Matematika III - Řešené příklady

Alemberlova kritdria kolverguje iada (5.9.1) absolutne pro vSechna.r, pro neZ plati
ix*2i,ro.t E 0, pak koeficienV co
k=\)
lze zapsatve tvaru (5.7) ,, = t'!!u) a radu (5.g1 Z+:)(x - x,, ), na-"
k! '3 kt \-
zyvfime Taylorovou iadou, koeficienty (5.7) Taylorovymi koeficienfy funkce/
v bodd x,,.
Rozvoj funkce v Ta)'lorovu iadu
Necht' je drina funkce/, pro niL plati:
l. Funkce f nd vinterrralu J=(x,,-R,r,, +R),R>0, derivace libovolndho
i6du,
2. l{nR,,=0 pro kaLde xeJ, R,, je zbytek iady (5.8) pr=islusny jejirnu d6stec-
n6rnu soudtu s,,.
1"tn.tl( r\
(R,,(") ("-r,)"'',qe(x,xr) pro x 1x,,,€.(r,,,x) pro x) x,,.)(n+1l'!
Pak platf: (5.9) -f (r) =ff
r^'(,'")
(" - r,,)* pro kaLde x e J. Radu (5.g) nazy-'fr,k|
v6rne Taylorovytn rozvojern funkce;fv mocninnou iadu se sti'edern v bodd x,,.
Poznamka 5.7
Casto je pro clanou/itnkcif vjhodnijiiuriit koeficiene ro:voje.jin1tm:ptisobent,
nez uiitfm vzorce (5.71, napi. pomocI operacl s ntocninnvmi f"adami nebo prut
racionalnl-filnkce uiitfm t,:orce pro souiet geometricke i.crdy .
Jednoznadnost rozvoje funkce-fv rnocninnou iadu
JestliZe pro funkcif plati v intervalu -/.'
t/
.f(*)=Zo,G- xu)o a "f(x) =Zbo(r - "u)0, puk er : b* k = 0,1,2,...
portueuji.i poamint u.o^oj. frnt ..-'u ,rlo.ninnou fuau
JestliZe existu,ie konstanta M >0 tak,Le i./'-'(r)l < M,xeJ,k=0,1,..., pak platf
rozvoj (5.9).
Rozvoje ndkterlzch elernent6rn(ch funkcf
i
l. u' =Zi^, t\., ;r e (-co.co)
2. sin.r = I;, qJ+, x e (-co.co)(2k + l)!
84
3. cosx = t- (-1)* tt*L/k=o
(Zk)l ,
x e (-co,oo)
-1Xcr -Z)...(o- k +1)xr4. (1+x)" =1*I:,qg
kt
v intervalu .,[ =(_o,oo)(ov6ite uZitim
splndna nutn6 podminka konvergence:
, x e (-1,1)
5. arcsin x = x+>;=,ffffi , x €1 -7,r>
- \-. 1-l;l x2t*' , ,6. arctg* :).'o_,,ft;1 .x€
7 . ln(1 + ") : I:, (-1)o*' + . -e (-1,1 >
Ptiklad 5.16
Funkci (5.16.1)
Re5eni:
f (*) = sin x rozviite v mocninnou iadu se stiedem xu = 0.
Funkce sin x m6 derivace libovoln6ho i6du v intervalu (--, *) , mtZeme tedy urdit Tayloro-
vy koeficienty podle vzorce (5.7): n{6 derivace funkce (5.16.1) j. ,f (")(") = sin (x * n}), t -
ay /(')(o) = sin n!, z deho|plyne
f@ e):0 , lt -- 2k . tQ e) = (-l)e . n = 2k +l , k = 0,1,...,
tedy cro = o, c2k' = ^f]L, k =1,2,....(2k -t\1.
3 (-1)o*'rt'-tTaylorova iada funkce (5.16.1) je mocninn6iada (5.16.2) F t-il. ^r. .
fr (2k -r)l
UkdZeme, Le iada (5.16.2) konverguje v intervalu (-*, *) a m6 soudet sin x . Nutnou a posta-
dujici podminkou je, aby }tgR, (x) :0 pro kaZdd x e (-"o ,a). Zapiieme absolutni hodnotu
zbytku iady (5.16.2) pro ddstedn;i soudet sr,,(x)t lRr,t"fl=E*{plrt'|. ProtoZe' (Znlt I
lsin(f + ,n)l 0
tak,, 2e plati f (x + p): "f (*) pro kalde x e (-oo,.o) , pak funkce -f s" nazyv| pe-
riodickou funkcf a dislo p periodou funkce /.
