Vybrané příklady ze skript ke zkoušce 2006-2008

am
Vypo c tejte derivace n asleduj c ch funkc . Ur cete tak e, pro jak a x je derivace de novan a.
a) Polynomy, racion aln funkce, jejich mocniny a odmocniny.
960. y = 5x2 + 7x 2 968. y =
p
2x2 x+ 5 972. y = (x+ 6)px 1
976. y = x
2 + 3
x+ 5 979. y =
x+ 2p
5 x 980. y =
px2 + 1
x+ 1
b) Goniometrick e funkce a pomoc nich vytvo ren e slo zen e funkce.
990. y = sin (3x) 991. y = cos x2 993. y = sin2(6x)
999. y = sin (x2 + 2x+ 2) 1001. y = x2 tgx 1003. y =p1 +x+ sin x
c) Cyklometrick e funkce a pomoc nich vytvo ren e slo zen e funkce.
1008. y = arcsin px+ 1 1009. y = arccos
r x
x+ 1 1016. y = arctg
px
d) Exponenci aln a logaritmick e funkce a slo zen e funkce, kter e jsou z nich vytvo ren e.
1017. y = e2x 1018. y = e5x2 2x+1 1020. y =pex
1021. y = (e5x + 1)2 1027. y = ln (x2 + 3x+ 4) 1028. y = ln x+
p
1 +x2
e) R uzn e dal s funkce.
1047. y = ln 7x+
p
49x2 + 1 1049. y = e2x (x2 + 1)2 1051. y = arcsin 1 x
2
1 +x2
Najd ete derivaci dan e funkce f a nakreslete graf funkce f i jej derivace f0. (N avod: Uv edomte si, ze
jxj= x pro x> 0, jxj= x pro x< 0 a funkce jxj nem a derivaci v bod e x = 0.)
1055. f(x) =jxj 1056. f(x) = ln jxj 1057. f(x) = x jxj
Vypo c tejte f0+(x0) a f0 (x0). (N avod: Pokud existuje limita zprava limx!x0+ f0(x), m a funkce f v
bod e x0 derivaci zprava f+(x0) rovnou t eto limit e. Stejn e tvrzen plat o derivaci zleva. )
1058. f(x) =jxj; x0 = 0 1062. f(x) =j4x x2j; x0 = 4
Vypo c tejte druh e derivace n asleduj c ch funkc . Ur cete, pro jak a x je druh a derivace de novan a.
(N avod: f00 je rovno derivaci funkce f0, tj. derivaci prvn derivace funkce f. )
7
1066. y =
p
1 +x2 1068. y = cotgx 1071. y = 1 +x1 x
Napi ste rovnici te cny a norm aly ke grafu funkce f v bod e [x0;f(x0) ]. (N avod: Rovnice te cny:
y y0 = k (x x0), kde y0 = f(x0) a k = f0(x0). Rovnice norm aly: y y0 = (1=k) (x x0). )
1109. f(x) = e
x
x+ 1; x0 = 0 1110. f(x) = x sin x; x0 =
1118. Ve kter em bod e paraboly y = x2 + 4x je jej te cna rovnob e zn a s osou x? (N avod: Najd ete bod
x0 ve kter em je derivace funkce x2 + 4x rovna nule. Dopo c tejte y0 z rovnice paraboly. )
1119. Ve kter em bod e paraboly y = x2 2x+5 je jej te cna kolm a k ose prvn ho kvadrantu? (N avod:
Osou prvn ho kvadrantu je p r mka y = x, kter a m a sm ernici k1 = 1. Najd ete bod x0, ve kter em
m a funkce x2 2x+ 5 derivaci k2 = 1. Dopo c tejte y0 z rovnice paraboly. )
1125. Pro jak a x2D(f) existuje te cna ke grafu funkce f(x) = ln 1 +
px2 1
x v bod e [x;f(x) ] ?
Existuje te cna rovnob e zn a s osou x? Najd ete rovnici te cny v bod e [x0;f(x0) ] pro x0 =p5.
III.5. U zit derivace, pr ub eh funkce
Najd ete intervaly, ve kter ych je dan a funkce ryze monotnn . Ur cete tak e, je-li zde rostouc nebo
klesaj c . (N avod: O tom, kde je funkce rostouc nebo klesaj c , rozhodn ete podle znam enka prvn
derivace.)
1144. f(x) = 2x3 + 3x2 36x+ 4 1145. f(x) = x+ xx2 1 1146. f(x) = x2 ex
1148. f(x) = 3x x3 1151. f(x) = 2x1 +x2 1156. f(x) = x2 ln x2
Ur cete de ni cn obor funkce f, vypo c tejte jednostrann e limity v krajn ch bodech interval u tvo r c ch
