Vybrané příklady ze skript ke zkoušce 2006-2008

p5)=2i[h(3 +p5)=2;+1)
674. g(x) = (sin x)2; h(x) = sin x2 675. g(x) = ln (5x2 + 3); h(x) = 5 ln2(x+ 1) + 2
678. g(x) = sin2(2x+ 1) + 5 sin(2x+ 1); h(x) = sin(2x2 + 10x+ 1)
679. g(x) = cos(x+ 3); h(x) = cos;x+ 2
687. lich a 694. lich a 695. sud a 698. ano, 2 704. ne 707. ano, 2
supremum in mum maximum minimum shora zdola omez.
omez. omez.
709. 1 1 1 1 ano ano ano
718. =2 =2 =2 =2 ano ano ano
723. +1 0 neexistuje 0 ne ano ne
727. +1 2 neexistuje 2 ne ano ne
733. +1 1 neexistuje neexistuje ne ne ne
734. +1 1 neexistuje neexistuje ne ne ne
III.3. Limita a spojitost funkce
767. L = 0, nap r. a = 100 768. L = 0, nap r. a = ln 10 791. 14
792. 35 796. 4 797. 0 807. 12 816. 0 837. 53
839. 1 840. 1 859. 3 863. 0 864. =2 865. =2
866. +1 869. 0 882. 1 887. e6 891. 12 902. +1
904. 0 909. 1 921. limita zleva ( 1) je r uzn a od limity zprava (+1)
924. zvol me-li nap r klad xn = =2 + n, je xn ! +1, ale limn!+1 sin xn neexistuje, proto ze
sin xn = ( 1)n
926. limita zleva ( 1) je r uzn a od limity zprava (+1)
929. ( 1; 1); ( 1;+1) 931. ( 1; 1); ( 1;+1) 932. ( 1;1); (1;2); (2;+1)
937. ( 1;0); (0;+1) 939. (0;1); (1;+1) 943. ( 1;0); (0;+1)
14
III.4. Derivace funkce a jej geometrick y i fyzik aln v yznam
960. 5x+ 7, x2( 1;+1) 968. 4x 12p2x2 x+ 5, x2( 1;+1)
972. px 1 + x+ 6px 1, x2(1;+1) 976. x
2 10x+ 3
(x+ 5)2 , x2( 1; 5)[( 5;+1)
979. 1p5 x + x+ 22 (5 x)3=2 , x2( 1;5)
980. x(x+ 1)px2 + 1
px2 + 1
(x+ 1)2 , x2( 1; 1)[( 1;+1)
990. 3 cos (3x), x2( 1;+1) 991. sin x2 2x, x2( 1;+1)
993. 3 cos2(3x2 + 2x 1) sin x2 + 2x 1) (6x+ 2), x2( 1;+1)
999. cos (x2 + 2x+ 2) (2x+ 2), x2( 1;+1)
1001. 2x tgx+ x
2
cos2x, x2( =2 +k ;+ =2 +k ), k cel e
1003. 1 + cos x2p1 +x+ sin x, x2(x0;+1), kde x0 je re sen rovnice 1 +x+ sin x = 0
1008. 12p x(x+ 1), x2( 1;0) 1009. 12px(x+ 1), x2(0;+1)
1016. 12px(1 +x2), x2( 1;0)[(0;+1) 1017. 2 e2x, x2( 1;+1)
1018. (10x 2) e5x2 2x+1, x2( 1;+1) 1020. 12 ex=2, x2( 1;+1)
1021. 10 (e5x + 1) e5x, x2( 1;+1) 1027. 2x+ 3x2 + 3x+ 4, x2( 1;+1)
1028. 1p1 +x2 , x2( 1;+1) 1047. 7
p49x2 + 1 + 49x
(7x+p49x2 + 1)p49x2 + 1, x2( 1;+1)
1049. 2 e2x (x2 + 1)2 + 4xe2x (x2 + 1), x2( 1;+1)
1051. 2 sgnx1 +x2 , x2( 1;0)[(0;+1)
1055. f0(x) = sgnx, x6= 0 1056. f0(x) = 1=x, x6= 0
1057. f0(x) = 2x sgnx, x2( 1;+1) 1058. f0+(0) = 1; f0 (0) = 1
1062. f0+(4) = 4; f0 (4) = 4 1066. (1 +x2) 3=2, x2( 1;+1)
1068. 2 cos xsin3x , x6= k , k cel e 1071. 4 (x 1) 3, x6= 1
