Zaklady Mongeova promitani

nρ2,Pρ2 ∈ IIhρ2, IIhσ2 bardbl nσ2,Pσ2 ∈ IIhσ2
O1,2 x1,2135◦
105◦
pρ1
nρ2
60◦
75◦
pσ1
nσ2
P1
P2
α1=IIhρ1=IIhσ1Pρ1Pσ1
Pρ2Pσ2
IIhρ2IIhσ2
- 61 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• sestrojen´e hlavn´ı pˇr´ımky se prot´ınaj´ı v bodˇe H: v n´aryse je H2 = IIhρ2 ∩ IIhσ2 a p˚udorys
H1 leˇz´ı na ordin´ale a na pˇr´ımce α1
O1,2 x1,2135◦
105◦
pρ1
nρ2
60◦
75◦
pσ1
nσ2
P1
P2
α1=IIhρ1=IIhσ1Pρ1Pσ1
Pρ2Pσ2
IIhρ2IIhσ2
H1
H2
• pˇr´ımka r = PH je hledanou pr˚useˇcnic´ı dan´ych rovin ρ,σ: r1 = P1H1, r2 = P2H2
O1,2 x1,2135◦
105◦
pρ1
nρ2
60◦
75◦
pσ1
nσ2
P1
P2
α1=IIhρ1=IIhσ1Pρ1Pσ1
Pρ2Pσ2
IIhρ2IIhσ2
H1
H2
r1
r2
a50
- 62 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
5.4. Vzd´alenost bodu od roviny
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Urˇcete vzd´alenost v = |Aρ| bodu A od roviny ρ; A[2;6;5],ρ(4;4;6).
• podle zad´an´ı sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2 bodu A a stopy pρ1,nρ2 roviny ρ
O1,2 x1,2
A1
A2
pρ1
nρ2
- 63 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• vzd´alenost bodu A od roviny ρ zmˇeˇr´ıme na kolmici k ⊥ ρ,A ∈ ρ: pro jej´ı p˚udorys k1
plat´ı k1 ⊥ pρ1,A1 ∈ k1, podobnˇe je v n´aryse k2 ⊥ nρ2,A2 ∈ k2
O1,2 x1,2
A1
A2
pρ1
nρ2
k1
k2
- 64 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• pˇr´ımka k prot´ın´a rovinu ρ v bodˇe R = k ∩ ρ, kter´y sestroj´ıme proloˇzen´ım pomocn´e
roviny β ⊥ ν,k ⊆ β; rovina β, kde β2 = nβ2 = k2 a pβ1 ⊥ x, prot´ın´a danou rovinu ρ
v kryc´ı pˇr´ımce b = PN (b2 = k2 a b1 = P1N1, konstrukce je zˇrejm´a z obr´azku); pro
p˚udorys bodu R = k∩ρ je pak R1 = b1∩k1 a n´arys R2 najdeme na ordin´ale a na pˇr´ımce
b2 = k2
O1,2 x1,2
A1
A2
pρ1
nρ2
k1
k2=β2=nβ2=
pβ1
b2
b1
P1
P2
N1
N2
R1
R2
- 65 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• na z´avˇer staˇc´ı urˇcit skuteˇcnou d´elku ´useˇcky AR; proved’me to sklopen´ım p˚udorysnˇe
prom´ıtac´ı roviny pˇr´ımky k: pro sklopen´e polohy (A),(R) bod˚u A,R plat´ı |(A)A1| =
= zA = 5, |(R)R1| = zR = |xR2|; ˇreˇsen´ım ´ulohy je d´elka v = |Aρ| = |AR| = |(A)(R)|
O1,2 x1,2
A1
A2
pρ1
nρ2
k1
k2=β2=nβ2=
pβ1
b2
b1
P1
P2
N1
N2
R1
R2
(R)
(A)
zR
zR
v=|Aρ|
a50
- 66 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
5.5. Vzd´alenost bodu od pˇr´ımky
ˇReˇsen´e ´ulohy
1. zp˚usob ˇreˇsen´ı – uˇzit´ı roviny veden´e dan´ym bodem kolmo k dan´e pˇr´ımce
Pˇr´ıklad: Urˇcete vzd´alenost v = |Ap| bodu A od pˇr´ımky p = KL; A[2;3;3], K[−4;3;1],
L[3;7;6].