de ni cn obor a ur cete intervaly, kde je funkce f rostouc nebo klesaj c . Na crtn ete graf funkce f.
1160. f(x) = e
x
x2 1 1161. f(x) = x
1=x
Rozhodn ete, zda funkce f m a na intervalu I maximum a minimum. V kladn em p r pad e najd ete
hodnotu t echto extr em u a zjist ete, ve kter ych bodech jich funkce f nab yv a.
1164. f(x) = x4 2x2 + 5; I =h 2;2i 1169. f(x) =p5 4x; I =h 1;1i
1174. f(x) = x2 + 16x 16; I =h1;4i 1175. f(x) = 4 x 4x2; I =h1;4i
1177. f(x) = x+ 3 3
p
x2; I =h 1;1i 1179. f(x) = 23 ln x 16 x2 +x; I = (0;6i
Najd ete lok aln i glob aln extr emy n asleduj c ch funkc (na jejich de ni cn ch oborech).
1204. y = x 2 ln x 1209. y = ln xx 1211. y = x+ 1x
1212. y = (4 x)
3
9 (2 x) 1217. y =
1 +x+x2
1 x+x2 1218. y = x+ 2
p x
1241. Je d ana funkce f(x) = (1 + x2)ex . Vy set rete jej de ni cn obor, vypo c tejte jednostrann e
limity v krajn ch bodech de ni cn ho oboru a vy set rete lok aln extr emy.
Vy set rete, na jak ych maxim aln ch intervalech jsou n asleduj c funkce konvexn a konk avn a ur cete
jejich in exn body. (N avod: O tom, kde je funkce konvexn nebo konk avn , rozhodn ete pomoc
znam enka druh e derivace.)
8
1255. y = 3x5 40x3 +x 2 1256. y = x1 +x2 1259. y =p1 +x2
1260. y = ln (1 +x2) 1262. y = ln x 1x+ 2 1264. y = x arctgx
Vy set rete, zda a jak e asymptoty maj n asleduj c funkce.
1267. y = x
3
4 x2 1268. y = 2x
1
x 2 1270. y = 2x+ arctg
x
2
1272. y = 1 2x2 +x 1274. y = x+ 1x 1275. y = x+ ln xx
Vy set rete pr ub eh n asleduj c ch funkc .
1277. y = 14 x2 1278. y = 3px2 x 1279. y = e x2
1281. y = 1 +x2 12 x4 1282. y = x4 2x2 1292. y = (x+ 2) e1=x
1293. y = (x 3)px 1295. y = x 2px2 + 1 1308. y = e2x x2
1317. y = arccos 1 x
2
1 +x2 1319. y = ln (4 x
2) 1321. y = x+ arccotgx
III.6. Taylorova v eta
Sestavte Taylor uv polynom n{t eho stupn e funkce f v bod e x0. Napi ste, jak lze vyj ad rit zbytek po
n{t em clenu.
1330. f(x) = ex; n = 5; x0 = 0 1331. f(x) = ex; n = 5; x0 = 1
1333. f(x) = e3x; n = 4; x0 = 0 1337. f(x) = sin x; n = 7; x0 = 0
1346. f(x) = ln (x+ 1); n = 7; x0 = 0 1351. f(x) =px; n = 4; x0 = 1
1352. f(x) =px+ 3; n = 3; x0 = 0 1354. f(x) = 1x; n = 4; x0 = 1
Vypo c tejte p ribli zn e s p resnost " (tj. s chybou nep revy suj c ") n asleduj c hodnoty. (N avod: M ame
vypo c tat p ribli zn e hodnotu funkce f v bod e x, kter y se nach az ,,bl zko" jin eho bodu x0, ve kter em je
hodnota f(x0) zn am a. Stanovte n tak velk e, aby zbytek Rn+1(x) byl men s nebo roven " na n ejak em
intervalu, obsahuj c m x. Pot e hodnotu f(x) vyj ad rete p ribli zn e Taylorov ym polynomem Tn(x).)
1362. 1=e; " = 10 3 1363. cos 5o; " = 10 3 1365. ln 1:2; " = 10 3
1376. Ur cete Taylor uv polynom T2 funkce f(x) = 3p1 +x v bod e x0 = 0. Pomoc Lagrangeova
tvaru zbytku odhadn ete shora v yraz jf(12) T2(12)j.
IV. NEUR CIT Y INTEGR AL
IV.1. Z akladn vlastnosti neur cit ych integr al u, tabulkov e integr aly
Pomoc tabulkov ych integr al u vypo c tejte:
1448.
Z
3x7 dx 1450.
Z
(3 x2)3 dx 1452.
Z
3pxdx
1454.
Z 1
x2 dx 1455.
Z 1
2px dx 1458.
Z
(1 2u) du
9
1459.
Z
(px+ 1)(x px+ 1) dx 1460.
Z
(2x 1;2 + 3x 0;8 5x0;38) dx
1461.
Z 1 x
x
2
dx 1464.
Z 3px2 4px
px dx 1467.
Z 33
x3 +
32
x2 +
3
x

