Matematika III - Řešené příklady

CESKE VYSOKE UCENI TECHNICKE V PRAZE
FAKULTA STROJNI
Y'RESENE PRIKLADY
Z MATEMATII(Y 3
Doc. RNDr. Stonislov €ipero, CSc.
Doc. RNDr. Stanislav Cipera, CSc.
nrsrNE PafQ, tedy iyl = y a tedy.)' = frt --rt ^ Funkce ,- = tE, --rt je clefinoviina
v intervalu J = (0,2)c (0.co) atedy je nraxim6lninr r'eSenirn dane irlohy'u'intervalu-/.
Poznamka.
Rovnice (1.9.5) je rovnici elipsl'u rovnic'e .r = Jlr - ie rot'nici oblotku elipsl', kteri le:i
v oblasti G: (maxintdlnI integralnl kiivka).Viz ol:r.7.
Poznantka 1.2
Reienl rovnice (1.5) lze obyvkle y1:jacliit jen v implic'itnfnl tt)oru e maximalnf
ieien[ Cauchyovy'riloh1, je tedy moine uriit jen ve v\,iinreinvch pi[paclec'h.
Piiklad 1.10
Ijrdete ieseni diferenci6lni rovnice
(1.10.1) y'=-=, kterd vyhovuje pocdtednf podrnince f(1):2 "x.l,'- x
ReSeni:
a) Existence aiednoznadnost l
Pravd strana rovnice (1.10.1) ,f(t,,r')= l , a jeji parcidlni delivace 4- ={i{];t""-r.]' - r- 0y ,t(1, - r)- -
spojitd ve v5ech oblastech y E: , kde je r t 0a1: * x(zapiite je a znazorndte). Pocdtedni bod
p = [ .Zf leZivoblastiG, = (0,oo)x(x,co)(viz obr.8). tedy existuje jedin6 rnaxim6lni kiivka.
kter6 musi leLeL v teto oblasti.
b) Urceni obecndho ieSeni
Rovnice (1. I 0. I ) je typu (1.5), nebot ji lze upravit na tvar ( 1. I 0.2)
(,'')'
i,J
J'f---'-' .Pomoci,
_1
L
I
substituce y -- z.x , .)"
promennyrrti :'.r +: -
+ z pievedeme rovnici ( I .10.2) na rovnici se separovatelnymi
resp.(1.10.3) --'.r - - . a po separaci prornenrtyclt v rovnici
t5
(1.10.3) dostaneme rovnici (1.10.4) t-1 ,1, =4L.Po
zx
obecnd ie5eni teto rovnice v irnplicitnim tvaru: ( I .10.5 )
kladn6 konstanta. Z rovnice (1.10.5)plyne e' = Kxz,
(1.10.1) je drino implicitnd rovnicf (1.10.6) e^ = K )' .
Pozndmka
Pii ilprave rovnice (1.10.3) na
pokladu, ie x +0 .: + 0 e,y
UvaZujerne diferenci6lni rovnici ve
raz P(x,f)dx + QQ,y)d.v totdlnirn
integraci v rovnici ( 1.10.4) zisk6me
z -Inlzl= lnlxl + lnC, kde Cje
kde Ke 91 a tedy obecne ieseni rovnice
Nar (1.10.1) jsnte ndsobili rovnici vvrazenl | , turl,za pfed-
xz
* 0 .V oblasti G, jsou oba ty,to pfedpoklady splneny'.
c) Urieni maxim6lniho r'eSeni dand rilohy
Po dosazeni poddtecnich podminek r,, -1,y,, --2
^:
do rovnice (1.10.6) urcfme konstantu K =(- .
Partikulami ieseni rovnice (1.I0.1). ttir.
vyhovuje poddteini podrnince ,t'(1)= 2 je tedy
to)
urieno implicitne rovnici s' =; y , resp.po
I _- ( (\ \fprave rovnici(1.10.7) ] =rl t"l * ].t 1.
r ui r !i \ \2) )
' l:ri: . t Je zr'ejmd, Ze z rovnice ( 1" 10.7) nelze explicitnd
vyjddiitl'. tedy nelze timto zpfrsobern urcit
interval maxittr6lniho i'eSeni. Jestli2e poutenre.vetu.o irrplicitnd dand funkci. zjistfme. Ze
'[,,'|,+.l. , l, tj.ru'kce lt = '' - '' je rovna 0 na
\ \-) ) ()' .l'
hranici oblasti G,na polopr-imceJ':r, r>0. Dosadirle-li -),=rdorovnicel(t,,r) = 0 , do-
stanenre sour-adnici , =? prfrseciku pr'irnky .r.= -y s inte9r.6lni ki.ivkou Ie to bod leL,icinae
hranici oblasti G,).Yiz obr.8.
