Skriptum1

Bud’ ’0 spojit a na intervalu [ ; ]. Necht’ funkce f je spojit a na H’. Potom
bZ
a
f(’(t))’0(t) dt =
’( )Z
’( )
f(u) du: (43)
D ukaz.
P redn a ska:
De nice rozd elen intervalu [a;b], doln sou cet sf( ) a horn sou cet Sf( ) funkce f
p ri rozd elen intervalu [a;b].
7.3 Vlastnosti ur cit eho integr alu
V eta 7.10 (V eta o st redn hodnot e integr alu).
Bud’f,g spojit e na intervalu [a;b] a nav c funkceg nez aporn a na [a;b]. Potom9c2[a;b]
tak, ze
bZ
a
f(x)g(x) dx = f(c)
bZ
a
g(x) dx: (44)
D ukaz.
P redn a ska:
Integr al z kladn e nebo nez aporn e funkce. Nerovnost mezi integr aly, analogie troj uheln kov e
nerovnosti.
17
8 Transcendentn funkce
8.1 O c jde
P redn a ska:
D elen na algebraick a a transcendentn c sla, resp. funkce.
8.2 Logaritmus
De nice 8.1 (Logaritmick a funkce).
Logaritmick a funkce je nekonstantn diferencovateln a funkce f de novan a na R+, kter a
pro v sechny x> 0 a y> 0 spl nuje
f(xy) = f(x) +f(y): (45)
V eta 8.2 (Vlastnosti logaritmick e funkce).
Bud’ f logaritmick a funkce. Potom
1. f(1) = 0
2. f 1x = f(x)
3. f

