Lineární algebra

pro x e X, x ( o, ( e R platí, že A(x) = (x potom ( nazýváme vlastním číslem a x vlastním vektorem (příslušejícím vlastnímu číslo ( ) lineárního operátoru A.
Det ((E – A) = 0



Podobnost matic
O dvou čtvercových maticích A, A* téhož typu (n,n) řekneme že jsou (v uvedeném pořadí) podobné a napíšeme A A*, jestliže existuje regulární matice P typu (n,n) taková, že platí
A* = P-1 A P

Spočítáme (1, (2 až nevím kolik sestavíme z nich matici ( kde na diagonále je (1, (2 ……
(1, (2 dosadíme do matice ((E – A) a spočítáme vlastní vektory x1, x2, …. . Z nich sestavíme matici A

Interpolační aproximace pomocí polynomů
Nechť pro spojitou fci f(x) na intervalu jsou zadány funkční hodnoty , případně hodnoty některých derivací v bodech x0, x1,……, xn e , které nazýváme uzly interpolace, předmětem je nalezení interpolačního polynomu nejvýše n-tého stupně Fn(x) = c0 + c1x + c2x2 + ,….., + cnxn , který má v uzlech s interpolovanou fcí shodné funkční hodnoty, případně některé derivace
Lagrange a Newtonův interpolační polynom
Slouží k určení obecného polynomu podle zadaných uzlových bodů
Nevillův algoritmus
Nepotřebujeme znát koeficienty interpolačního polynomu ale hledáme jenom hodnotu Ln(x) x = x hodnotu Ln(x) lze spočítat přímo ze vstupních dat pomocí rekurence

Přesnost a konvergence interpolační aproximace
Jestliže existuje konstanta Mn+1 taková že (f(n+1)(x)(( Mn+1 pro x e , potom pro všechna x e , je
(R(x)(( (Mn+1 / (n + 1)! ) max ((n(x)(
Interpolace spline funkcemi
Interpolační funkce k f(x) na je po částech polynomiální funkce. Tento druh interpolace se realizuje pomocí kubických spline funkcí
Nechť interval je rozdělen na body x0, x1, x2, … ,xn tak že a = x0 ( x1 ( x2 ….. ( xn = b
Kubickou spline funkcí nazveme každou funkci, pro kterou platí
S(x) e C2 tzn ze S(x) je spojitá na intervalu spolu se svojí první a druhou derivací
S(x) je na každém subintervalu , i = 1, 2, 3, …. ,n vyjádřena polynomem 3.stupně

S(x) = a + bx +cx2 + dx3

Konvergence spline interpolace
Nechť f(x) e Cq m q = 0, 1, 2, 3, 4 a nechť interval V je rozdělen na subintervaly délky hi, i = 1,2,…,n
kde mex hi = h . Zaveďme ještě kons K ,pro kterou platí K ( max hi / min hi je li S(x) interpolační spline funkce splňující okrajové odmínky pak pro všechna x e a p = 1, 2, 3 platí

(f(p)(x) – S(p)(x)(( CK hq-p kde C kostanta která nezávisí ani na x ani na způsobu dělení int
rychlost konvergence s-fce nebo jejích derivací je tím větší, čím má fce f(x) vyšší stupeň hladkosti

Aproximacce metodou nejmenších čtverců
Polynom n-tého stupně se nazývá polynomem nejlepší aproximace. Aproximace MNČ vyrovnává vliv náhodných chyb v danných měřených veličinách.
Polynom nejlepší aproximace mnohem lépe nahrazuje reálnou funkci f(x) – interpolační polynom

xxx 9. Lineární algebra