1.5 Exaktni rovnice
JestliZe rovnici (1. I ) lze zapsatve tvaru:
(1.7) P(r,y)dr + QQ,),)d7: - g, kde funkce P(.r,t')" g(t,.r') jsou spojite
vndjakd jednodu5e souvisle oblasti GcE., rxaji spojit6 derivace v G a
-.f.-:rj,-r rr I f n r,.,r o\ eP , eQv Kazdern tlocle L.r..r'j€ U platr ( LU) ^--(.r..r') = ^- (r.1,).
o).' cx
nazlvftme rovnici ( I .1) resp.rovnici ( I .7) exaktnf rovnici v oblasti G.
Metoda ieieni
fvaru ( L7). Je-li tato rovnice
diferenci6lem nejake funkce
exaktni, je uy-
zr(r,1) v G,
lo
tj. v kaLdem bode L*,yleG plati du(x,y)=*G,y)a* *!G,y)dy,ox ov
pncemz Je:
A, At,( 1.9) ::' = P(x,y), ( l.lo)
? = QG,D.dx dy
Po integraci rovnice (1.9) podle promdnne x dostanerne:
( 1 .1 I ) "(x,,y) = IoG ,1t)dx + K(t) "
Abychom urdili funkci K6,), derivujeme rovnici (1.11) podle prorndnne y a
porovn6me s rovnici (1.10). Dostaneme tak diferenci6lni rovnici prvniho i6du
pro funkci K(v).Po dosazeni ieienf t6to rovnice do vztahu (1.11) dostanerne
hledanou funkci u(x,y).Obecne ieSenf rovnice (1.7) je d6no irnplicitne rovnici
u(x,y)=C, Ce !1 .
Poznamka 1.3
Jsou-li v oblasti G splndny podm[nky (].8), je vektorove pole p = 1P1x,y),9(x,1.))
potencidlnI v tdto oblasti. Potencial tohoto vektorovdho pole.
,\
f. ^ ' A I r , r r/ l- I r/ | 'lulx,y) =
J(l'dx+Qdyl, kde X =Lx,.yl€(-l,X,,= L-,, ,J'ule C, ,_\,, .)',, jsott perrte.\,,
zvolend ifsla-obvykle poiatein[ podmlnky. Pak roynici tt(x,y) = Lt(x,,,!) je
urieno implicitne prtrtikuldrni ie|enf y : (p(x;xu, _),,, ) . Obecne ieien[ rovnice
(l 7)je dano implicitne rovnicf; u(x , y) : C.
Poznamka 1.4
Podobndiako v odstavci 1.4 iasto nelze uriit ieienI done rovnice v explicitnlnt
tvaru. Pilklady' na vyuiitf exaktn[ch rovnic jsou uvecleny ctdstctyclch 4.2 a 1.3.
Piiklad l.l I
Re5te Cauchyovu ulohu, kter6 je d6na rovnici:
(r.11.1)
ReSeni:
/-\. (x' ll
xydx+ | ^ + - ldy= 0 a pod6tedni podrnfnkouy(0):1.' (2 v)
a) Existence a jednoznadnost
Rovnici (1.11.1) pr'evederne na norm6lni tvar.1,' = -:!1 ^. Funkce f (x,.y-) = - ?*"'
x-y+Z xt),+z
ajejiparci6lniderivace y=-?gtt:-n4) '^^'- ' ,:L!- rblasti G=(-a:,..n)>., 2 .
ay e- y +2;1
jsou spojitd v oblasti G = (-a,"o) x (-;;,*) ,
v ni|leLi bod P = [o,t]. Bodem P tedy proch6zi jedind integrdlni kiivka.