x
y

= f(x) f(y)
4. f0(x) = 1xf0(1), kde f0(1) odpov d a b azi logaritmu.
D ukaz.
De nice 8.3 (P rirozen y logaritmus).
P rirozen y logaritmus ln je de nov an jako
lnx =
xZ
1
dt
t : (46)
V eta 8.4 (Vlastnosti lnx).
Funkce lnx de novan a vztahem (46) m a n asleduj c vlastnosti:
Dln = R+ = (0;+1)
Hln = R = ( 1;+1)
(lnx)0 = 1x
R 1x dx = lnjxj+C
D ukaz.
P redn a ska:
Intuitivn de nice logaritmu, pojem b aze (z akladu) logaritmu a z akladn vlastnosti.
Ov e ren , ze de nice p rirozen eho logaritmu (46) spl nuje vlastnosti logaritmick a funkce
(tj. v etu 8.2). De nice Eulerova c sla e.
18
8.3 Exponenci aln funkce
De nice 8.5 (Exponenci aln funkce).
Funkce f(x) = ex pro v sechna x2R se naz yv a exponenci aln funkce.
V eta 8.6 (Vztah ex a lnx).
Funkce ex je inverzn funkc k lnx, tj. elnx = lnex = x.
D ukaz.
P redn a ska:
De nice c sla ez pro z 2 R Q. Vlastnosti exponenci aly: ex+y = exey, (ex)0 = ex,
integrace, pr ub eh funkce ...
8.4 Obecn a mocnina
De nice 8.7 (Obecn a mocnina).
xz = ezlnx: (47)
P redn a ska:
Z akladn vlastnosti obecn e mocniny, derivace a integrace.
8.5 Obecn a b aze mocninn e funkce
De nice 8.8 (Obecn a b aze mocninn e funkce).
px = exlnp: (48)
P redn a ska:
Z akladn vlastnosti, derivace a integrace.
8.6 Obecn a b aze logaritmu
De nice 8.9 (Obecn a b aze logaritmu).
logpx = lnxlnp: (49)
P redn a ska:
Z akladn vlastnosti logppx = x, derivace (logpx)0 = 1xlnp a integrace. Ov e ren , ze (49)
je logaritmick a funkce.
19
8.7 Trigonometrick e funkce
Lemma 8.10 (Sn zen mocniny u trigonometrick ych funkc ).
cos2(x) = 1 +cos(2x)2 (50)
sin2(x) = 1 cos(2x)2 (51)
P redn a ska:
Primitivn funkce a roz s ren e techniky integrace s vyu zit m Lemmatu 8.17 a vzorc u (6)
a (7) n asleduj c ch integr al u:
1. R cosm(x) sinn(x) dx, pro m;n2Z
2. R cos( x) sin( x) dx, pro ; 2R,
3. R cos( x) cos( x) dx, pro ; 2R,
4. R sin( x) sin( x) dx, pro ; 2R.
8.8 Cyklometrick e funkce
P redn a ska:
Integr aly typu
Z dx
pa2 (x+b)2 (52)
Z dx
a2 + (x+b)2 (53)
8.9 Hyperbolick e funkce
De nice 8.11 (Hyperbolick e funkce).
sinhx = e
x e x
2 ; (54)
coshx = e
x +e x
2 ; (55)
tghh x = sinhxcoshx = e
x e x
ex +e x; (56)
cotgh x = coshxsinhx = e
x +e x
ex e x (57)
V eta 8.12 (Vlastnosti hyperbolick ych funkc ).
Pro druhou mocninu hyperbolick ych funkc plat :
cosh2x sinh2x = 1: (58)
20
Sou ctov e vzorce:
cosh(x+y) = sinhxsinhy + coshxcoshy; (59)
sinh(x+y) = sinhxcoshy + coshxsinhy: (60)
D ukaz.
V eta 8.13 (Derivace hyperbolick ych funkc ).
(sinhx)0 = coshx; (61)
(coshx)0 = sinhx; (62)
(tghh x)0 = 1cosh2x; (63)
(cotgh x)0 = 1sinh2x (64)
D ukaz.
P redn a ska:
De ni cn obory, obory hodnot a grafy hyperbolick ych funkc ,.
8.10 Inverzn hyperbolick e funkce
De nice 8.14 (Inverzn hyperbolick e funkce).
argsinh x = sinh 1x argument hyperbolick eho sinu; (65)
argcosh x = cosh 1x argument hyperbolick eho cosinu; (66)
argtgh x = tghh 1x; (67)
argcotgh x = cotgh 1x: (68)
V eta 8.15 (Explicitn vyj ad ren inverzn ch hyperbolick ych funkc ).
argsinh x = ln(x+px2 + 1); pro x2R (69)
argcosh x = ln(x+px2 1); pro x 1 (70)
argtgh x = 12 ln 1 +x1 x; pro x2( 1;1) (71)
argcotgh x = 12 ln x+ 1x 1 pro x2Rn( 1;1) = ( 1; 1)[(1;+1): (72)
D ukaz.
21
V eta 8.16 (Derivace inverzn ch hyperbolick ych funkc ).
(argsinh x)0 = 1px2 + 1; (73)
(argcosh x)0 = 1px2 1; (74)
(argtgh x)0 = (argcotgh x)0 = 11 x2 (pozor na r uzn e de ni cn obory!): (75)
D ukaz.
P redn a ska:
P rehled integrace funkc vedouc ch na hyperbolick e a inverzn hyperbolick e funkce -
integr aly typu:
Z dx
p(x+b)2 +a2; (76)
Z dx
p(x+b)2 a2; (77)
Z dx
(x+b)2 a2: (78)
8.11 Trigonometrick e funkce : pokro cil e techniky integrace
Lemma 8.17 (Sn zen mocniny u trigonometrick ych funkc ).
cos2(x) = 1 +cos(2x)2 (79)
sin2(x) = 1 cos(2x)2 (80)
P redn a ska:
Primitivn funkce a roz s ren e techniky integrace s vyu zit m Lemmatu 8.17 n asleduj c ch
integr al u:
1. R cosm(x) sinn(x) dx, pro m;n2Z
2. R cos( x) sin( x) dx, pro ; 2R,
3. R cos( x) cos( x) dx, pro ; 2R,
4. R sin( x) sin( x) dx, pro ; 2R.
22
9 Aplikace integr alu
9.1 V ypo cet plochy
V eta 9.1 (V ypo cet plochy mezi funkcemi).
Necht’ jsou f a g funkce spojit e na intervalu [a;b]. Potom plocha A vymezen a t emito
funkcemi je
A =
bZ
a
jf(x) g(x)j dx: (81)
D ukaz.
D usledek 9.2 (Plocha pod grafem funkce).
Necht’ je funkce f spojit a a nez aporn a na intervalu [a;b]. Pak plocha Af vymezen a
grafem funkce f a osou x je
Af =
bZ
a
f(x) dx: (82)
P redn a ska:
Dal s mo zn e d usledky V ety 9.1.
9.2 D elka grafu funkce
De nice 9.3 (D elka grafu funkce).
D elka grafu spojit e diferencovateln e funkce f na intervalu [a;b] je c slo Lf, kter e pro
ka zd e rozd elen intervalu [a;b] spl nuje
sp1+(f0)2 Lf Sp1+(f0)2: (83)
V eta 9.4 (D elka grafu funkce).
Necht’ funkce f m a spojitou prvn derivaci na intervalu [a;b]. Potom d elka grafu funkce
Lf je
Lf =
bZ
a
p
1 + (f0(x))2 dx: (84)
D ukaz.
P redn a ska:
Odvozen vzorce pro d elku grafu funkce (tj. d ukaz V ety 9.3).
9.3 Objem rota cn ho t elesa
De nice 9.5 (Objem rota cn ho t elesa).
Objem rota cn ho t elesa, kter e vznikne rotac grafu spojit e diferencovateln e funkce f
na intervalu [a;b] je c slo Vf, kter e pro ka zd e rozd elen intervalu [a;b] spl nuje
sf2 Lf Sf2: (85)
23
V eta 9.6 (Objem rota cn ho t elesa).
Necht’ funkce f m a spojitou prvn derivaci na intervalu [a;b]. Potom objem rota cn ho
t elesa, kter e vznikne rotac grafu f okolo osy x je
Vf =
bZ
a
f2(x) dx: (86)
D ukaz.
P redn a ska:
Odvozen vzorce pro objem rota cn ho t elesa grafu funkce (tj. d ukaz V ety 9.6).
9.4 Povrch rota cn ho t elesa
De nice 9.7 (Povrch rota cn ho t elesa).
Povrch rota cn ho t elesa, kter e vznikne rotac grafu spojit e diferencovateln e funkce f
na intervalu [a;b] je c slo Sf, kter e pro ka zd e rozd elen intervalu [a;b] spl nuje
2 sfp1+(f0)2 Lf 2 Sfp1+(f0)2: (87)
V eta 9.8 (Povrch rota cn ho t elesa).
Necht’ funkce f m a spojitou prvn derivaci na intervalu [a;b]. Potom povrch rota cn ho
t elesa, kter e vznikne rotac grafu f okolo osy x je
Sf = 2
bZ
a
f(x)
p
1 + (f0(x))2 dx: (88)
D ukaz.
P redn a ska:
Odvozen vzorce pro povrch rota cn ho t elesa grafu funkce (tj. d ukaz V ety 9.8).
24