• podle zad´an´ı sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2,K1,K2,L1,L2,p1,p2 bod˚u A,K,L a
pˇr´ımky p = KL
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
- 67 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• bodem A ved’me rovinu σ ⊥ p: pˇr´ımka Ihσ1 ⊥ p1,A1 ∈ Ihσ1 je p˚udorysem hlavn´ı pˇr´ımky
I. osnovy roviny σ, pro jej´ı n´arys plat´ı Ihσ2 bardbl x1,2,A2 ∈ Ihσ2; bod N1 = Ihσ1 ∩ x1,2 je
p˚udorysem n´arysn´eho stopn´ıku N = Ihσ ∩ ν sestrojen´e hlavn´ı pˇr´ımky, jeho n´arys N2
leˇz´ı na ordin´ale a na pˇr´ımce Ihσ2; a bodem N2 proch´az´ı n´arysn´a stopa nσ2 ⊥ p2, kter´a se
s p˚udorysnou stopou pσ1 ⊥ p1 prot´ın´a na ose x
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
N1
N2
Ihσ1
Ihσ2
pσ1
nσ2
- 68 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• p˚udorysnˇe prom´ıtac´ı rovina pˇr´ımkypprot´ın´a rovinuσ v pˇr´ımcer = PH, kdeP1 = pσ1∩p1
a n´arys P2 leˇz´ı na ordin´ale a na ose x, podobnˇe je H1 = Ihσ1 ∩ p1 a n´arys H2 leˇz´ı na
ordin´ale a na pˇr´ımce Ihσ2; v p˚udoryse je pak r1 = P1H1 = p1 (r je p˚udorysnˇe kryc´ı
pˇr´ımka) a v n´aryse dostaneme r2 = P2H2
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
N1
N2
Ihσ1
Ihσ2
pσ1
nσ2
P1
P2
H1
H2
=r1
r2
- 69 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• sestrojen´a pˇr´ımka r prot´ın´a danou pˇr´ımku p v bodˇe R, kter´y je souˇcasnˇe pr˚useˇc´ıkem
pˇr´ımky p s rovinou σ; v n´aryse je R2 = p2 ∩r2 a p˚udorys R1 na ordin´ale a na pˇr´ımce
p1 = r1
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
N1
N2
Ihσ1
Ihσ2
pσ1
nσ2
P1
P2
H1
H2
=r1
r2
R1
R2
- 70 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• na z´avˇer staˇc´ı urˇcit skuteˇcnou d´elku ´useˇcky AR; proved’me to sklopen´ım jej´ı p˚udorysnˇe
prom´ıtac´ı roviny: pro sklopen´e polohy (A),(R) bod˚u A,R plat´ı |(A)A1| = = zA = 3,
|(R)R1| = zR = |xR2|; ˇreˇsen´ım ´ulohy je d´elka v = |Aρ| = |AR| = |(A)(R)|
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
N1
N2
Ihσ1
Ihσ2
pσ1
nσ2
P1
P2
H1
H2
= r1
r2
R1
R2
(R)
(A)
v=|Ap|
a50
- 71 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
2. zp˚usob ˇreˇsen´ı – pomoc´ı otoˇcen´ı roviny urˇcen´e dan´ym bodem a danou pˇr´ımkou
Pˇr´ıklad: Urˇcete vzd´alenost v = |Ap| bodu A od pˇr´ımky p = KL; A[2;3;3], K[−4;3;1],
L[3;7;6].