dx
1468.
Z
10x dx 1470.
Z 3 2x 2 3x
2x dx 1473.
Z 1 + cos2x
1 + cos 2x dx
1474.
Z cos 2x
cos2x sin2x dx 1475.
Z
2 sin2 x2 dx
IV.2. Integrace metodou per{partes
Metodou per{partes vypo c tejte:
1481.
Z
xex dx 1482.
Z
x lnxdx 1483.
Z
x sinxdx
1484.
Z
xarctgxdx 1485.
Z
x cosxdx; 1486.
Z
x2ex dx
1489.
Z
xn lnxdx; n6= 1 1494.
Z
arctgxdx 1502.
Z
arcsin2tdt
1504.
Z
ex sinxdx 1506.
Z
e7x cos 5xdx 1510.
Z
(x2 3x+ 2) ex dx
IV.3. Substitu cn metoda v ypo ctu neur cit ych integr al u
U zit m substitu cn metody vypo c tejte n asleduj c integr aly:
1514.
Z 1
1 x dx 1515.
Z e2x
2 +e2x dx 1516.
Z
cotgxdx
1518.
Z 2x
px2 + 1 dx 1519.
Z
(1 +x)15 dx 1532.
Z cosx
3psin2x dx
1533.
Z
cos3x sin 2xdx 1534.
Z plnx
x dx 1542.
Z
cos(1 2x) dx
1546.
Z 2x 3
x2 3x+ 8 dx 1555.
Z
e x3 x2 dx 1572.
Z x
2x+ 1 dx
1579.
Z x4
1 x dx 1580.
Z x4
x2 + 1 dx 1594.
Z px
3px2 4px dx
1615.
Z arcsinx
p(1 x2)3 dx 1620.
Z sinx
ecosx dx 1625.
Z px
1 +x32 dx
1628.
Z 2x+ 3
p1 x2 dx 1666.
Z ln cosx
cos2x dx 1688.
Z
x5e x2 dx
IV.4. Integrace racion aln ch funkc
Vypo c tejte neur cit e integr aly:
1720.
Z 8
3x 1 dx 1722.
Z x4
x2 2 dx 1724.
Z 1
(x 1)3 dx
Pomoc rozkladu na parci aln zlomky vypo c tejte n asleduj c neur cit e integr aly:
10
1731.
Z u 1
u2 +u du 1733.
Z 5x 4
x2 8x+ 12 dx 1734.
Z x2
x2 5x+ 4 dx
1739.
Z x3
x2 + 3x+ 2 dx 1748.
Z x
(x+ 1)(x+ 3)(x+ 5) dx 1749.
Z x 8
x3 4x2 + 4x dx
1751.
Z 3x 2
x(x2 + 1) dx 1754.
Z 1
x(x2 + 1) dx 1755.
Z 1
x2 x+ 1 dx
1761.
Z 3x 1
x2 x+ 1 dx 1793.
Z x2
x3 + 5x2 + 8x+ 4 dx 1798.
Z 2x2 3x 3
(x 1)(x2 2x+ 5) dx
IV.5. Integrace goniometrick ych funkc a jejich mocnin
Vypo c tejte n asleduj c neur cit e integr aly goniometrick ych funkc .
1814.
Z
sin7xdx 1815.
Z
sin3xdx 1822.
Z
sin3x cos5xdx
1823.
Z
sinx cos5xdx 1828.
Z
sin2xdx 1832.
Z
sin2x cos2xdx
1833.
Z
sin4 5xdx 1858.
Z 1
5 + 4 sinx dx 1864.
Z 1 + cosx
sin3x dx
1865.
Z sinx
sinx+ cosx dx 1871.
Z
cos 2x cos 3xdx 1873.
Z
cos 2x sin 4xdx
IV.6. Integr aly typu
Z
R