b) Urdeni obecndho r'eSeni
Funkce P(.r.1)=xl . ?(.r.1)=i;* ] , jejichderivacet AQ
/' ) a,=tl*=x jsottspojitevoblasti
D=(-q,co)x(0,co) a podminky (1.8) jsou vD splndny.Tedy rovnice (1.11.1) je exaktni
ll
voblasti Dc-G..V oblasti D existuie totiilni diferenciril
Funkci rr uriiute z rovnic:
Au
C-r
oLt x- I
a'2y
h-rtegraci rovnice ( 1 .1 1 .2) podle promdnnd .r dostanerle:
(i.11.4) u(.r.,r,,= ++ K( r ), z deho2 plyne (1.11.5) ia = l. *clK(t')
L42dt'
Dosadir-ne-li (1.1 1.,5) do ( 1.1 1.3) dostanenre diferencidhri rovnici pro K[r ):
clK(r') I-
, t = - a tedl K(t )- ln1 .(lntegraini konstantu jsme zvolili ror,'nu nule.) Po dosazenid)'
.)'
do vztahu ( 1 .l I .4) dostaneme hledanou funkci
l
.\ l
1/(r. l)=j-llll.2
Obecne r'eSeni rovnice ( 1 .1 1 .1 ) je urdeno
irnplicitne rovnici
1-- 1'"
" + ln l'= Cl.C e !1.1'
c) ReSeni pocdteini frlohy
Dosadime-li poc6tedni podrninky ,r,, = 0,.1',, = I
do rovnice (1 .1 i .6) dostanerne. 2e C :0. Tedy
funkce. kterii je parlikuldrnint ieSeninr rovnice
( I .l I .1) a r,,r,hovuje dan1,'nr poidtecnim
podnrinkdnr je urcena implicitne rovnici
(Ll1.7) _: I ln 1'- ll
1'
Podobndjakovpr'ikladu l.l0nelzezrovnice(1.11.7)r'yjddr'itexplicitne.1'. Situaceje
znizornd,na na obr.9.
Pozndmkct.
V piipude poidteinf illoht'.je t,hodne m'iit piimo pot'tikul(ir]t[ ieSeni pomoci krivkot,iho
integriilu. nebot'pro potenc'icil vektoroveho pole v oblttsti D plati;
t,ilf /.,.r t\ ) . ,J,.r l) ,'
ir(.r.y)= f l.rr,L,;+l '- *' l,l, r= l:(/(- tl ! *!l{- t * t t-l--1,',r'-
.J,l ll |J'l J' Jl 1 't' ' 1 1
lo.ll\ \ * -'/ ) \t l\ - ./
ili: Poznonnka 1.3)
( 1. r r.2)
(1.11.3)
I
i
l
f,
I
1
(r.il.6)
..-t-
l8
{.6 Ulohy
Pro danou diferencirilni rovnici zapiSte postadujici podminky existence a jednoznainosti
maximrilnfho ieSeni. ZapiSte oblasti, v nichi jsou tyto podminky splnEny.
Pro danou diferenci:llni rovnici a poidteini podminky uriete maxim{lnf ieieni.
l. (l + xy)y'* -yt = 0
3. y'= 1f, -'.1/
vJ
llt, r. )' = {lyl
7. 24tdx+(4y+3xr)dy=0
l-r8.
l'=,j./(l)=0r-7"
10. (2x + e) )dx + xe)dy = 0 ,I(1) = 0
16. !' = et cos ?x , l,(0) = ln 2
"r'l * r-18. y'-:/ , ..u10)=l
t'-x-Y
20. y' + ytg x = sin 2x , 1,(2r) = |
22.' - ),tln-r=0, a) 1'(1)-0.b) 1(1)={x
lI24.
l''+' =- ...1(-3)=+.Y r+4
r;ttl + rr')26. y'-')---':!' .).(l)= I
r
',"r,1 * r'
t''=") --' rrl-?r--l.r - . .-ll Ll--l
y-x-))
y'+)'-=l.J(l)=-l
-[
4. ),' = ln(-xr - y) + {t; - 4
6. ),'+ ytg x = -rcotg..r
9. 2x !, y'+3yr + 4x =0, .\'(l) = -1
+r/ J'
. 1,(l) = Q
,t'(0) = -2
17. ,{t } .r',i'= 1 , t,(-l)= 2
19. ),' - !*,tr , -1r(-l) = l
,t
l
21. x1t' * 1, +:- , ,.(-1) = -l
t'17 t" +1-
JT
I
I
l/r\)'l - l='l
"\41
12.
14.
13. r"
l5. r''
=-/.v
r
?
^!.