• podle zad´an´ı sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2,K1,K2,L1,L2,p1,p2 bod˚u A,K,L a
pˇr´ımky p = KL
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
- 72 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• sestrojme p˚udorysnou stopu pρ = PQ roviny ρ = Ap = AKL, kde body P,Q jsou
p˚udorysn´e stopn´ıky pˇr´ımek p = KL,q = AK: v n´aryse je P2 = p2∩x1,2 a Q2 = q2∩x1,2,
p˚udorysy P1 ∈ p1,Q1 ∈ q1 leˇz´ı na pˇr´ısluˇsn´ych ordin´al´ach; p˚udorysn´a stopa je pˇr´ımka
pρ1 = P1Q1
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
P1
P2
Q1
Q2
q1
q2
pρ1
- 73 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• rovinu ρ otoˇcme kolem p˚udorysn´e stopy pρ do p˚udorysny, sestrojme otoˇcen´e polohy
A0,p0 bodu A a pˇr´ımky p: nejprve urˇceme polomˇer ot´aˇcen´ı bodu A sklopen´ım pˇr´ısluˇsn´e
roviny ot´aˇcen´ı (viz sklopen´a poloha (A) bodu A, kde |A1(A)| = zA = 3) a sestrojme
otoˇcenou polohu A0 (vol´ıme variantu otoˇcen´ı o menˇs´ı ´uhel); bod Q = Q1 = Q0 z˚ust´av´a
pˇri ot´aˇcen´ı na m´ıstˇe a pˇr´ımka q0 = Q0A0 je otoˇcenou polohou pˇr´ımky q; na n´ı sestroj´ıme
otoˇcenou polohu K0 bodu K a n´aslednˇe otoˇcenou polohu p0 = P0K0 pˇr´ımky p, kde
P0 = P1 = P; jinak ˇreˇceno, body A1 a A0, resp. K1 a K0, si odpov´ıdaj´ı v pravo´uhl´e
osov´e afinitˇe, jej´ıˇz osou je stopa pρ1; v t´eto afinitˇe si tak´e odpov´ıdaj´ı pˇr´ımky p1 a p0, resp.
q1 a q0, kter´e se prot´ınaj´ı v samodruˇzn´em bodˇe P1 = P0, resp. Q1 = Q0, na ose pρ1
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
P1
P2
Q1
Q2
q1
q2
pρ1
(A)
A0
Q0=
K0
P0=
q0
p0
- 74 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• nyn´ı jiˇz snadno ´ulohu doˇreˇs´ıme v otoˇcen´ı: bodem A0 ved’me kolmici k pˇr´ımce p0, jej´ı patu
oznaˇcme R0 a svorkou zv´yraznˇeme v´ysledek, j´ımˇz je velikost v = |A0R0| = |A0p0| = |Ap|
´useˇcky A0R0
O1,2 x1,2
A1
A2
K1
K2
L1
L2
p1
p2
P1
P2
Q1
Q2
q1
q2
pρ1
(A)
A0
Q0=
K0
P0=
q0
p0
R0
v=|Ap|
a50
Napˇr. pomoc´ı kruˇz´ıtka m˚uˇzeme zkusit ovˇeˇrit,ˇze oba zp˚usobyˇreˇsen´ı vedou k t´emuˇz v´ysledku...
- 75 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
5.6. Teˇcn´a rovina kulov´e plochy
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte teˇcnou rovinu τ kulov´e plochy κ(S,r) v jej´ım bodˇe T; S[0;4;5],
r=3,5,T[−1;2,5;?].
- 76 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• podle zad´an´ı vynesme souˇradnice a sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety S1,S2 bodu S a p˚udorys
T1bodu T; p˚udorysem κ1, resp. n´arysem κ2, kulov´e plochy κ je kruh o stˇredu S1, resp.
S2, a polomˇeru r = 3,5
O1,2 x1,2
S1
S2
T1
κ1
κ2
- 77 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• nejprve doplˇnme n´arys T2 bodu T ∈ κ: pˇr´ımka α1 = S1T1 je p˚udorysem roviny α ⊥ pi,
