sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2,p1=K1L1,p2=K2L2 bodu A a pˇr´ımky
p=KL
O1,2 x1,2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
A1
A2
• 1. zp˚usob ˇreˇsen´ı: bodem A ved’me hlavn´ı pˇr´ımku Ihρ I. osnovy roviny ρ ⊥ p – v pr˚umˇe-
tech je tedy Ihρ1 ⊥ p1,A1 ∈ Ihρ1 a Ihρ2 bardbl x,A2 ∈ Ihρ2
O1,2 x1,2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
A1
A2
Ihρ1
Ihρ2
- 41 -
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• najdˇeme n´arysn´y stopn´ık N=Ihρ∩ν; pro jeho p˚udorys plat´ı N1=Ihρ1∩x a n´arys N2 leˇz´ı
na pˇr´ımce Ihρ2 a na ordin´ale
O1,2 x1,2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
A1
A2
Ihρ1
Ihρ2
N1
N2
• nyn´ı jiˇz lze sestrojit stopy pρ,nρ hledan´e roviny ρ: nejprve n´arysnou nρ2 ⊥ p2,N2 ∈ nρ2 a
pot´e p˚udorysnou pρ1 ⊥ p1, kter´a se s n´arysnou stopou nρ2 prot´ın´a na ose x
O1,2 x1,2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
A1
A2
Ihρ1
Ihρ2
N1
N2
nρ2
pρ1
- 42 -
Geometrie 4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• 2. zp˚usob ˇreˇsen´ı: analogicky ved’me bodem A hlavn´ı pˇr´ımku IIhρ II. osnovy roviny ρ ⊥ p
– v pr˚umˇetech je tedy IIhρ1 bardbl x,A1 ∈ IIhρ1 a IIhρ2 ⊥ p2,A2 ∈ IIhρ2
O1,2 x1,2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
A1
A2
IIhρ2
IIhρ1
• tentokr´at najdeme p˚udorysn´y stopn´ık P=IIhρ ∩ pi; pro jeho n´arys plat´ı P2=IIhρ2 ∩ x a
p˚udorys P1 leˇz´ı na pˇr´ımce IIhρ1 a na ordin´ale
O1,2 x1,2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
A1
A2
IIhρ2
IIhρ1
P1
P2
- 43 -
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• stopy pρ,nρ sestroj´ıme nyn´ı v opaˇcn´em poˇrad´ı: nejprve p˚udorysnou pρ1 ⊥ p1,P1 ∈ pρ1 a
pot´e n´arysnou nρ2 ⊥ p2
O1,2 x1,2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
A1
A2
IIhρ2
IIhρ1
P1
P2
nρ2
pρ1
• na z´avˇer jsou vyr´ysov´any oba zp˚usoby ˇreˇsen´ı
O1,2 x1,2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
A1
A2
Ihρ1
Ihρ2
N1
N2
nρ2
pρ1
IIhρ2
IIhρ1
P1
P2
a50
- 44 -
Geometrie 4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
4.3. Ot´aˇcen´ı roviny
V´yklad
• pˇri ot´aˇcen´ı obecn´e roviny ρ do p˚udorysny pi kolem stopy pρ se bod A ∈ ρ pohybuje
po kruˇznici, jej´ıˇz stˇred P je stopn´ıkem tzv. sp´adov´e pˇr´ımky Isρ I. osnovy (ta je kolm´a
k hlavn´ım pˇr´ımk´am I. osnovy) a polomˇer ot´aˇcen´ı se najde sklopen´ım prom´ıtac´ı roviny
pˇr´ımky Isρ
• rovinu lze kolem stopy ot´aˇcet na dvˇe strany – o vˇetˇs´ı nebo menˇs´ı ´uhel (v n´asleduj´ıc´ım
pˇr´ıkladˇe je provedeno pouze otoˇcen´ı o vˇetˇs´ı ´uhel); podobnˇe jako kolem stopy pρ do
p˚udorysny pi je moˇzno rovinu ρ otoˇcit tak´e kolem stopy nρ do n´arysny ν
• ot´aˇcen´ı roviny do pr˚umˇetny kolem stopy vˇzdy indukuje osovou afinitu mezi obˇema
rovinami a jej´ı kolm´y pr˚umˇet je pak pravo´uhlou afinitou mezi pr˚umˇety (vzor A1)
a otoˇcen´ymi polohami (obraz A0) – tuto afinitu lze s v´yhodou vyuˇz´ıt pˇri ot´aˇcen´ı
sloˇzitˇejˇs´ıch ´utvar˚u
• konstrukce ot´aˇcen´ı roviny se tedy uˇz´ıv´a, je-li tˇreba sestrojit nˇejak´y pravideln´y ´utvar
(napˇr. pravideln´y ˇsesti´uheln´ık nebo ˇctverec) leˇz´ıc´ı v obecn´e rovinˇe (viz napˇr. ´ulohu
Pravideln´y osmistˇen na stranˇe 97)
- 45 -
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte otoˇcenou polohu bodu A leˇz´ıc´ıho v rovinˇe ρ; ρ(5;7;4),A[1;2;?].