,f-j_
-)
= -. . .l'(1) = 2
-r-
25. ,'- ),lgx = 3sin) x , .1,(v)=l
, .Y( i'r - -1)).= '"'.1'(0)-_l
l'( Y- - e)
)" + )rcosr = ]sin Zt , ,1,(0) = 02
),' - 4),t xt + Zx,v- = 0, J,(0) = -l
xy'+y=xsinx,y(rc)=l
28.
30.
27.
29.
31.
33.
t9
34. "y' -y=x:sint,1,,[ :)=+
\ -/
36. xt'=.r- ln 1, ,a),y(l) = | .b) y(l)= s
38. xt y' = (x - l)y , 1,(2) = ^f s
40. ("t -l):"-r-1, = l, y(0) =1
42. y'*)'=e',),(0)=l
1=-.\'(-l'+.\'--l)
rt'r/r+("r+1)rf'=g
35. xy'- y) lnx+1, = 0, y(1) = I
37. xJ''=xsin) +I.y611=1x2
39. rty' + ),2 +xy+r' =0, y(-1)=
41. (xr + l)y' +2x7; = 2x: , ,r,(0) = 3
43. xJ),'+ 1,t * tt : Q, 1,'(l) = *l
45. -u'' = -re' +.1'+ r
47. 2x.i'-t' + 3,f t * 4.t = 0
l-1-49.
1" ------:'- .rr1'(1+ v-
)
Uriete vSechna ie5eni diferenci6lnf rovnice
44. r(],r +l)d-r+l++rr-r, lrr,=o
\vr-.r'- )
46.
48.
20
2 Lineirni diferenciilni rovnice druh6ho i6du
s konstantnimi koeficienty
Rovnici
(2.1) i+a,*+a.x = .f(t),
kde koeficienty at,a. jsou re6ln6 cisla a nenulovS, funkce -f j, definovand v
ndjak6m intervalu J, nazyv6rne nehomogenni line6rni diferenci6lni rovnici dru-
h6ho i6du s konstantnirni koeficienty.
Rovnici
(2.2) I + a,i + a.x :0 , a, ,e. et1 ,
nazyvame homogennf line6,rni diferencialni rovnicf druheho iadu s konstantnirni
koeficienty.
2.1 Homogenni rovnice s konstantnimi koeficienty
Z6kladni vlastnosti
l. Rovnice (2.2) m6 nulove ie5eni x(t) = 0, / e (-*,-) (tzv.trivi6lnf ie5eni).
2. Cauchyova floha dan6 rovnicf (2.2) a poddtednirni podrninkar-ni
x(/,, ) : x,,, i(/u ) = uu rn6 prdvd jedno maxirn6lni ieieni pro libovolnou volbu
re6lnych disel /,, ,-r,,,'r,'r. Toto ieieni je definov6no v intervalu (-*,-).
3. Princip superpozice ie5eni.
Jsou-li funkce e,,9. dvd ie5eni rovnice (2.2) v intervalu (-m,co), pak funk-
ce e=C,e,*C,e,, C, ,C. e !1 , je teL ie5enirn rovnice (2.2) v intervalu
(-.o,m).
4. Fundament6lnf system ie5eni.Obecnd ieseni.
JestliZe funkce e,,e:jsou dvd ieseni rovnice (2.2) v intervalu (-co,co) a jsou
line6rn6 nez6visl6 v intervalu (-*,*), pak jejich iine6rnf kornbinace
x(t) = C,e,Q)+ C.e.(t), C,,C. elt je obecnyrn i'eienirn rovnice (2.2).
Rik6me, Ze funkce e,,e. tvoii fundarnent6lnf systern ieseni rovnice (2.2)
v intervalu (-co,oo).
5. Zname-li fundarnent6lni systern ieieni rovnice (2.2), pak pro dane poc6tedni
podrnfnky to,xo,v,, dostaneme rnaxim6lni ieseni Cauchyovy ulohy, urdirne-li
konstanty C,,C, ze soustavy rovnic
C,e,Uu)+C.e.(/,,)=r,
C,ri,(tu)+ C.ri.(/,,) = t,
Urdeni fundarnent6lniho syst6rnu ie5eni rovnice (2.2)
Re5enf rovnice (2.2) hledame ve tvaru x = e', kde ), je komplexni dislo, kter6
urcime z charakteristick6 rovnice:
(2.3) )t +a,)+a-=0.
Cislo )" se nazlrv6 charakteristickyrn dislem rovnice (2.2).