kter´a prot´ın´a kulovou plochu κ v hlavn´ı kruˇznici h(S,r); sklopme rovinu α do p˚udorysny
a sestrojme sklopen´e polohy (S),(h),(T) stˇredu S, kruˇznice h a na n´ı leˇz´ıc´ıho bodu T (ze
dvou moˇznost´ı vyberme bod bliˇzˇs´ı k p˚udorysnˇe); ve sklopen´ı z´ısk´ame z-ovou souˇradnici
zT = |T1(T)| bodu T, kterou vyneseme od osy x na pˇr´ısluˇsnou ordin´alu a sestroj´ıme tak
n´arys T2 dotykov´eho bodu T
O1,2 x1,2
S1
S2
T1
κ1
κ2
(S)
(h)
(T)
α1
zT
zT
T2
h1
- 78 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• hledan´a teˇcn´a rovina τ mus´ı b´yt kolm´a k pˇr´ımce n = ST, jej´ımˇz p˚udorysem je pˇr´ımka
n1 = S1T1 a n´arysem pˇr´ımka n2 = S2T2; v obou pr˚umˇetech je naznaˇcena viditelnost
norm´aly n vzhledem ke kulov´e ploˇse κ; k tomu ´uˇcelu jsou doplnˇeny sdruˇzen´e pr˚umˇety
bodu soumˇern´eho s bodem T podle stˇredu S
O1,2 x1,2
S1
S2
T1
κ1
κ2
(S)
(h)
(T)
α1
zT
zT
T2
h1
=n1
n2
- 79 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• pro rovinu τ ⊥ n je nejprve bodem T vedena hlavn´ı pˇr´ımka Ihτ jej´ı I. osnovy: v p˚udoryse
je Ihτ1 ⊥ n1,T1 ∈ Ihτ1 a v n´aryse plat´ı Ihτ2 bardbl x1,2,T2 ∈ Ihτ2; souˇcasnˇe je sestrojen tak´e
n´arysn´y stopn´ık N pˇr´ımky Ihτ: pro jeho p˚udorys plat´ı N1 = Ihτ1 ∩x1,2 a n´arys leˇz´ı na
ordin´ale a na pˇr´ımce Ihτ2
O1,2 x1,2
S1
S2
T1
κ1
κ2
(S)
(h)
(T)
α1
zT
zT
T2
h1
=n1
n2
Ihτ1
Ihτ2
N1
N2
- 80 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• na z´avˇer jiˇz snadno dopln´ıme stopy hledan´e teˇcn´e roviny τ, kter´a se dot´yk´a dan´e kulov´e
plochy κ(S,r) v jej´ım dan´em bodˇe T: n´arysn´a stopa nτ2 proch´az´ı bodem N2 kolmo
k pˇr´ımce n2 = S2T2 a prot´ın´a se s p˚udorysnou stopou pτ1 ⊥ n1 na ose x = x1,2
O1,2 x1,2
S1
S2
T1
κ1
κ2
(S)
(h)
(T)
α1
zT
zT
T2
h1
=n1
n2
Ihτ1
Ihτ2
N1
N2
pτ1
nτ2
h2
a50
- 81 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
5.7. Konstrukce pravideln´eho ˇsesti´uheln´ıka
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte pravideln´y ˇsesti´uheln´ık v rovinˇe ρ, je-li d´an jeho stˇred S a jedna strana
leˇz´ı v n´arysnˇe ν; ρ(7;6;5),S[−3;2;?].
- 82 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• podle zad´an´ı sestrojme stopy pρ1,nρ2 roviny ρ a p˚udorys S1 bodu S
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
- 83 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• doplˇnme n´arys S2 bodu S pomoc´ı hlavn´ı pˇr´ımky IIhρ II. osnovy roviny ρ a jej´ıho
p˚udorysn´eho stopn´ıku P = IIhρ∩pi: v p˚udorysu je IIhρ1 bardbl x1,2,S1 ∈ IIhρ1 a P1 = IIhρ1∩pρ1,
n´arys P2 leˇz´ı na ordin´ale a na ose x a pro n´arys pˇr´ımky IIhρ plat´ı IIhρ2 bardbl nρ2,P2 ∈ IIhρ2;
n´arys S2 leˇz´ı na pˇr´ısluˇsn´e ordin´ale a na sestrojen´e pˇr´ımce IIhρ2
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
IIhρ1
IIhρ2
P1
P2
S2
- 84 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• sestrojme otoˇcenou polohu S0 bodu S v otoˇcen´ı roviny ρ do n´arysny kolem n´arysn´e