x; S
rax+b
cx+d
!
dx:
Vypo c tejte neur cit e integr aly:
1892.
Z 4px
1 +px dx 1895.
Z (px3 3px)
6 4px dx 1896.
Z p1 x
p1 +x 1x2 dx
1898.
Z r2 + 3x
x 3 dx 1899.
Z x
x+px+ 2 dx
V YSLEDKY
I.1. Vektory, vektorov e prostory
2. a = (17;10;3) 8. x = ( 1;0;3;4) 15. 21 22. 63:4o
25. = 12; 3 42. LN, 2; u; v 43. LZ, 1; nap r. u 44. LN, 2; u; v
45. LZ, 1; nap r. u 50. LZ, 1; nap r. x 51. LZ, 2; nap r. x; y 53. LN, 3; x; y; z
68. pro v sechna ; dim = 2 pro = 1, dim = 3 pro 6= 1
69. k = 0; 3; 2; dim = 2 70. a = 2; 1; dim = 2
73. nap r. a = u + v, vyj ad ren nen jednozna cn e, b vyj ad rit nelze
79. ne, 2 85. ano 92. ne 93. ano 94. ano
11
I.2. Matice, determinanty
109.
21;5;3;11
10;19;5;2

110.
0
@
3;6;3
2;4;2
1;2;1
1
A 111.
0
B@
0
7
0
2
1
CA 112.
0
@
1;2
3;2
1;3
1
A 117.
15;20
20;35

124.
6;0
0;5

132.
0
@
10; 4; 7
6;14;4
5;5; 4
1
A 133.
0
@
4; 4;4
4; 1;0
2;4; 4
1
A 139. x = 14; y = 2 140. x = 4; y = 2
143. 3, regul arn 148. 2, singul arn 149. 3, singul arn 160.
1;1
1; 0:5

161.
0
@
1;0;0
3;1;0
9; 3;1
1
A
166. neexistuje 168.
0
@
1; 4; 3
1; 5; 3
1;6;4
1
A 170.
0
@
1; 2;7
0;1; 2
0;0;1
1
A 171.
0
B@
2; 1;0;0
3;2;0;0
31; 19;3; 4
23;14; 2;3
1
CA
174.
0
@
3;2;0
4;5; 2
5;3;0
1
A 175.
0:5;0:25
0;0:5

176.
5; 9
0:5;4:5

177.
8; 1
19;2

178. x6= y, x6= z, y6= z,
0
@
1:5;2; 0:5
0:5; 1;0:5
0:5;1; 0:5
1
A
180. cos 2x 185. 58 190. 2a2(a+x) 200. 3a b
I.4. Vlastn c sla a vlastn vektory ctvercov ych matic
235. 1 = 3; X1 =
1
1

; 2 = 1; X2 =
1
1

; ; 2C; ; 6= 0
236. 1 = 7; X1 =
1
1

; 2 = 2; X2 =
4
5

; ; 2C; ; 6= 0
237. 1 = ai; X1 =
1
i

; 2 = ai; X2 =
1
i

; ; 2C; ; 6= 0
238. = 2; X =
0
@
2
1
0
1
A+
0
@
1
0
1
1
A; ; 2C; j j+j j6= 0
241. 1 = 1; X1 =
0
@



1
A; 2 = 1; X =
0
@

0

1
A; ; ; 2C; j j+j j6= 0; 6= 0
243. 1 = 2; X1 =
0
@
0
0
1
1
A; 2 = 1; X2 =
0
@
3
6
20
1
A; ; 2C; ; 6= 0
244. = 1; X =
0
@
1
1
1
1
A; 2C; 6= 0 245. ne 246. ne
250. A: vl. c sla 1 = 3;
2 = 1;
, vl. vektory X1 =
p
p

; X2 =
q
q

, p; q2C; p; q6= 0
A 1 =
2=3; 1=3
1=3;2=3

, vl. c sla 1 = 1= 1 = 1=3;
2 = 1= 2 = 1;
, vl. vektory X1; X2
251. A: vl. c sla 1 = 7;
2 = 2;
vl. vektory X1 =
p
p

; X2 =
4q
5q

, p; q2C; p; q6= 0
A 1 =
2=14;4=14
5=14; 3=14

, vl. c sla 1 = 1= 1 = 1=7;
2 = 1= 2 = 1=2;
vl. vektory X1; X2
12
252. A: vl. c sla 1 = i
p5;
2 = ip5; vl. vektory X1 =
p
pi