1109. y 1 = 0; x = 0 1110. y = (x ); y = (x )= 1118. [ 2; 4 ] 1119. [ 12; 174 ]
1125. te cna existuje pro x> 0, te cna rovnob e zn a s osou x je v bod [p2; f(p2) ],
rovnice te cny v bod e [p5; f(p5) ] je y ln (3=p5) = (x p5)=(6p5)
III.5. U zit derivace, pr ub eh funkce
1144. f je rostouc na ( 1; 3i a na h2;+1), klesaj c na h 3;2i
1145. f je rostouc na ( 1; p3i a na hp3;+1), klesaj c na h p3; 1); ( 1;1); (1;p3i
1146. f je rostouc na ( 1; 2i a na h0;+1), klesaj c na h 2;0i
1148. f je rostouc na h 1;1i, klesaj c na ( 1; 1i a na h1;+1)
1151. f je klesaj c na ( 1; 1i a na h1;+1), rostouc na h 1;1i
1156. f je rostouc na h 1;0) a na h1;+1), klesaj c na ( 1; 1i a na (0;1i
1160. D(f) = ( 1; 1)[( 1;1)[(1;+1), limx! 1 f(x) = 0; limx! 1 f(x) = +1
limx! 1+ f(x) = 1; limx!1 f(x) = 1; limx!1+ f(x) = +1; limx!+1 f(x) = +1
f je rostouc na ( 1; 1), ( 1;1 p2i a na h1 +p2;+1),
klesaj c na h1 p2;1) a na (1;1 +p2i
15
1161. D(f) = (0;+1), limx!0+ f(x) = 0; limx!+1 f(x) = 1
f je rostouc na (0;ei, klesaj c na he;+1)
1164. maxI f = f( 2) = f(2) = 13; minI f = f( 1) = f(1) = 4
1169. maxI f = f( 1) = 3; minI f = f(1) = 1
1174. maxI f = f(4) = 4; minI f = f(2) = 4
1175. maxI f = f(2) = 1; minI f = f(1) = 1
1177. maxI f = f(1) = 4; minI f = f(0) = 0
1179. maxI f neexistuje, minI f = f(6) = 23 ln 6
1204. absolutn minimum y = 2 2 ln 2 v bod e x = 2
1209. absolutn maximum y = 1=e v bod e x = e
1211. lok aln minimum y = 2 v bod e x = 1, lok aln maximum y = 2 v bod e x = 1
1212. lok aln minimum y = 2 v bod e x = 1, lok aln maximum y = 2 v bod e x = 1
1217. absolutn minimum y = 13 v bod e x = 1, absolutn maximum y = 3 v bod e x = 1
1218. absolutn minimum y = 1 v bod e x = 1
1241. D(f) = ( 1;+1), limx! 1 f(x) = 0, limx!+1 f(x) = +1, f nem a lok aln extr emy
1255. konk avn na ( 1; 2i a na h0;2i, konvexn na h 2;0i a na h2;+1), in exn body 2; 0; 2
1256. konk avn na ( 1; p3i a na h0;p3i, konvexn na h p3;0i a na hp3;+1), in exn body
p3; 0; p3
1259. konvexn na ( 1;+1)
1260. konvexn na h 1;1i, konk avn na ( 1; 1i a na h1;+1), in exn body 1
1262. konvexn na ( 1; 2), konk avn na (1;+1)
1264. konvexn na ( 1;+1)
1267. sikm a asymptota y = x (pro x! 1 i pro x!+1), svisl e asymptoty x = 2, x = 2
1268. sikm a asymptota y = 2x (pro x! 1 i pro x!+1), svisl a asymptota x = 2
1270. sikm e asymptoty y = 2x =2 (pro x! 1) a y = 2x+ =2 (pro x!+1)
1272. sikm a asymptota y = 2 (pro x! 1 i pro x!+1), svisl a asymptota x = 2