• podle zad´an´ı sestrojme stopy pρ1,nρ2 roviny ρ a p˚udorys A1 bodu A ∈ ρ
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
A1
- 46 -
Geometrie 4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• pomoc´ı hlavn´ı pˇr´ımky Ihρ I. osnovy a jej´ıho n´arysn´eho stopn´ıku N=Ihρ ∩ ν doplˇnme
n´arys A2 bodu A ∈ ρ: Ihρ1 bardbl pρ1,A1 ∈ Ihρ1, potom je N1=Ihρ1 ∩ x a n´arys N2 leˇz´ı na
ordin´ale a na stopˇe nρ2; d´ale je Ihρ2 bardbl x,N2 ∈ Ihρ2 a n´arys A2 najdeme po ordin´ale na
pˇr´ımce Ihρ2
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
A1
N1
N2A2
Ihρ1
Ihρ2
- 47 -
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• bodem A ved’me sp´adovou pˇr´ımku Isρ ⊥ pρ I. osnovy roviny ρ – v pr˚umˇetu je sestrojen
pouze jej´ı p˚udorys Isρ1 a podle Vˇety o pravo´uhl´em pr˚umˇetu prav´eho ´uhlu plat´ı Isρ1 ⊥ pρ1,
A1 ∈ Isρ1; p˚udorysn´y stopn´ık pˇr´ımky Isρ oznaˇcme P, v pr˚umˇetu je P1=Isρ1 ∩pρ1
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
A1
N1
N2A2
Ihρ1
Ihρ2
P1
Isρ1
- 48 -
Geometrie 4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• polomˇer |PA| ot´aˇcen´ı bodu A zjist´ıme sklopen´ım prom´ıtac´ı roviny sp´adov´e pˇr´ımky Isρ,
tj. |PA|=|P1(A)|, kde bod (A) je sklopenou polohou bodu A a plat´ı pro nˇej |(A)A1| =
= zA = |A2x|; bod P = P1 z˚ust´av´a pˇri skl´apˇen´ı na m´ıstˇe
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
A1
N1
N2A2
Ihρ1
Ihρ2
P1
Isρ1
(A)(Isρ)
zA
zA
- 49 -
4. Metrick´e ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• otoˇcen´ı bodu A (kolem bodu P) pak m˚uˇzeme prov´est tzv. ve sklopen´ı – pro otoˇcenou
polohu A0 plat´ı A0 ∈ Isρ1 a |A0P1|=|AP|=|(A)P1| (zde je vidˇet moˇznost v´ybˇeru ot´aˇcen´ı
o vˇetˇs´ı ˇci menˇs´ı ´uhel, obvykle vol´ıme podle konkr´etn´ı situace v n´akresnˇe)
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
A1
N1
N2A2
Ihρ1
Ihρ2
P1
Isρ1
(A)(Isρ)
zA
zA
A0
a50
- 50 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech byly probr´any tzv.z´akladn´ı ´ulohy Mongeova prom´ıt´an´ı, kter´e
tvoˇr´ı jakousi malou n´asobilku t´eto zobrazovac´ı metody a jejich zvl´adnut´ı je nezbytnˇe
nutn´e pro ˇreˇsen´ı komplexnˇejˇs´ıch ´uloh; ty budou postupnˇe n´asledovat
5.1. Konstrukce pˇr´ımky
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte pˇr´ımku p, kter´a proch´az´ı bodem A, od p˚udorysny m´a odchylku 30◦ a je
r˚uznobˇeˇzn´a s osou x; A[0;4;3].
• podle zad´an´ı vynesme souˇradnice a sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2 bodu A
O1,2 x1,2
A1
A2
- 51 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• bodem A ved’me pˇr´ımku p∗ bardbl ν, kter´a m´a od p˚udorysny odchylku 30◦ (zvolme jednu ze
dvou moˇznost´ı), a sestrojme jej´ı p˚udorysn´y stopn´ık P∗ = p∗ ∩pi: pro p˚udorys p∗1 plat´ı
p∗1 bardbl x,A1 ∈ p∗1, n´arys p∗2 proch´az´ı bodem A2 a sv´ır´a s osou x ´uhel dan´e velikosti 30◦, tj.