Pozndmka 6.l
Je-li funkce f periodickd s periodou p , pak plati .f(x+n pY"f 6) pro libovolne
plirozene iislo n. Existuje-li nejmenif perioda p > 0 , nazyua se primitivn[ peri-
odou.funkce J.
Pozndntka 6.2
Jestliieftrnkce.f a g ntajl periodu p,paktez/unkce h= k,..f + k..g ( k,.k. isou re-
alne konstanh: ) ma periodu p.
Tri gonornetricke iadr-
MnoZinu funkci
I(6.1
) l,cosx.sinx,cos2x,sin 2x,...,cosiex,sin ilx,..., kde n -ie pirrozene
/.
d i s lo, nazyv atne tri go nornetri ckyrn sy stdmern .
Nekonedn6 iady t6chto funkci tvaru (6.2):
0l
7* o, cosx + b, sin x + a. cos2x + b. sin2r * ...* Q, cosr?x + b,,sin nx +'..
L-t
e,,,,a,,e. ,..., b,,b.,... ,jSOU re6lne kOnStanty, nazyvame trigOnOrnetriCkyrni
iadarni.
Poznamka 6.3
a) Radu (6.2) tze:apsat struine ve Nat'tr + -i(./A cos kx + brsin kr) ,
L i..I
b) Katdi ilen iadv 6.2) ma periodu 2r "
c) Jestlize iada (6.2) konverguje, ma ieji souiet tez periodu 2r .
Fourierovy iady. Fourierovy koeficienty
UvaZujerne periodickou funkci/s periodou 2r za piedpokladu, 2e Lato funkce
je soudtern trigonometricke iady (6.2).
Urdime koeficienty a,, ) ct,, a 2,..., cr,, t..., b,. b....., b,,... tak, aby platil vzrah
a(6.3)
.f{r) -:1 + l(a,costx + b*sinftr).:^'
Za piedpokladu, 2e trigonornetrickou iadu na prave strand vztahu (6.3) lze tnte-
grovat dlen po dlenu. dostaneme po integraci v rnezfch - 7t,lr'.
t
rl
96
ot t 6) rt x
6.4) I/t"l dx=A !a, + Z@rJcos Lr dx + b, jsin kx dx).
ze(6.a)ptr,,", z. r.o."ncr "nt o,=!-'lrr*ro*, ( j"ort"7"=lrit kxdx=0).
Ttatx
Podobnd urdime koeficienty ao , k=7,2,... . Vynasobfme obd strany vztahu (6.4)
funkci cos nx ,, nell', aza stejnych piedpokladt integrujeme v mezich -/T,/r
Dostaneme
l'" 'n l},n+k one*=
_lff * )cos kxdx,( Jcos nxcos kxdx=i ., J,sinkxcos nxdx:O. n.k e N t.^ \T-to" r ltr,n=k x
Vyn6sobime-li obe strany vztahu (6.4) funkci sinrzx,nel{, a integrujerne-li
opdt v mezich - ft,ft ,, dostanetne podobnd vzorec
1r
bu= | l"Ftrlsinlx dx . k e N.
7t 'n
Fourierovy koeficient)t. Fourierova iada
Koeficienty a.,e,,b, k elV , trigonometrick6 iady (6.2) urcend vzorci
l'. 1.'(6.5) ar=
_ J"ffOcosrtx dx, k=0,1,2,.... b^= * )J't*lsinftx dx, k =1,2,....,
/t a t9 X
se nazyvaji Fourierovyrni koeficienty funkce f a jeji trigonometrick6 iada
a,, g.(6.6)
* * )(a* cos kx+bo sinkx)Z k=l
se nazyvS, Fourierovou iadou funkce f .
Pozndmka 6.4
Pli odvozeni vzorcfi (6 5) jsme l,yuiili dfrleiite ,-lastnosti trigonometrickeho sys-
temu (6.1) v intervalu : integrdl souiinu libovolnlch dvou navzajent
rfiznych funkci tohoto systdmu v mez[ch od - r clo r .je roven nule. Rikame, :e
trigonometriclq, system (6.1) je ortogondln[ v intervoln .
Periodick6 funkce s libovolnou periodou p : 2l .