1274. sikm a asymptota y = x (pro x! 1 i pro x!+1), svisl a asymptota x = 0
1275. sikm a asymptota y = x (pro x!+1), svisl a asymptota x = 0
1277. D(f) = ( 1; 2)[( 2;2)[(2;+1), f je spojit a na ( 1; 2); ( 2;2) a na (2;+1),
f je sud a,
limx! 1f(x) = 0, limx! 2 f(x) = 1, limx! 2+f(x) = +1,
limx!+2 f(x) = +1, limx!+2+f(x) = 1, limx!+1f(x) = 0,
f0(x) = 2x(4 x2)2 pro x2D(f),
f je klesaj c na ( 1; 2) a na ( 2;0i, rostouc na h0;2) a na (2;+1),
f m a lok aln minimum y0 = 14 v bod e x0 = 0,
f00(x) = 8 + 6x
2
(4 x2)3 pro x2D(f),
f je konk avn na ( 1; 2) a na (2;+1), konvexn na 2;2),
f m a asymptotu y = 0 pro x! 1 a pro x!+1 a svisl e asymptoty x = 2 a x = 2.
1278. D(f) = ( 1;+1), f je spojit a na ( 1;+1),
limx! 1f(x) = +1, limx!+1f(x) = 1,
f0(x) = 32 3px 1 pro x2( 1;0)[(0;+1),
f je klesaj c na ( 1;0i a na h 827;+1), rostouc na h0; 827i,
f m a lok aln minimum y = 0 v bod e x = 0 a lok aln maximum y = 427 v bod e x = 827,
16
f00(x) = 29 3px4 pro x2( 1;0)[(0;+1),
f je konk avn na ( 1;0i a na h0;+1), f nem a asymptoty
1279. D(f) = ( 1;+1), f je spojit a na ( 1;+1), limx! 1f(x) = limx!+1f(x) = 0,
f0(x) = 2xe x2 pro x2D(f), f je rostouc na ( 1;0i a klesaj c na h0;+1),
f m a absolutn maximum y = 1 v bod e x = 0,
f00(x) = ( 2 + 4x2) e x2 pro x2D(f),
f je konvexn na ( 1; p2=2i a na hp2=2;+1), konk avn na h p2=2;p2=2i,
f m a asymptotu y = 0 pro x! 1 a pro x!+1
1281. D(f) = ( 1;+1), f je spojit a na ( 1;+1), sud a,
limx! 1f(x) = limx!+1f(x) = 1, f0(x) = 2x 2x3 pro x2D(f),
f je rostouc na ( 1; 1i a na h0;1i, klesaj c na h 1;0i a na h1;+1),
f m a absolutn maximum y = 1:5 v bodech x = 1, lok aln minimum y = 1 v bod e x = 0,
graf prot n a osu x v bodech
p
1 +p3,
f00(x) = 2 6x2 pro x2D(f), f je konk avn na ( 1; p3=3i a na hp3=3;+1),
konvexn na h p3=3;p3=3i, f nem a asymptoty
1282. D(f) = ( 1;+1), f je spojit a na ( 1;+1), sud a,
limx! 1f(x) = limx!+1f(x) = +1, f0(x) = 4x3 4x pro x2D(f),
f je klesaj c na ( 1; 1i a na h0;1i, rostouc na h 1;0i a na h1;+1),
f m a absolutn minimum y = 1 v bodech x = 1, lok aln maximum y = 0 v bod e x = 0,
graf prot n a osu x v bodech p2 a dot yk a se j v bod e x = 0,
f00(x) = 12x2 4 pro x2D(f), f je konvexn na ( 1; p3=3i a na hp3=3;+1),
konk avn na h p3=3;p3=3i, f nem a asymptoty
1292. D(f) = ( 1;0)[(0;+1), f je spojit a na ( 1;0) a na (0;+1),
limx! 1f(x) = 1; limx!0 f(x) = 0; limx!0+f(x) = +1; limx!+1f(x) = +1,
f0(x) = e1=x (x 2)(x+ 1)x2 pro x2( 1;0)[(0;+1),