stopy nρ: polomˇer |Snρ| ot´aˇcen´ı zjist´ıme ve sklopen´ı pˇr´ısluˇsn´e roviny ot´aˇcen´ı, kde pro
sklopenou polohu (S) bodu S plat´ı (S) ∈ IIhρ2, |S2(S)| = yS = |S1x1,2| = 2, a n´aslednˇe
provedeme otoˇcen´ı do bodu S0 v uveden´em sklopen´ı; konstrukce jsou provedeny ob-
vykl´ym zp˚usobem, tj. ˇcerchovanˇe
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
IIhρ1
IIhρ2
P1
P2
S2
(S)
S0
yS
yS
- 85 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• v otoˇcen´ı vyˇreˇs´ıme zadanou ´ulohu: sestroj´ıme pravideln´y ˇsesti´uheln´ık A0B0C0D0E0F0,
kter´y m´a stˇred S0 a jehoˇz strana A0B0 leˇz´ı na n´arysn´e stopˇe nρ2 (zp˚usob konstrukce
je patrn´y z obr´azku); tento ˇsesti´uheln´ık je vskutku ˇreˇsen´ım, nebot’ po otoˇcen´ı zpˇet do
roviny ρ bude m´ıt stˇred v bodˇe S a strana AB z˚ustane leˇzet v n´arysnˇe
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
IIhρ1
IIhρ2
P1
P2
S2
(S)
S0
yS
yS
A0
B0
C0
D0
E0
F0
30◦
- 86 -
Geometrie 5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• proved’me otoˇcen´ı zpˇet a sestrojme n´arys A2B2C2D2E2F2 ˇsesti´uheln´ıka ABCDEF; pˇri
tom lze vyuˇz´ıt pravo´uhlou osovou afinitu, jej´ıˇz osou je n´arysn´a stopa nρ2 a v n´ıˇz si
odpov´ıdaj´ı body S0 a S2; pˇri ruˇcn´ım r´ysov´an´ı vede ovˇsem jej´ı uˇzit´ı ˇcasto k nepˇresnostem
a je velmi vhodn´e pr˚ubˇeˇznˇe konstrukce kontrolovat pomoc´ı stˇredov´e soumˇernosti, kter´a
se v pr˚umˇetu zachov´a
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
IIhρ1
IIhρ2
P1
P2
S2
(S)
S0
yS
yS
A0
B0
C0
D0
E0
F0
30◦
=A2
=B2
C2
D2
E2
F2
- 87 -
5. Procviˇcen´ı z´akladn´ıch ´uloh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• na z´avˇer doplˇnme p˚udorys A1B1C1D1E1F1 ˇsesti´uheln´ıka ABCDEF; zde vyuˇzijeme or-
din´aly a opˇet stˇredovou soumˇernost tentokr´at podle bodu S1
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
IIhρ1
IIhρ2
P1
P2
S2
(S)
S0
yS
yS
A0
B0
C0
D0
E0
F0
30◦
=A2
=B2
C2
D2
E2
F2
A1 B1
C1
D1E1
F1
a50
- 88 -
Geometrie 6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
V´yklad
• p˚udorysem i n´arysem kruˇznice, kter´a leˇz´ı v rovinˇe obecnˇe poloˇzen´e k obˇema pr˚umˇetn´am,
jsou elipsy, jeˇz maj´ı d´elky hlavn´ıch poloos rovny polomˇeru dan´e kruˇznice
• je-li kruˇznice v obecn´e rovinˇe d´ana sv´ym stˇredem a polomˇerem, lze jej´ı pr˚umˇety snadno
sestrojit podle n´asleduj´ıc´ıho pˇr´ıkladu
• pokud je kruˇznice d´ana jinak, napˇr. tˇremi body nebo stˇredem a teˇcnou, je obvykle
nejv´yhodnˇejˇs´ı otoˇcit rovinu t´eto kruˇznice do nˇekter´e z pr˚umˇetem, v otoˇcen´ı kruˇznici
sestrojit a pot´e vr´atit zpˇet do p˚udorysu a n´arysu
- 89 -
6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: V rovinˇe ρ sestrojte kruˇznici k(S,r); ρ(3;2;3),S[−3;2;?],r = 2.
