Skriptum1

j=
8<
:
x pro x 0
x pro x< 0
:
Pozn amka. Plat jxj= maxfx; xg a hlavn e px2 =jxj.
V eta 1.7 (Troj uheln kov a nerovnost).
ja+bj jaj+jbj: (2)
5
D ukaz.
D usledek 1.8.
jaj jbj ja bj: (3)
2 Funkce
2.1 De nice
De nice 2.1 (Funkce, de ni cn obor, obor hodnot).
Funkce f s de ni cn m oborem Df je p redpis, kter y ka zd emu c slu x2Df p ri rad pr av e
jedno re aln e c slo, kter e zna c me f(x). Mno zinu v sech takto p ri razen ych c sel naz yv ame
obor hodnot a zna c me Hf.
P redn a ska:
Graf funkce. Kdy je mo zn e ch apat kart ezsk y sou cin mno zin jako funkci ?
2.2 Z akladn funkce
P redn a ska:
Polynomy. Odmocnina. Racion aln funkce.
2.3 Algebraick e kombinace funkc
P redn a ska:
Sou cet, rozd l, sou cin, pod l dvou funkc , n asoben funkce c slem. Skl ad an funkc f g,
f g h apod. Skl ad an funkc nen komutativn f g6= g f !!!
2.4 Prost a a inverzn funkce
De nice 2.2 (Prost a funkce).
Funkce f je prost a, pr av e kdy z neexistuj dva r uzn e body z Df na kter ych by f nab yvala
stejn e hodnoty. Tj. (8x1;x22Df)(f(x1) = f(x2))x1 = x2).
V eta 2.3 (O inverzn funkci).
Je-li funkcef prost a, pak existuje pr av e jedna funkceg s de ni cn m oboremDg = Hf
takov a, ze f g(x) = x pro 8x2Dg.
D ukaz.
De nice 2.4 (Inverzn funkce).
Funkci g z p redchoz v ety zna c me g = f 1 a naz yv ame funkc inverzn k funkci f.
P redn a ska:
Cemu a na jak em de ni cn m oboru je rovno slo zen f f 1, resp. f 1 f ?
6
2.5 Parita, obraz, vzor
P redn a ska:
Sud a a lich a funkce. Pojem obrazu a vzoru mno ziny p ri zobrazen f.
3 Limita funkce
3.1 Idea limity
P redn a ska:
Uvodn pozn amky a obr azky vysv etluj c pojem limity funkce.
3.2 De nice a vlastnosti
De nice 3.1 (Limita funkce f v bod e a).
Necht’ pro n ejak e c2 R a p > 0 je sjednocen (c p;c)[(c;c + p) c ast de ni cn ho
oboru Df. Potom
limx!cf(x) = l , (8"> 0)(9 > 0)(8x2(c p;c)[(c;c+p) )(0 0)(9 > 0)(8x2(c p;c) )(c 0)(8x2(c;c+p) )(c 0)(9 > 0)(8x> )jf(x) lj 0)(9 > 0)(8x< )jf(x) lj 0 tak, ze pro v sechna
h2(0;") plat
f(x0 h) f(x0) >f(x0 +h); (29)
tj. f je klesaj c funkce v bod e x0 (viz p redn a ska v odstavci 6.2).
V eta 6.2 (Rolle).
Necht’ funkce f je spojit a na [a;b] a diferencovateln a na (a;b) (tj. f m a kone cnou
derivaci na (a;b)) a necht’ nav c f(a) = f(b). Potom 9c2(a;b) tak, ze f0(c) = 0.
D ukaz.
V eta 6.3 (Lagrange).
Necht’ funkce f je spojit a na [a;b] a diferencovateln a na (a;b). Potom 9c2 (a;b) tak,
ze
f0(c) = f(a) f(b)a b : (30)
D ukaz.
D usledek 6.4.
Necht’ funkce f je spojit a na [a;b] a necht’ f0(x) = 0 8x2(a;b). Potom f je konstanta,
tj. f(x) = K 82(a;b).
V eta 6.5.
Necht’ funkce f a g jsou spojit e na intervalu [a;b] a necht’ f0(x) = g0(x) na intervalu
(a;b). Potom 9C2R tak, ze f(x) = g(x) +C 8x2[a;b].
D ukaz.
6.2 Monotonie
V eta 6.6 (Vztah derivace a monotonie).
Necht’ funkce f je diferencovateln a na intervalu J. Potom plat
f0(x) > 0 8x2J ) f je ost re rostouc na J.
f0(x) 0 8x2J ) f je rostouc (neklesaj c ) na J.
f0(x) < 0 8x2J ) f je ost re klesaj c na J.
13
f0(x) 0 8x2J ) f je klesaj c (nerostouc ) na J.
D ukaz.
P redn a ska:
De nice rostouc , ost re rostouc , klesaj c a ost re klesaj c funkce.
6.3 Extr emy
V eta 6.7 (Nutn a podm nka existence extr emu).
M a-li funkce f v bod e a2Df lok aln extr em, pak f0(a) = 0 nebo f0(a) neexistuje.
D ukaz.
P redn a ska:
De nice lok aln ho a glob aln ho minima nebo maxima.
6.4 Test extr emu dle 1. derivace
V eta 6.8 (Test extr emu funkce dle f0).
Necht’ funkce f je spojit a v bod e c2Df a necht’ bod c je stacion arn m bodem funkce f.