f je rostouc na ( 1; 1i a na h2;+1), klesaj c na h 1;0) a na (0;2i,
f m a lok aln maximum y = e 1 v bod e x = 1, lok aln minimum y = 4pe v bod e x = 2
f00(x) = e1=x 5x+ 2x4 pro x2( 1;0)[(0;+1),
f je konk avn na ( 1; 25i, konvexn na h 25;0) a na (0;+1),
f m a svislou asymptotu x = 0 a sikmou asymptotu y = x+ 3 pro x! 1 a pro x!+1
1293. D(f) =h0;+1), f je spojit a na h0;+1), f(0) = 0, limx!+1f(x) = +1,
f0(x) = 3 (x 1)2px pro x2(0;+1), f je rostouc na h1;+1), klesaj c na h0;1i,
f m a absolutn minimum y = 2 v bod e x = 1,
f00(x) = 3 (x+ 1)4xpx pro x2(0;+1), f je konvexn na h0;+1), f nem a asymptoty
1295. D(f) = ( 1;+1), f je spojit a na ( 1;+1), limx! 1 f(x) = 1; limx!+1 f(x) = 1,
f0(x) = 1 + 2x(x2 + 1)px2 + 1 pro x2( 1;+1),
f je rostouc na h 0:5;+1), klesaj c na ( 1; 0:5i,
f m a absolutn minimum y = 5=p5 v bod e x = 0:5,
f00(x) = 4x
2 + 3x 2
(x2 + 1)5=2 pro x2( 1;+1),
f je konk avn na ( 1; (3 +p41)=8i a na h( 3 +p41)=8;+1),
konvexn na h (3 +p41)=8;( 3 +p41)=8i,
f m a asymptotu y = 1 pro x! 1 a y = 1 pro x!+1
17
1308. D(f) = ( 1;+1), f je spojit a na ( 1;+1),
limx! 1 f(x) = limx!+1 f(x) = 0,
f0(x) = e2x x2 2 (1 x) pro x2( 1;+1),
f je rostouc na ( 1;1i, klesaj c na h1;+1),
f m a absolutn maximum y = e v bod e x = 1,
f00(x) = 2 e2x x2 (2x2 4x+ 1) pro x2( 1;+1),
f je konk avn na h1 p2=2;1 +p2=2i, konvexn na ( 1;1 p2=2i, h1 +p2=2;+1),
f m a asymptotu y = 0 pro x! 1 a pro x!+1
1317. D(f) = ( 1;+1), f je spojit a na ( 1;+1), limx! 1f(x) = limx!+1f(x) = ,
f0(x) = 2 sgnx(1 +x2)2 pro x2( 1;0)[(0;+1),
f je klesaj c na ( 1;0i, rostouc na h0;+1),
f m a absolutn minimum y = 0 v bod e x = 0,
f00(x) = 4xsgnx(1 +x2)2 pro x2( 1;0)[(0;+1),
f je konk avn na ( 1;0i, konvexn na h0;+1),
f m a asymptotu y = pro x! 1 a pro x!+1
1319. D(f) = ( 2;2), f je spojit a na ( 1;1), sud a, limx! 2+ f(x) = limx!+2 f(x) = 1,
f0(x) = 2x4 x2 pro x2( 2;2),
f je rostouc na ( 2;0i), klesaj c na h0;2),
f m a absolutn maximum y = ln 4 v bod e x = 0,
f00(x) = 8(4 x2)2 pro x2( 2;2),
f je konk avn na ( 2;2), f m a svisl e asymptoty x = 2 a x = 2
1321. D(f) = ( 1;+1), f je spojit a na ( 1;+1), lich a, limx! 1f(x) = 1,
limx!+1f(x) = +1; f0(x) = x
2
1 +x2 pro x2( 1;+1), f je rostouc na ( 1;+1),
f00(x) = 2x(1 +x2)2 pro x2( 1;+1),
f je konk avn na ( 1;0i, konvexn na h0;+1),
f m a asymptotu y = x+ =2 pro x! 1 a y = x pro x!+1
III.6. Taylorova v eta
1330. T5(x) = 1 + x1 ! +:::+ x
5
5 !; R6(x) =
e x6
6 !
1331. T5(x) = e + e1 ! (x 1) +:::+ e5 ! (x 1)5; R6(x) = e