• podle zad´an´ı sestrojme stopy pρ1,nρ2 roviny ρ a p˚udorys S1 stˇredu S; polomˇer r pouˇzijeme
pozdˇeji
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
- 90 -
Geometrie 6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• pomoc´ı hlavn´ı pˇr´ımky Ihρ I. osnovy doplˇnme n´arys bodu S ∈ ρ: je Ihρ1 bardbl pρ1,S1 ∈ Ihρ1,
n´arysn´y stopn´ık N m´a p˚udorys N1=Ihρ1 ∩x (vych´az´ı do poˇc´atku O), n´arys N2 leˇz´ı na
ordin´ale a na stopˇe nρ2, j´ım proch´az´ı n´arys Ihρ2 bardbl x uˇzit´e hlavn´ı pˇr´ımky; bod S2 najdeme
na ordin´ale a sestrojen´e pˇr´ımce Ihρ2
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
Ihρ1
=N1
N2Ihρ
2 S2
- 91 -
6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• bodem S ved’me tak´e hlavn´ı pˇr´ımku IIhρ II. osnovy: pro jej´ı sdruˇzen´e pr˚umˇety plat´ı
IIhρ
1 bardbl x,S1 ∈
IIhρ
1 a
IIhρ
2 bardbl n
ρ
2,S2 ∈
IIhρ
2; pro p˚udorysn´y stopn´ık P t´eto hlavn´ı pˇr´ımky
plat´ı P1=IIhρ1 ∩pρ1 a P2 leˇz´ı na ordin´ale a na ose x (tak´e vych´az´ı do poˇc´atku O)
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
Ihρ1
=N1
N2Ihρ
2 S2
IIhρ1
P1
=P2
IIhρ2
- 92 -
Geometrie 6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• sestrojme body A,B=Ihρ ∩k: v p˚udorysu se na Ihρ1 zachov´a d´elka ´useˇcky a plat´ı tedy
|A1S1|=|B1S1|=r, n´arysyA2,B2 bod˚uA,B najdeme po ordin´al´ach na pˇr´ımce Ihρ2; ´useˇcka
AB je jedin´y pr˚umˇer kruˇznice k, kter´y se v p˚udorysu nezkr´at´ı, a tud´ıˇz jsou body
A1,B1 hlavn´ı vrcholy elipsy k1, kter´a je p˚udorysem dan´e kruˇznice k; n´arysy A2,B2
jsou obecn´ymi body elipsy k2, kter´a je n´arysem kruˇznice k
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
Ihρ1
=N1
N2Ihρ
2 S2
IIhρ1
P1
=P2
IIhρ2
A1
A2
B1
B2
r
- 93 -
6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• podobnˇe sestrojme body C,D=IIhρ ∩ k: tentokr´at se zachov´a d´elka na n´arysu IIhρ2,
kde m˚uˇzeme nan´est polomˇer r kruˇznice k ve skuteˇcn´e velikosti, tj. |C2S2|=|D2S2|=r, a
p˚udorysy C1,D1 z´ısk´ame opˇet po ordin´al´ach na pˇr´ımce IIhρ1; t´ım jsme analogicky jako
v pˇredchoz´ım kroku z´ıskali hlavn´ı vrcholy C2,D2 elipsy k2 a obecn´e body C1,D1, kter´ymi
bude proch´azet elipsa k1
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
Ihρ1
=N1
N2Ihρ
2 S2
IIhρ1
P1
=P2
IIhρ2
A1
A2
B1
B2
r
C1
C2
D1
D2
r
- 94 -
Geometrie 6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• pro p˚udorys k1 kruˇznice k jiˇz staˇc´ı jen doplnit vedlejˇs´ı vrcholy – to je provedeno pomoc´ı
rozd´ılov´e prouˇzkov´e konstrukce (podrobnˇeji viz na stranˇe 196): bod I leˇz´ı na vedlejˇs´ı
ose a plat´ı pro nˇej |IC1|=|A1S1|, d´elka ´useˇcky IIC1, kde II=C1I ∩ A1S1, pak ud´av´a
d´elku vedlejˇs´ı poloosy elipsy k1, kterou je (nejl´epe za pomoci hyperoskulaˇcn´ıch kruˇznic
ve vrcholech) nyn´ı moˇzno vyr´ysovat
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
Ihρ1
=N1
N2Ihρ
2 S2
IIhρ1
P1
=P2
IIhρ2
A1
A2
B1
B2
r
C1
C2
D1
D2
r
III
k1
- 95 -
6. Zobrazen´ı kruˇznice v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• takt´eˇz v n´arysu jsou vedlejˇs´ı vrcholy elipsy k2 sestrojeny pomoc´ı rozd´ılov´e prouˇzkov´e
konstrukce (pomocn´e body Iprime,IIprime), jinak je postup stejn´y jako v p˚udorysu; elipsy k1 a
k2 jakoˇzto sdruˇzen´e pr˚umˇety kruˇznice k maj´ı tedy stejnou d´elku hlavn´ı poloosy nav´ıc
rovnou polomˇeru r, d´elka vedlejˇs´ı poloosy je vˇsak v obou pr˚umˇetech obecnˇe r˚uzn´a
O1,2 x1,2
pρ1
nρ2
S1
Ihρ1
=N1
N2Ihρ
2 S2
IIhρ1
P1
=P2
IIhρ2
A1
A2
B1
B2
r
C1
C2
D1
D2
r
III
k1
I′II
′
k2
a50
- 96 -
Geometrie 7. Konstrukˇcn´ı ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
7. Konstrukˇcn´ı ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• v n´asleduj´ıc´ıch ´uloh´ach jde o to sestrojit urˇcen´y geometrick´y objekt z dan´ych prvk˚u
• pˇritom je vˇzdy nejprve na z´akladˇe vztah˚u mezi dan´ymi a hledan´ymi ´utvary, tj. na
z´akladˇe rozboru ´ulohy, stanoven postup konstrukc´ı v prostoru, tzv. prostorov´y prin-
cip ˇreˇsen´ı
• pot´e je krok po kroku provedena konstrukce v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
7.1. Pravideln´y osmistˇen
ˇReˇsen´e ´ulohy
Pˇr´ıklad: Sestrojte pravideln´y osmistˇen, je-li d´an jeho vrchol A a ´uhlopˇr´ıˇcka BD leˇz´ı na pˇr´ımce
p=PQ; A[0;2;6],P[5;2;0],Q[−4;7;6].