s ordin´alou bodu A sv´ır´a ´uhel velikosti 60◦; d´ale je P∗2 = p∗2 ∩x a p˚udorys P∗1 leˇz´ı na p∗1
a na ordin´ale
O1,2 x1,2
A1
A2
P∗1
P∗2
p∗1
p∗2
30◦
60◦
- 52 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• rotac´ı pˇr´ımky p∗ kolem osy AA1 vznikne rotaˇcn´ı kuˇzelov´a plocha s vrcholem v bodˇe A;
na n´ı leˇz´ı vˇsechny pˇr´ımky, kter´e proch´azej´ı bodem A a maj´ı od p˚udorysny odchylku
30◦; tato kuˇzelov´a plocha prot´ın´a p˚udorysnu pi v kruˇznici, kter´a m´a stˇred v bodˇe A1 a
proch´az´ı bodem P∗1
O1,2 x1,2
A1
A2
P∗1
P∗2
p∗1
p∗2
30◦
60◦
- 53 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• sestrojen´a kruˇznice prot´ın´a osu x v bodech P = P1 = P2, Pprime = Pprime1 = Pprime2 a pˇr´ımky
p = AP, pprime = APprime (p1 = A1P1,p2 = A2P2 a pprime1 = A1Pprime1,pprime2 = A2Pprime2) pak splˇnuj´ı
vˇsechny zadan´e podm´ınky, tj. proch´az´ı bodem A, maj´ı danou odchylku 30◦ od pi a jsou
r˚uznobˇeˇzn´e s osou x
O1,2 x1,2
A1
A2
P∗1
P∗2
p∗1
p∗2
30◦
60◦
p1
p2
p′1
p′2
P1=P2P′1=P′2
a50
- 54 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
5.2. Konstrukce stop roviny
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte stopy roviny ρ = ABC; A[1;2;2],B[−1;1;5],C[−2;4;1].
• podle zad´an´ı vynesme souˇradnice a sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2,B1,B2,C1,C2
bod˚u A,B,C
O1,2
x1,2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
- 55 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• sestrojme pˇr´ımku c = AB a najdˇeme jej´ı stopn´ıky Pc = c∩pi,Nc = c∩ν: v p˚udoryse
je c1 = A1B1 a v n´aryse c2 = A2B2; pro n´arys Pc2 p˚udorysn´eho stopn´ıku Pc plat´ı
Pc2 = c2 ∩ x a p˚udorys Pc1 leˇz´ı na c1 a na ordin´ale; analogicky je bod Nc1 = c1 ∩ x
p˚udorysem n´arysn´eho stopn´ıku Nc a jeho n´arys Nc2 leˇz´ı na pˇr´ımce c2 a na pˇr´ısluˇsn´e
ordin´ale
O1,2
x1,2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
Pc1
Pc2
Nc1
Nc2
c1
c2
- 56 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• stejn´ym zp˚usobem jako v pˇredchoz´ım kroku sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety b1 = A1C1,
b2 = A2C2 pˇr´ımky b = AC a urˇceme jej´ı stopn´ıky Pb = b∩pi,Nb = b∩ν: Pb2 = b2 ∩x
a p˚udorys Pb1 leˇz´ı na b1 a na ordin´ale, podobnˇe Nb1 = b1 ∩x a n´arys Nb2 leˇz´ı na b2 a na
ordin´ale
O1,2
x1,2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
Pc1
Pc2
Nc1
Nc2
c1
c2
Pb1
Pb2
Nb1
Nb2
b1
b2
- 57 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• nyn´ı jiˇz snadno sestroj´ıme stopy roviny ρ, kter´e se prot´ınaj´ı na ose x: pρ1 = Pc1Pb1 a
nρ2 = Nc2Nb2
O1,2
x1,2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
Pc1
Pc2
Nc1
Nc2
c1
c2
Pb1
Pb2
Nb1
Nb2
b1
b2
pρ1
nρ2
- 58 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• na z´avˇer m˚uˇzeme jeˇstˇe doplnit i sdruˇzen´e pr˚umˇety pˇr´ımky a = BC a jej´ıch stopn´ık˚u
Pa = a∩pi, Na = a∩ν
O1,2
x1,2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
Pc1
Pc2
Nc1
Nc2
c1
c2
Pb1
Pb2
Nb1
Nb2
b1
b2
pρ1
nρ2
Pa1
Pa2
Na1
Na2
a1
a2
a50
- 59 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
5.3. Pr˚useˇcnice dvou rovin
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte pr˚useˇcnici r rovin ρ,σ; ρ(2;135◦;105◦),σ(−3;60◦;75◦).
• podle zad´an´ı sestrojme stopy pρ1,nρ2,pσ1,nσ2 rovin ρ,σ – konstrukce je patrn´a z obr´azku;
toto ojedinˇel´e zad´an´ı je zvoleno z´amˇernˇe proto, aby byl pr˚useˇc´ık n´arysn´ych stop ˇspatnˇe
dostupn´y
O1,2 x1,2135◦
105◦
pρ1
nρ2
60◦
75◦
pσ1
nσ2
- 60 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• sestrojme pr˚useˇc´ık P p˚udorysn´ych stop: v p˚udoryse je P1 = pρ1 ∩pσ2 a n´arys P2 leˇz´ı na
ordin´ale a na ose x
O1,2 x1,2135◦
105◦
pρ1
nρ2
60◦
75◦
pσ1
nσ2
P1
P2
• d´ale ved’me libovolnˇe vhodnˇe rovinu α bardbl ν, kter´a protne roviny ρ,σ v hlavn´ıch pˇr´ımk´ach
IIhρ, IIhσ II. osnovy, jejichˇz p˚udorysn´e stopn´ıky Pρ,Pσ leˇz´ı na pˇr´ısluˇsn´ych p˚udorysn´ych
stop´ach: α1=IIhρ1=IIhσ1, Pρ1 =α1∩pρ1, Pσ1 =α1∩pσ1, IIhρ2 bardbl