Pii ieseni charakteristicke rovnice (2.3) ntohou nastat tyto rnoZnosti:
I Kor'eny rovnice (2.3) Fundamentalni s1 stenr r'eSenrI Obecne ieieni
Re6lne rfizne ),1 ),1
e"' cos (0 t . e'" sitt rr,, /
C., cos rr-ll + C. sin a,l r
(C,+C'.t7e''
e''' ((. , cos r, / + C'. sin a,t r)
Pifklad 2.1
Urdete obecn6 iesenf diferenci6lnich rovnic:
a) i -3i- 10x=0,b ) i - 6* + 9x=0, c ) i + 4i + I 3r=0, d ) i + I6x=0.
ReSeni:
a) Charakteristick6 rovnice )t - 3)_- 10 = 0 rnd redlnd koieny lt = -2,tr. = 5 . Funkce
e,Q) = e't' ,e.Q) = e'' tvoii fundarnentalni systdrn ieSeni dand diferenci6lni rovnice
v intervalu (-":. ":). Obecnym r-e5eninr tdto rovnice je funkce r = C,., t' + C',s''.t e (-oc . :a).
Cr C: jsou libovolne realne konstanty.
b) Clrarakteristick6 r'ovnice )t-6)+9=0 ntit clvojndsobnl' re6ln1' kot-en i"=3. Funkce
e,(t) = et' ,e.(t) = / et' tvoii fundarnentdlni systdr-n ieSeni dane diferenci6lni rovnice
v intervalu (-co, co). Obecnyrn t'esenim teto rovnice je funkce
x = (C, + C.t)et' , t€1--, o), Cr C2 jsou libovolnd redlnd konstanty.
c) Charakteristickd rovnice i +4A+13=0 m6 kor-nplexne sdruZend kot'eny ),.=-2!3i.
FLrrrkce e,(t) - e t' cos 3t , e:(t) = e t' sin 3l tvoii fundarnent6lni systdrn ie5eni dani
diferenciAlni rovnice v intervalu (-":,-). Obecnym r'e5enim tdto rovnice je funkce
x -- e t' (C', cos 3t + C. sin3r) , / e (-cc,€). Cr. C2 jsou libovolnd redlne konstanty.
d) Chalakteristick{ t'ovtrice ,t: + 16 = 0 n"ta ryze ipraginani koiepy ),,. = +4i . Fulkce
e,(t)= cos4l ,e.U) = sin4/ tvoif fundamentalni systdm ie3eni dane diferenci6lni rovnice
v intervalu (-"o . .o). Obecnynr ie5enit-tt teto rovnice je ftrnkce
,{ = C, cos4l + C'. sin 4t .t e (-.c..o). Cr C: jsou libovolne re6lne konstanty.
Piiklad 2.2
Re5te Cauchyovu frlohu:
i + 6i = 0, x(0) = 2, i(0) = 6.
22
Re5eni:
Urdime obecnd ieSenf dan6 rovnice. Charakteristick6 rovnice I + 6) = 0 md dvojici re6lnych
koienri lr:0, Lz: -6. Obecnym ie5enim dan6 rovnice je funkce x = (', +C.e u' ,
definovan6 vintervalu (-*,-).Jejf derivace *: -6C,e 6'. Konstanty Cr, C2 urdime ze sou-
starry rovnic: C, +Cr=2,-6Cr:6. Tato Soustava m6 jedin{ ie$eni Cr:3,C, =-1. Ma-
xim6lnim ieSenim dand Cauchyory irlohy je tedy funkce x = 3 - e-o' . I e (-co. co) .
Piiklad 2.3
Rovnici mi + k x = 0 jsou popsiiny nevynucene (vlastni) kmity hmoty m zavE-
5en6 na pruZind s tuhosti k, (^ > 0, k > 0). Urdete amplitudu a frekvenci vlast-
nich kmitt.
ReSeni:
Dan6 diferenci6lni rovnice mii charakteristickou rovnici )t +L=0. Tato rovnice mir wzem
imagindrni koieny l, , :-r i r,t ,. kde ro = fvar vlastnich kmiti ie d6n obecn{m ie5enim
dand diferenci6lni rovnice :
(2.3.1) r :Clr coso/ +(1, sin ott .t e \.
Hled6me netriviiilni (nenulovd) ie5eni dand rovnice, tedy piedpoklddAme. Le aspoi .iedna
z konstant C:1.C:2 je nenulov6.