6 ! (x 1)
6
1333. T4(x) = 1 + 3x+ (3x)
2
2 ! +
(3x)3
3 ! +
(3x)4
4 ! ; R5x =
(ln 2)5
5 ! 2
x5
1337. T7(x) = x x
3
3 ! +
x5
5 !
x7
7 !; R8(x) =
sin
8 ! x
8
1346. T7(x) = x x
2
2 +
x3
3
x4
4 +
x5
5
x6
6 +
x7
7 ; R8(x) =
x8
8 ( + 1)
8
1351. T4(x) = 1 + 12 (x 1) 18 (x 1)2 + 116 (x 1)3 5128 (x 1)4, R5(x) = 7256 9=2(x 1)5
1352. T3(x) =p3 + x2p3 x
2
24p3 +
x3
144p3; R4(x) =
5x4
128 ( + 3)7=2
1354. T4(x) = 1 (x 1) + (x 1)2 (x 1)3 + (x 1)4; R5(x) = (x 1)5= 6
1362. 1e _=

1 +x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! +
x6
6!


x= 1
= 265720 = 0:3681
18
1363. cos 5o _=

1 x
2
2!


x= =36
= 1
2
2592 = 0:9961923
1365. ln 1:2 = ln (1 +x)jx=0:2 _=

x x
2
2 +
x3
3


x=0:2
= 0:1826
1376. T2(x) = 1 + 13 x 19 x2, jf(12) T2(12)j 581
IV.1. Tabulkov e integr aly, z akladn vlastnosti neur cit ych integr al u
1448. 38x8 +C; x2( 1;+1) 1450. 27x 9x3 + 95x5 17x7 +C 1452. 34x 3px+C
1454. x 1 +C 1455. px+C; x2h0;+1) 1458. u u2 +C 1459. 25x2px+x+C
1460. 10x 0;2 + 15x0;2 3;62x1;38 +C; x2(0;+1) 1461. x 2 lnjxj x 1 +C
1464. 67 6px7 43 4px3 +C; x2h0;+1) 1467. 3 lnjxj 9x 272x2 +C 1468. 10
x
ln 10 +C
1470. 3x 2(1;5)
x
ln 1;5 +C 1473. 0:5 (tgx+x) +C; x2((2k 1)

2;(2k + 1)

2 ); k je cel e c slo
1474. C cotgx tgx 1475. x sinx+C
IV.2. Integrace metodou per{partes
1481. ex(x 1) +C 1482. 14x2(2 lnx 1) +C; x2(0;+1) 1483. sinx xcosx+C
1484. 12 [(x2 + 1)arctgx x] +C 1485. xsinx+ cosx+C 1486. ex(x2 2x+ 2) +C
1489. x
n+1
n+ 1(lnx
1
n+ 1) +C; x2(0;+1) 1494. xarctgx ln
p
1 +x2 +C
1502. tarcsin2t+ 2
p
1 t2arcsint 2t+C, t2h 1;1i 1504. 12 (ex sinx ex cosx) +C
1506. e
7x(7 cos 5x+ 5 sin 5x)
74 +C; p ri integraci volte u = e
7x 1510. ex(x2 5x+ 7) +C
IV.3. Substitu cn metoda v ypo ctu neur cit ych integr al u
1514. ln

