Skriptum1

Matematika I
Wiki Skriptum
27. z a r 2009
1
Obsah
1 Uvod, jazyk a zna cen 4
1.1 Mno ziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 V yroky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 C seln e mno ziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Omezenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Absolutn hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Funkce 6
2.1 De nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Z akladn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Algebraick e kombinace funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Prost a a inverzn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Parita, obraz, vzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Limita funkce 7
3.1 Idea limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 De nice a vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Jednozna cnost limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Jednostrann e limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Nekone cn e limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 V eta o sev ren e funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.7 Trigonometrick e limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Spojitost funkce 9
5 Derivace funkce 10
5.1 De nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 P r klady a pravidla pro derivov an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Derivace slo zen e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4 Derivace inverzn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.5 Derivace vy s s ch r ad u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.6 Cyklometrick e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.7 Jednostrann e derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 U zit derivace k vy set rov an funkce 13
6.1 V ety o p r r ustku funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3 Extr emy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.4 Test extr emu dle 1. derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.5 Test extr emu dle 2. derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.6 Glob aln extr emy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.7 Konvexita, konkavita, in exe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.8 Asymptota funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
6.9 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7 Integr aln po cet 16
7.1 Primitivn funkce a neur cit y integr al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.2 Ur cit y integr al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.3 Vlastnosti ur cit eho integr alu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 Transcendentn funkce 18
8.1 O c jde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.2 Logaritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8.3 Exponenci aln funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.4 Obecn a mocnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.5 Obecn a b aze mocninn e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.6 Obecn a b aze logaritmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.7 Trigonometrick e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.8 Cyklometrick e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.9 Hyperbolick e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.10 Inverzn hyperbolick e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.11 Trigonometrick e funkce : pokro cil e techniky integrace . . . . . . . . . . 22
9 Aplikace integr alu 23
9.1 V ypo cet plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.2 D elka grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.3 Objem rota cn ho t elesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.4 Povrch rota cn ho t elesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3
1 Uvod, jazyk a zna cen
V t eto uvodn c asti p redn a sky se sezn am te se z akladn mi matematick ymi pojmy,
zna cen m, operacemi s mno zinami a z aklady matematick e logiky. D ale jsou zde stru cn e
probr any c seln e mno ziny, intervaly, pojem omezenosti mno ziny, horn hranice (z avora)
mno ziny a kone cn e v yznam absolutn hodnoty c sla.
1.1 Mno ziny
De nice 1.1 (Naivn de nice mno ziny | Cantor 1873).
Soubor dob re de novan ych a dob re rozli siteln ych objekt u se naz yv a mno zina. Mno ziny
zapisujeme ve tvaru
M =fprvek x : vlastnosti prvku xg: (1)
Pro porozum en mezi lidmi (matematiky) je d ule zit e ovl adat z apis mno zin a vztah u
mezi nimi a jejich prvky.
De nice 1.2 (P rehled operac s mno zinami).
Necht’ A a B jsou n ejak e mno ziny a x je prvek.
x2A Prvek x n ale z mno zin e A.
x =2A Prvek x nen ale z mno zin e A.
A B Mno zina A je c ast mno ziny B.
A[B Sjednocen mno zin A a B.
A\B Pr unik mno zin A a B.
; Pr azdn a mno zina.
A =fx : Vg Z apis mno ziny, kter a m a prvky x, o kter ych plat vlast-
nost V, nap r. V = "x> 0".
A B =f(x;y) : x2A a y2Bg Kart ezsk y sou cin mno zin A a B.
P r klady pou zit :
A[;= A
A\;=;
Necht’ A =f g, B =f ; g, pak plat :
A B
A\B =f g= A
A[B =f ; g= B
1.2 V yroky
Stru cn e p ripomenut , co je to matematick y v yrok a operace s v yroky (hlavn e negace).
4
De nice 1.3 (V yrok).
V yrok je sd elen , u kter eho m u zeme rozhodnout zda je platn e nebo neplatn e.
De nice 1.4 (P rehled operac s v yroky). Necht’ V1 a V2 jsou v yroky.
V1 v yrok V1 (plat ).
:V1 negace v yroku V1 (v yrok V1 neplat ).
V1^V2 konjunkce - plat V1 a z arove n V2.
V1_V2 disjunkce - plat V1 nebo V2.
V1)V2 implikace - kdy z plat V1 , pak plat V2.
V1,V2 ekvivalence - V1 plat pr av e tehdy, kdy z plat V2.
P redn a ska:
V yrok V, negace v yroku :V, a ^, nebo _, implikace ), ekvivalence ,, pravidla p ri
negov an v yrok u, symboly existence 9, 91, 91 a symbol pro v sechny 8.
1.3 C seln e mno ziny
P rirozen a c sla N, cel a c sla Z, racion aln c sla Q, re aln a c sla R a komplexn c sla C.
V eta 1.5 (O hustot e mno ziny re aln ych c sel).
Mezi libovoln ymi r uzn ymi re aln ymi c sly je nekone cn e mnoho racion aln ch a nekone cn e
mnoho iracion aln ch c sel.
D ukaz.
1.4 Intervaly
P redn a ska:
Interval, otev ren y, uzav ren y, polootev ren y nebo polouzav ren y interval, z apis nekone cn eho
intervalu [ c slo;+1), ( 1; c slo) nebo ( 1;+1).
1.5 Omezenost
P redn a ska:
Omezen mno ziny shora a zdola, horn a doln hranice (z avora).
1.6 Absolutn hodnota
De nice 1.6 (Absolutn hodnota).
Absolutn hodnota c sla x je c slo de novan e jako jx