Lineární algebra

2 bázi e1 a e2 a doplníme ji na e1, e2, e3, e4 a to tak že budeme požadovat aby e3 byl takový e3 ( e1 a e3 ( e2 a pak aby e4 byl takový e4 ( e1 , e4 ( e2 a e4 ( e3
Ortogonální bází prostoru W( je třeba skupina
Grammova matice
Matice typu [u1,u1]…….[u1,um]
[um,u1]……[um,um] je navývána grammova matice
skupina vektorů z aritm vektorového prostoru Rn je lin nezávislá právě tehdy když det grammovy matice ( 0
Def a zákl vlastnosti lineárních operátorů
Nechť X a Y jsou dva vekt prostory A: X ( Y nazveme lineárním operátorem ( vektorového prostoru X do vektorového prostoru Y) jestliže pro každé dva vekt u, v e X a pro každé ( e R platí:
A(u + v) = A(u) + A(v)A((u) = (A(u)
Nechť A: X ( Y je lineární operátor, platí
obrazem nulového vektoru ox e X je nulový vektor oy e Y
obrazem opačného vektoru k lib vektoru u e X je opačný vektor k vektoru A(u)
obraz lib vekt podprostoru prostoru X je vekt podprostor prostoru Y
úplný vzor lib vekt podprostoru prostoru Y je vekt podprostor prostoru X
Ker a Im
Nechť A: X ( Y je lineární operátor. Potom Ker A (( X a Im A (( Y
d(A) = dim (Ker A)h(A) = dim (Im A)
dim X = d(A) + h(A)
dim Ker (kernell) – udává kolik musíme sestrojit lineárně nezávislých vektorů
dim Im (image) - ukazuje jaký je obraz Rn podle toho volíme bázi vektorů třeba R2 ( (0,1) a (1,0)
Izomorfismus
Lin operátor A: X ( Y je prostým zobrazením právě tehdy když
Ker A = {0}Im A = Y
Nechť A: X ( Y je izomorfismus. Potom existuje inverzní zobrazení A-1:Y( X a toto zobrazení ja také izo
Maticová reprezentace lineárních operátorů
Př.: A(x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 – x3 + x4, 2x1 + x3 + 3x4, x1 + 6x2 – 4x3)
A(x1) = 121A=12-11
A(x1) = 2062013
A(x1) = -11-416-40
A(x1) = 130
A . xT = yT pomocí matice vypočtěte A(1, 0, -1, 2)
12-1114
201307
16-40-15A(1, 0, -1, 2) = (4, 7, 5)
2
Lineární operátory ve vektorovém prostoru X
Matice přechodu
x1 =p11,……,p1n x1*
xn =pn1,……,pnn xn*
maticová rovnice transformace (afinních) souřadnic (vektoru)
Nechť X, Y jsou dva vektorové prostory, U a U* dvě báze vekt prostoru X a V a V* dvě báze vekt prost Y
Nechť maticovou rovnicí
(x(TU = P(x(TU*(y(TV = Q(y(TV*
kde P, resp Q je matice přechodu ob báze U* k bázi U, resp od báze V* k bázi V. Touto rovnicí je popsána transformace souřadnic v X resp v Y. Nechť A e L(X,Y), potom platí
AU*V* = Q-1 AUV P

Automorfismus v X – je to izomorfismus X ( X
Př.:U* = ((1, 3, 0), (-2, 0, 1), (1, 1, 1)( U = ((3, 0, 2), (-1, -1, 0), (0, 2, 1)(
u1* = a11u1 + a12u2 + a13u3
u2* = a21u1 + a22u2 + a23u3
u3* = a31u1 + a32u2 + a33u3
U* = A.UU = A.U*
Napište matici A lin operátoru A v R2 v kanon bázi víteli že A(3,1) = (5,-2), A(-1,2) = (3,3)
5a11 a1233a11 a12-1
-2a21 a2213a21 a22 2
Vlastní čísla v vlastní vektory lin. operátoru v X
Jestliže