Rozbor ´ulohy Prostorov´y princip ˇreˇsen´ı
1. ρ;ρ = Ap
2. a50ABCD; leˇz´ı v ρ, m´a vrchol A a
´uhlopˇr´ıˇcku BD na pˇr´ımce p, jeho stˇred
S je stˇredem osmistˇenu
3. q;S ∈ q,q ⊥ ρ
4. E,F;E,F ∈ q,|ES| = |FS| = |AS|
5. pravideln´y osmistˇen ABCDEF
- 97 -
7. Konstrukˇcn´ı ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
Konstrukce
• podle zad´an´ı sestrojme sdruˇzen´e pr˚umˇety A1,A2,p1=P1Q1,p2=P2Q2 bodu A a pˇr´ımky
p=PQ
O1,2 x1,2
P1
P2
Q1
Q2
p1
p2
A1
A2
- 98 -
Geometrie 7. Konstrukˇcn´ı ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
• ze zad´an´ı bod˚u A,Q (zA=zQ=6) vypl´yv´a,ˇze pˇr´ımka Ihρ=AQ je hlavn´ı pˇr´ımkou I. osnovy
roviny ρ=Ap; pro jej´ı p˚udorysnou stopu pρ tud´ıˇz plat´ı pρ1 bardbl Ihρ1,P1 ∈ pρ1; n´arysn´a stopa
nρ proch´az´ı n´arysn´ym stopn´ıkem N hlavn´ı pˇr´ımky Ihρ (N1=Ihρ1 ∩x, N2 leˇz´ı na ordin´ale
a na pˇr´ımce Ihρ2) a prot´ın´a se s p˚udorysnou stopou na ose x
O1,2 x1,2
P1
P2
Q1
Q2
p1
p2
A1
A2
N1
N2
Ihρ1
Ihρ2
pρ1
nρ2
- 99 -
7. Konstrukˇcn´ı ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie
• sestrojme otoˇcen´e polohy A0,p0=P0Q0 bodu A a pˇr´ımky p=PQ leˇz´ıc´ıch v rovinˇe ρ
(ot´aˇc´ıme kolem stopy pρ do p˚udorysny pi); bod A je otoˇcen ve sklopen´ı p˚udorysnˇe
prom´ıtac´ı roviny pˇr´ısluˇsn´e sp´adov´e pˇr´ımky, bod P ∈ pi z˚ust´av´a pˇri ot´aˇcen´ı na m´ıstˇe (tj.
P0=P1) a polomˇer ot´aˇcen´ı bodu Q je stejn´y jako u bodu A (je tud´ıˇz pˇr´ımka Ihρ0=A0Q0
rovnobˇeˇzn´a se stopou pρ1 a body Q1,A1,A0,Q0 tvoˇr´ı obd´eln´ık)
- 100 -
Geometrie 7. Konstrukˇcn´ı ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı
O1,2 x1,2
P1
P2
Q1
Q2
p1
p2
A1
A2
N1
N2
Ihρ1
Ihρ2
pρ1
nρ2
(A)
A0
Q0
Ihρ0
p0
=P0
- 101 -
7. Konstrukˇcn´ı ´ulohy v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı Geometrie