; X2 =
q
qi

, p; q2C; p; q6= 0
A 1 =
0; 1=5
1=5;0

, vl. c sla 1 = 1= 1 = i=5;
2 = 1= 2 = i=5;
vl. vektory X1; X2
253. A: vl. c. 1 = 2;
2;3 = 1
p3; vl. vektory X1 =
0
@
2p
p
0
1
A; X2;3 =
0
@
3(2 p3)q
2(2 p3)q
q
1
A, p; q6= 0
A 1 =
0
@
1=2;0; 3=2
0;1=2;1=2
1=2;1; 1=2
1
A, vl. c sla 1 = 1= 1 = 1=2
2;3 = 1= 2;3 = 1=(1
p3);, vl. vektory X1; X2;3
255. A: vl. c sla 1 = 3;
2 = 1;
, vl. vektory X1 =
p
p

; X2 =
q
q

, p; q2C; p; q6= 0
A2 =
5;4
4;5

, vl. c sla 1 =
21 = 9;
2 = 22 = 1;, vl. vektory X1; X2
256. A: vl. c sla 1 = 1;
2 = 2;
, vl. vektory X1 =
p
3p

; X2 =
0
q

, p; q2C; p; q6= 0
A2 =
1;0
9;4

, vl. c sla 1 =
21 = 1;
2 = 22 = 4;, vl. vektory X1; X2
257. A: vl. c sla 1 = 2i;
2 = 2i;
, vl. vektory X1 =
p
pi

; X2 =
q
qi

, p; q2C; p; q6= 0
A2 =
4;0
0; 4

, vl. c slo = 21 = 22 = 4, vl. vektory X1; X2
258. A: vl. c slo = 1, vl. vektory X =
0
@
p
p
p
1
A, p2C; p6= 0
A2 =
0
@
3;1; 3
8;4; 5
0;1;2
1
A, vl. c slo = 2 = 1, vl. vektory X
I.5. Soustavy line arn ch algebraick ych rovnic
273. ano 1 275. ano, 1 276. ano, 1
278. a6= 1; 2 ::: 1 re sen , a = 1 :::1 re sen , a = 2 ::: 0 re sen
280. a6= 0 ::: 1 re sen , a = 0 ::: 0 re sen , 283. 6= 5 ::: 0 re sen , = 5 :::1 re sen
287. ne 288. ano, x = 2, y = 3, z = 5 295. ne
300. 1 pro = 1, 0 pro 6= 1 301. 1 pro = 2, 0 pro 6= 2 308. x = 0, y = 0, z = 0
309. x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0
310. x1 = 11p; x2 = p; x3 = 7p, p2IR
316. x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0
317. x1 = 5p+q; x2 = q; x3 = 2p; x4 = 6p, p; q2IR
324. re sen neexistuje 328. x = 1; y = 1; z = 2
332. x1 = p 1; x2 = 3p 1; x3 = 7p, p2IR 337. x = 0; y = 2; z = 53; v = 43
338. x1 = 8; x2 = 6; x3 = 12; x4 = 3
348. pro a = 1 re sen neexistuje, pro a6= 1 je x = 32(a 1); y = 12; z = 4a 72(a 1)
349. pro a = 1 re sen neexistuje, pro a = 2 je x = 6p+ 4; y = p+ 32; z = 2p, p2IR,
pro a6= 1; a6= 2 je x = y = z = 1=(a 1)
350. pro = 1 re sen neexistuje, pro = 2 je x = p+ 43; y = p 13; z = p, p2IR,
pro 6= 1; 6= 2 je x = (1 2 )=(1 ); y = 0; z = 1=(1 )
359. pro a = 25 re sen neexistuje, pro a6= 25 existuje jedin e re sen ,
pro a = 1 je x = 13; y = 13; z = 13
13
360. pro k6= 5 re sen neexistuje,
pro k = 5 existuje nekone cn e mnoho re sen : x = p+ 1; y = 7p+ 2; z = 5p, p2IR
369. = 0 :::
0
@
16p
7p
4p
1
A, = 1 :::
0
@
3q
q
q
1
A, p6= 0q6= 0 370. x = 4560; y = 1060; z 4060
III.1. Posloupnosti re aln ych c sel
rost. kles. nerost. nekles. mon. ryze zdola shora omez. neomez.
mon. omez. omez.
575. + { { + + + + { { +
577. + { { + + + + + + {
578. { { { { { { + + + {
579. { { { { { { + + + {
580. { + + { + + { + { +
581. { + + { + + + + + {
591. e3 594. 23 596. 0 599. +1 609. 1 612. 1 616. 1
619. 0 620. 0 621. 1 622. 1 623. 0 629. 16
III.2. Funkce { z akladn pojmy a vlastnosti
657. ( 1;0)[(4;+1) 660. ( 3; 52i 661. h 32; 52i 664. ( 1; 1)[(1;+1)
667. h0; 32)[(32;2)[(2;+1) 668. ( 1;(3