Je-li C, = 0, resp. (12 = 0 , je frekvence vlastnich kmitt or a amplituda ie Cz. resp.C'1 . Za pied-
pokladu, Le obd konstanty jsou nenulovd, upravime yztah (2.3.1) pomoci vzorce
sin(a + f) = sina cos B +cosa sin p natvar:
(2.3.2) x = A.sin(cot + a). kde ,4 =
/-
a = arctg] * " . Tedy amplituda vynucenych kmitfi je A a frekvence vlastnich kmit& je' a'"
L
IKc,t : .,1: , o je poi6tedni f;ize vlastnich kmitri.
\m
Piiklad 2.4
Pohyb hmoty je pops6n rovnici:
(2.4.1) 0.1 i + 0.2 x: 0
a pod6tednimi podminkami: x(0) = 1 , t(0) - -1.
Urdete amplitudu a frekvenci vlastnich kmitri.
Re5eni:
Rovnici (2.4.1) upravime natvar i+2x:0, charakteristickiirovnice )"2 +2=0 m6 ryzeima-
gin6rni koieny tr,,.t : fiJr. Obecnym ieSenim rovnice (2.4.I)je funkce:
(2.4.2) x: C,.orJ7l + C, sin Jj r . r e fr.
Derivov6nim funkce (2.4-2) dostaneme funkci:
(2.4.3) *=-Jic,sinJTl *^[ic,"orJlr, /e !1.
0).
Urdete amplitudu a fiekvenci vlastnich (nevynucenych kmitri).
ReSeni:
Dana dil-ercncialni ror,'nice md cliarakteristickou ror.'nici ),' + ! t, * L: 0.Tato rovnice m6
nlm
neryze imagindrni koieny' tr,.. = a * iro,kde a : -L,, : ,F
- i
2m 1t *t '4km-c''>0'Tvar
vlastnich krnitir.ie dan obccnlm reSenim ror,'nice (2.5.I):
(2.5.2) x = e''' (C, cosro t + C. sin ro r),r e:)l .
Za stejnych piedpokladfi jako r, piikladu 2.3 upra"'ime (2.5. 1 ) na tvar:
(2.5.3) x = Aed sin(ail +rp1,kde,l= tlC'i+('j,('t = il.sina,C'. = A.c'oscr.
Tlumene kmitSr hmoty m jsou tedy' popsiinv funkci (2.5.3). anrplituda [; : Ae'' kles6 expo-
Pifktad 2.6
Pohyb hmoty je pops6n rovnici:
(2.6.1) 0.1i+0.05 i+0.2x:0
a pod6tednimi podminkami r(0) = 1, t(0) - -1.
urdete tvar vlastnfch kmitri, jejich amplitudu a frekvenci.
ReSeni:
Rovnici (2.6.1) upravime na tvar ; + { + 2x = 0. charakteristickri rovnice 2r) )+-+2=0mit)
neryzeimagin6rni koienl A ,.. : -1 t iV31
+
. Obecnym ieSenim rovnice (2.6.1) je tedy funkce
T;lJJI
^
nencidf ne s dasem r (u< 0)" frekvence , = lry; a poiaredni f'aze je q.
-r(
(2.6.2) x=e 4[Cr cos
r;\
1+c,rinn'trl.re:tt.- 4)
z+
Derivace funkce (2.6.2) ie
1 '( ,^[i r.- |l;\(2.6.3) i =_€ .l (C,\ET-C,)cos1!:--(C.+C,J3l;sin1M l. r. *t.
4 l.'
Po dosazeni pod6tednich podminek do (2.6.2) a (2.6.3) dostaneme soustavu rovnic pro
konstanty (.1, C2.jejfZ ie5enim je dvo.iice (.', : l. (', : + Amplituda tlumenych kmitri jeJ3l
t-r
/ q
r t-1
tedy A:ei ^h*L:l.l36ea a frekvence .r: vl' =1.392. Zrivislost rychylky hmoty m' v 31 4
nadase.jepops6natunkci r=.,8,".intf I+ur(tg+ +n)J e il. Graf tetofunkcev:t 4 ' 3
140
a grafi funkci " = t .i:i e { jsou znAzornEny na obr.10. Z6vislosti vychylek x na dase prov 3l
netlumen6 kmity z piikladu 2.4 a pro tlumene kmity z tohoto piikladu jsou zndzorndny na
obr.1 1 (netlumend kmity - ( 1 ). tlumene kmity - (2)).
obr. 11
2.2 Nehomogenni rovnace s konstantnimi koeficienty
Existqrce a lednoznadnost maxim6lniho iesenf Cauchyovv riloh
Je-li funkce/spojit6 v intervalu J, existuje jedine ie5eni Cauchyovy irlohy dand
rovnici (2.1) a pod6tednimi podmfnkami x(/o) = xn ,;(/.):r0 ,t,, eJ, definova-
n6 v intervalu J.