1
1 x

+C 1515. ln(2 +e2x)
2 +C 1516. lnjsinxj+C; x2(k ;(k+1) ); k je cel e c slo
1518. 2
p
1 +x2 +C 1519. (x+ 1)
16
16 +C 1532. 3
3psinx+C 1533. C 2
5 cos
5x
1534. 23
p
ln3x+C; x2h1;+1) 1542. C 12 sin(1 2x) 1546. ln(x2 3x+ 8) +C
1555. C 13e x3 1572. 12 x 12 lnj2x+ 1j +C; x2( 1; 12); x2( 12;+1)
1579. C 14x4 13x3 12x2 x lnj1 xj; x2( 1;1); x2(1;+1) 1580. x
3
3 x+arctgx+C
1594. 65 [ 6px5 + 2 12px5 + 2 lnj12px5 1j] +C; x2(0;1); x2(1;+1)
1615. xarcsinxp1 x2 + 12 lnj1 x2j+C; x2( 1;1) 1620. e cosx +C
1625. 23 ln(1 +x32 ) +C; x2h0;+1) 1628. 2
p
1 +x2 + 3 ln(x+
p
1 +x2) +C
1666. tgx ln(cosx) + tgx x+C; x2( 2 + 2k ; 2 + 2k ); k je cel e c slo
1688. C 12e x2(x4 + 2x2 + 2)
IV.4. Integrace racion aln ch funkc
1720. 83 lnj3x 1j+C; x2( 1; 13); x2(13;+1) 1722. x
3
3 + 2x+
p2 ln
x
p2
x+p2


+C
19
1724. 12(x 3)2 +C; x2( 1;3); x2(3;+1) 1731. ln (u+ 1)
2
juj +C
1733. 13 lnjx 6j2 3 lnjx 2j2 +C
1734. x+ 16 lnjx 4j3 lnjx 1j3 +C; x2( 1;1); x2(1;4); x2(4;+1)
1739. x
2
2 3x+ ln
(x+ 2)8
jx+ 1j +C; x2( 1; 2); x2( 2; 1); x2( 1;+1)
1748. 18 ln (x+ 3)
6
j(x+ 5)5(x+ 1)j +C; x2( 1; 5) x2( 5; 3); x2( 3; 1); x2( 1;+1)
1749. 3x 2 + ln (x 2)
2
x2 +C
1751. 3 arctgx+ ln(x2 + 1) 2 lnjxj+C; x2( 1;0); x2(0;+1)
1754. ln jxjpx2 + 1 +C; x2( 1;0); x2(0;+1) 1755. 2
p3
3 arctg
p3
3 (2x 1) +C
1761. 32 ln(x2 x+ 1) +
p3
3 arctg
p3
3 (2x 1) +C
1793. 4x+ 2 + lnjx+ 1j+C; x2( 1; 2); x2( 2; 1); x2( 1;+1)
1798. ln
p(x2 2x+ 5)3
jx 1j +
1
2arctg
x 1
2 +C; x2( 1;1); x2(1;+1)
IV.5. Integrace goniometrick ych funkc a jejich mocnin
1814. cos
7x
7
3 cos5x
5 + cos
3x cosx+C 1815. cos3x
3 cosx+C
1822. cos
8x
8
cos6x
6 +C 1823.
cos6x
6 +C 1828.
2x sin 2x
4 +C 1832.
x
8
sin 4x
32 +C
1833. 3x8 sin 10x20 + sin 20x160 +C
1858. 23arctg5 tg(x=2) + 43 +C; x2( + 2k ; + 2k ), k je cel e c slo
1864. ln
r
tgx
2

14 cotg2x2 +C; x2(k ;(k + 1) ), k je cel e c slo
1865. x2 ln
p
jsin x+ cos xj+C; x2( 4 +k ; 3 4 +k ), k je cel e c slo
1871. sin 5x10 + sin x2 +C 1873. cos 6x12 cos 2x4 +C
IV.6. Integr aly typu
Z
R

x; S
rax+b
cx+d
!
dx
1892. 43 4px3 4 4px+ 4arctg 4px+C; x2h0;+1)
1895. 227 x2 4px 213 x 12px+C; x2(0;+1)
1896. ln


p1 x+p1 +x
p1 x p1 +x


p1 x2
x +C; x2( 1;0); x2(0;1i
1898.
p
3x2 7x 6 + 112p3 ln(x 76 +
q
x2 73x 2) +C
1899. x+ 2 2px+ 2 + ln 3
s
(2 +px+ 2)8
(px+ 2 1)2 +C; x2( 2; 1); x2( 1;+1)
20