Pokud existuje > 0 tak, ze
f0> 0 na (c ;c) a f0< 0 na (c;c+ ), potom f m a v bod e c lok aln maximum.
f0< 0 na (c ;c) a f0> 0 na (c;c+ ), potom f m a v bod e c lok aln minimum.
f0 m a stejn e znamen v (c ;c)[(c;c + ), potom f nem a v bod e c lok aln
extr em.
D ukaz.
P redn a ska:
De nice stacion arn ho bodu c : f0(c) = 0 nebo f0(c) neexistuje.
6.5 Test extr emu dle 2. derivace
V eta 6.9 (Test extr emu funkce dle f00).
Necht’ funkce f je spojit a v bod e c2Df a necht’ f0(c) = 0.
Pokud f00(c) > 0, potom f m a v bod e c lok aln maximum,
Pokud f00(c) < 0, potom f m a v bod e c lok aln minimum.
D ukaz.
6.6 Glob aln extr emy
P redn a ska:
Postup vy set rov an funkc .
14
6.7 Konvexita, konkavita, in exe
V eta 6.10. Bud’ c in exn bod. Potom f00(c) = 0 nebo f00(c) neexistuje.
D ukaz.
P redn a ska:
De nice konvexn a konk avn funkce. De nice a v yznam in exe.
6.8 Asymptota funkce
De nice 6.11 (Asymptota).
P r mku y = kx+q nazveme asymptotou funkce f v +1, resp. 1, plat -li, ze
limx!+1f(x) kx q = 0; (31)
resp.
limx! 1f(x) kx q = 0: (32)
De nice 6.12 (Vertik aln asymptota).
P r mku x = a nazveme vertik aln asymptotou funkce f, m a-li funkce f v bod e a
nekone cnou limitu zleva nebo zprava.
V eta 6.13 (Nalezen asymptoty).
y = kx+q je asymptotou funkce f v 1 pr av e tehdy, kdy z
k = limx! 1f(x)x ; (33)
q = limx! 1f(x) kx: (34)
D ukaz.
6.9 L’Hospitalovo pravidlo
V eta 6.14. Bud’ a2R[f+1g[f 1g. Necht’ f m a kone cnou derivaci a g0(x)6= 0
na (a ;a)[(a;a+ ). D ale necht’ plat jedna ze dvou podm nek:
1. limx!af(x) = 0^limx!ag(x) = 0
2. limx!ajg(x)j= +1
Potom jestli ze existuje limita na prav e stran e n asleduj c rovnice, plat mezi limitami
rovnost
limx!af
0(x)
g0(x) = limx!a
f(x)
g(x): (35)
D ukaz.
15
7 Integr aln po cet
7.1 Primitivn funkce a neur cit y integr al
De nice 7.1 (Primitivn funkce).
Funkci F nazveme primitivn k funkce f na intervalu [a;b], pokud F je spojit a na
intervalu [a;b] a plat F0(x) = f(x) pro v sechna x2(a;b).
V eta 7.2 (O jednozna cnosti primitivn funkce).
Bud’ funkce F primitivn k funkci f na intervalu (a;b). Potom funkce G je primitivn
k funkci f pr av e kdy z (9C2R)(8x2(a;b) )(F(x) = G(x) +C):
D ukaz.
De nice 7.3 (Neur cit y integr al).
Necht’ pro funkci f existuje primitivn funkce F na (a;b). Mno zinu v sech primitivn ch
funkc k funkci f nazveme neur cit ym integr alem funkce f v intervalu (a;b) a zna c me
symbolem Z
f(x) dx; nebo kr atce
Z
f: (36)
V eta 7.4 (Per partes).
Necht’ f, g maj na (a;b) kone cn e derivace a funkce h = fg0 m a v (a;b) primitivn
funkci H. Potom funkce f0g m a v (a;b) primitivn funkci fg H.
Neboli Z
fg0 = fg
Z
f0g: (37)
D ukaz.
V eta 7.5 (Substituce).
Necht’f m a v (a;b) primitivn funkciF,’m a v ( ; ) kone cnou derivaci’0 a’( ; ) (a;b).
Potom funkce F ’ je primitivn funkce (f ’)’0 v intervalu ( ; ). Neboli
Z
f(z) dz =
Z
f(’(x))’0(x) dt = F(’(x)) +C: (38)
D ukaz.
P redn a ska:
V eta o linearit e primitivn funkce. Z akladn primitivn funkce.
7.2 Ur cit y integr al
De nice 7.6 (Neur cit y integr al).
Bud’ sf( ), resp. Sf( ) doln , resp. horn sou cet p ri rozd elen intervalu [a;b]. Potom
jednozna cn e ur cen e c slo I, kter e pro v sechna mo zn a rozd elen spl nuje
sf( ) I Sf( ) (39)
16
se naz yv a ur cit y integr al funkce f od a do b (p res interval (a;b)) a zna c se
I =
bZ
a
f(x) dx =
bZ
a
f: (40)
V eta 7.7 (Newton. Vztah neur cit eho a ur cit eho integr alu).
Necht’ funkce f je spojit a na [a;b] a F jej primitivn funkce. Potom
bZ
a
f(x) dx = [F(x)]ba = F(b) F(a): (41)
D ukaz.
V eta 7.8 (Per partes).
Necht’ funkce f, g maj na [a;b] spojit e derivace. Potom
bZ
a
f(x)g0(x) = [f(x)g(x)]ba
bZ
a
f0(x)g(x) dx: (42)
D ukaz.
V eta 7.9 (Substituce).