Metoda ie5eni rovnice (2.1)
Pii ie5eni rovnic typu (2.1) pouZiv6me dasto princip superpozice ieSeni:
Obecn6 ie5eni rovnice (2.1)je soudtem obecn6ho ie5eni x7, piislu5n6 homogenni
rovnice (2.2) a partikul6rniho ieseni xo nehomogenni rovnice (2.1).
Je-li prav6 strana rovnice (2.I) typu:
(2.4) "f (t) = e* (P,(r)cos F t + Q,Q)sin p t) ,
obr. 10
25
kde { (t),Q,(r) jsou polynomy stupnd r,s , ma partikularnf ie5eni xrffar:
(2.5) x,,(t)=e"'((A,t' +...+ A,t * A)cosBt +(8,,t'+...+ B,t + B,,)sin pt),
kde koeficienty Ai, Bi,i:0, 1,2, ... , fi, n : ntax(/,s), urdirne po dosazenf ie-
Seni (2.5) a jeho derivaci i,,I,do rovnice (2.I ).
Odhady partikul6rnich ieseni (2.5) pro pravou stranu (2.4) diferenci6lni rovnice
(2.1) jsou spr6vn6, za piedpokladu, 2e a+iB neni charakteristicke dislo pif-
slu5ne homogenni rovnice (2.2).Je-li a + i p lednoduche charakteristicke dislo
rovnice (2.2), je tieba upravit odhad (2.5) na tvar r xo .Piipad dvojnasobndho
charakteristick6ho cfsla rovnice (2.2) rr-rfiZe nastat jen tehdy, je-li cislo a+i p
re6lne (tj.pro 0:0). Je-li vtornto piipadd dfslo a ve vztahu (2.4) rovno dvoj-
n6sobn6rnu charakteristickernu cislu rovnice (2.2),je nutne upravit odhad (2.5)
natvar tt x,,.
Poznamka 2.l
Je-li prava strona.f v rovnici (2.1) souitent.funkci .ft+f:+ +fo, k>l, piiiem:
funkceJ'1, /'t, .fs .jsott t1,pu (2.4), l:e odhadnout partihtlarnI ieieni teto rovnice
ve h-aru xr: x1t1*x1,2+ ... l-x/,r, kdefitnkcext)t, xpt, ..., x,,7jsott odhady partiku-
larnich ieien[ rovnice (2.1) pro prat)e strem,-f',./',, ,.fr. (Dfisledek principu
superpo:ice ieienf .)
Poznamka 2.2
V aplikacich v,mecltanice nta prava stranaJ'rovnice (2.1) vyznant budicf sily a
partiktrlarni ieSen[ x,, piedstavuie t:v.v\llttcene kmin' mechanickeho srstemu
popsaneho rovnicl (2. I).
Piiklad 2.7
Urdete odhad tvaru partikul6rniho ie5eni nehourogenni rovnice
x-* _ 2x=t(2e'+ cos/ +l)+ I
ReSeni:
Prav6 strana dane rovnice neni ve tvarLr (2.,1). ale lze ji zapsat jako soLrdet funkci .f, =2t e ' ,
-f, = t cosl, /r = t) + l. Je tedy moZne plovdst odhady parlikul6micli r'e5enf xpt, xp .xp; podle
vzorce (2.5). Odhad parlikuldrniho i'e5eni je pak xp:xpt+\,r+rpi.
