Lineární algebra

Vektorové prostory se skalárním součinem
Nechť V je vektorový prostor, je dáno zobrazení V x V R, které každé uspořádané dvojici vektorů kde
x,y e V přiřazuje reálné číslo, které označíme [x,z] že pro každé x,y,z e V a pro každé  e R platí
[x,y] = [y,x][x + y,z] = [x,z] + [y,z][x,y] = [x,y][x,x] ( 0, [x,x] = 0 ( x = o
Potom uvedené zobrazení nazýváme skalárním součinem (definovaným) na prostoru V, číslo [x,y] je skalární součin vektorů x,y. Vektorovému prostoru pak říkáme vektorový prostor se skalárním součinem.
Jestliže [x,y] = 0 jsou vektory ortogonální ….na sebe kolmé
Ortogonální a ortonormální báze
Nechť ( = (u1 …..uk( je skupina vektorů z vektorového prostoru V se skalárním součinem. Jestliže pro každé i(j , i, j e {1,….,k}, platí ui ( uj potom ( nazýváme ortogonální skupinou
Ortogonální skupina (, která je bází ve V, nazýváme ortogonální bází prostoru V
Nechť skupina vektorů ( = (u1 …..uk( je ortogonální, potom ( je lineárně nezávislá skupina.
Nechť skupina vektorů ( = (u1 …..uk( je ortogonální a nechť každý vektor skupiny ( je jednotkový. Potom ( nazýváme ortonormální skupinou vektorů. Ortonormální skupinu (, která je bází ve V nazýváme ortonormální bází prostoru V
Ortonormalizační Schmidtův proces
Každý netriviální vektorový prostor se skalárním součinem má ortonormální ( a tím spíše ortogonální) bázi.
Ortogonalizační proces – vektory nemusíme skracovat jejich normou.
sestrojíme jednotkový vektor
e1 = u1 / (( u1 ((
hledáme vektor
e2* = u2 + (e1 (e2* ( e1) ( = - [u2, e1]e2 = e2* / (( e2* ((
další kroky – hledáme vektory
e3* = u3 + (e1 + (e2(e3* ( e1) (e3* ( e2)
( = - [u3, e1]( = - [u3, e2]e3 = e3* / (( e3* ((
ortonormální báze pak je ( =
Ortonormální matice
Lineární operátor A: Rn ( Rn je ortoonormální právě tehdy, když když zachovává normu každého vektoru z Rn a úhel každých dvou nenulových vektorů x,y e Rn
Čtvercová matice je ortonormální právě tehdy, když platí ATA = E
Nechť A je čtvercová ,matice. Potom nasledující tvrzení jsou ekvivalentní
ATA = E tedy A je ortonormální matice, tj skupina sloupců matice je ortonormální
AAT = E tedy A je ortonormální matice, tj skupina řádků matice je ortonormální
AT = A-1
Je-li matice ortonormální, potom det A = 1 nebo det A = -1
Ortogonální doplňky
Nechť V je vektorový prosto se skalárním součinem, nechť u e V. Potom tyto vl vekt u jsou navz ekvivalent
u = ou ( V u ( u
Nechť W je vektorový podprostor vekt prostoru V se skal součinem. Potom WT je vekt podprostor prostoru V
Nechť V je netriviální vektorový prostor konečné dimenze n se skal součinem. Nechť W (( V, platí
V = W ( W(W(( = W
Př.: nechť podprost W (( R4 je generován skupinou u1 a u2 , najděme ortog báze prostorů W a W( a projekci vektoru u=(1,1,1,1) do W – to nevim
Pomocí ortogonal schmidt proceed najdeme z u1 a u