Resenim charakteristicke lovnice 2t - )-2= 0 dostanenre chalakteristickA cisla hornogenni
diferencidlni rovnice i-.t--2"r = 0. Jsoutocisla 1r =-1.tr.= 2. Parlikuldrni r'e5eni pr=isluS-
ndfunkci/i rrtdtvar x,,t=l(At+B)e',(vevztahtr(2.a)jeo=-1,0=0 P1t1= 2/adislo-1
je jednoduclid chalakteristicke cislo). Partikuldrnf r-eSeni pi'fsluSnd ftrnkci.f urd tvar
xr,=(Ct+D)cost+(Er+F)sint(cislorneni charakteristickyrndislent)apaftikttlarni r-e-
Seni pr'islr-rSnefunkcif;nratvar.r,_r=Gtt+Hr+K1i'isto0ner-richarakteristickymdislem).
Poznantka.
Kdybychont nteli vypoiltat neznantd konstutttl: A, B, C., D, E, F, G, H, Kbvlo b1'vzhledem
kvelkimu poittt konstant vhodnd closctzovat porlikul(trni ieienl xpi do nehomogennfch rovnic
26
I- *-2x = .f,, i =1,2,3 a pak pottiit opdt princip superpozice
p ar t ikul dr n fnt i e i e n I m dand d ife r e nc i dl n i r ov ni c e.
- funkce xp:xpt+xp2+xpt ie
Urdete odhad tvaru partikul6rniho ie5eni rovnice
i+3 *= fQ), a) f(t)=l+2e''
b)f(t)=e''sin2r
c) "f (t) = /r + cos/
ReSeni:
Piislu5n6 homogemrf rovnice rn6 charakteristickou rovnici t +3) = 0, tedy charakteristick6
disla jsou At = 0 , A: = -3 .
Odhad partikullmiho r'e5eni pro pravoll stranu t) jexr, *-Irr,kde.r,,r - At,x,. = Bte-t' .
nebot'vprvnirnpiipaddjecr=0aB=g Qizvztah(2.4))adislo0jejednoduchdcharakteristic-
kd dislo, ve druhdrn piipadd je a=-3, 0:0 a dislo -3 je opdt jednoduchd charakteristickd dis-
lo.
Odhad partikuldrniho ie5eni pro pravou stranu b) je x,, = e 3' lAcos f t + B sin 2/) , nebot' ima-
gin6rni dislo a + i B,a = _3,P = 2, neni charakteristickd dislo piislu5nd homogenni rovnice.
Odhad partikul6rniho ieseni pro pravou stranu c) je rr1 + -r,,: .kde r,,r = | ('4t: + Bf + C),0 je
jednoduchd charakteristickd cislo. -r,,. = Dcosl + Esinr. protoZe ryze ir-nagirl6rni dislo r neni
charakteristicke dislo - porovueite funkci cor / se vztahenl(2.4).
Piiklad 2.9
Urdete odhad tvaru partikul6rnfho ie5eni rovnice
i + 2* + 2x = f(t), a) -f(t)= cos t + 2tsin3r
b)J@=t'e'
c) _f (t) -- e-' srnt
ReSeni:
Charakteristick6 rovnice 72 +27+ 2 = 0 pr'islu5nd
Zena charakteristick6 disla ,1, " = -1 + i .
homosenni rovnice md komplexnd sdru-
V piipad| a)lze zapsat pravou stranu ve tvaru./: ft+.f:,kdef1:cos 1,.f2:2t sin3t. FLrnkce/ije
tvaru (2.4), piidemZ je a =0, F = 1,P,,(r) =1,Q,,(r) = 0 a tedy odhad partikul6miho r'eSeni je
x pr = Acos/ + Bsin/, nebot' dislo i neni charakteristickd dislo. Funkce f2 je teL tvatu (2.4),
piidenrZ jea =0,F = 3,{,(r) =0,Q,Q)--2t, tedy odhad partikuldrniho ie5eni m6 tvar
x,,2 =(Ct + D)cos3t +(Et + F)sin3r (cislo 3r neni charakteristickd dislo). Odhad parlikuldr-
niho ieSenije pak xp:xpt+xp).
Pro pravou stranu b)je odhad ieSeni x, =\At) + Bt +C)e'. protoZe
a = -1, F = 0. PzQ) = [2 a -1 neni charakteristicke dislo.
Vpiipaddc)je x, =te-'(lcosr+Bsin/),protoZec1=-1, F=l, Pu(f)=0,QnQ) =1 a-l+ije
iednoduchd charakteristickd dislo.
') I
Piiklad 2.10
Urdete odhad tvaru partikul6rniho ie5enf rovnice
i + 4* + 4x = f(t), o) -f(t)=t - a - re''
b) f (r) -- -2r cos2r
c) -f (t)=e