Uvahy tykajfci se periodickych funkci s periodou 2r lze snadno rozSiiit na
funkce s libovolnou periodou 2L , L > 0. Necht'funkce -f (r) je periodick6 s pe-
riodou 2L . Zvolirne-li novou nez6visle prom6nnou u=I! ,pak intervalu
< -L,L> na ose x odpovid6 na ose u intewal 1- ft,tr)
a pouZijeme-li vEtu o substituci v urdit6m integr6lu ve vzorcich (6.5), dostaneme
pro funkci/ s periodou2Lvzorce pro jeji Fourierovy koeficienty:
l'r ^ tk x t t -t"'(6.7) ao=
| f"ff*lcoSr dx, k=0.1. 2,..., b^= ]. I,fOlr;,l111 dx, k: l, )....L',' L LJ" L
a Fourierovu iadu ve fvaru :
9/
.,(6.8) :s + F (a, cos---- + 6, sin
2 fr'" L L
Pozndmka 6.5
Vzhledem k periodicite funkce f mriZe byt interval integracenahrazen
libovolnym intervalem d6lky 2L, napi. intervalern (O .Z f) .
Piiklad 6.1
Urdete prirnitivnf periodu trigonometrickdho polynornu
./r 1 3r I 5rs(x) = Sln - Jr - -Sln-x + -Sln-X.
L9L25L
ReSeni:
Funkce f,=rin7r rn6 priniitivni periodu p,=27r,!=Zo.L=2L. Podobnd funkce
LLTT
"|3nL2L"|5r-f.=--sir.t;, rn6 primitivni periodrr p:=t,
i;=i a funkce f.=isin
'- x m6
primitivni periodu p,=+) pr= 3 p,= 5 p: a tedy dany trigononretricky polynom md
J
prirnitivni periodu 2I.
Piiklad 6.2
Uk6Zerne.Zeintegrdly Jt.totkatxtlx,J.otkrr.rxcos p@x,k+p jsottrovnynule:
ll tl
nt 1 -, I _
ft..orkroxdr= (d\ =: =l fcosk-rl:= ,' [sink:]'-9.
:
'i Kn)
"'t I fr r,
lcoskoxcos pa.r-lrrr.y=:'=- lcoskzcosp: d:= - Jl.ort k - pl:+cos( k + p)z]dz=0
*" o + p.Piivypodtulrm. oou#ti/!onio,',.t, i,"v* rtorlJ! "
I
cosa: cosp:= 1[cos(a - Fl= +cos(a + F):1.
/
Piiklad 6.3
Urdete Fourierovy koeficienty funkc " .f , kter6 vznikne periodickyrn prodlouZe-
nim funkce:
UkaLte, Ze trigonornetricky systdm
(6.2.1) {1,cosa,l-rr,cos 2at x,...,cos nco r,...}
je ortogondlni v intervalu I O',a I
\ a)
ReSeni:
98
| ( z\ ltr \)ll. xel - tr.- - )u( -,tr ) |
I r, 2l \3 llf(x\={ \ z't ,'" t/ speriodou p=2r.Zapiite Fourierovuia-
/ \ ' | ( n lr\
10. x€l--,- It \ 23)
du funkce f .
ReSeni:
1 n" I
or.,,l
I
t'!
a,,--) l-ftrldr=!' lTtrldr=! lhr=4 (nadrtnEte obriizek periodickdho prodlouZeni"
ft J-" lr nt-" n.J. 6
/ -\
f v intervalu (* r ,zn +;)1." \ rl
-/ ^ 1-/n/'+:n
l-'/i I [. 3kr knlo, =
l" !7 ticos kr d, = L Jcos k;r o, = *l'- T-'* Tl . k = l. 2..... podobndlr ,i
"/
1''i I ( kr 3rk\, ,1b^=
lsinkdx=, lcos
--cos
"-l k=1.),...lT .', K,tr \ J /, /',':
Fourierova iada m6 tvar
7r t:-11( 3kr kn\ ( kr 3ktr\. ,l-+-)-llstn- lcosKx+lco.s -cos -lstnKXl.
12 lrfrkl\ I J) \ 3 2 ) )
Piiklad 6.a
Urdete Fourierovy koeficienty funkce f , kter6 vznikne periodickyrn prodlouZe-
nim funkce:
. [sin x ,, x e (-n ,0)f(x\=1.
t 0, *.'7',oy'
s periodou P =2r. Zapilte Fourierovu iadu funkce
f
Reieni:
r0 ltl= '
fsin.rcosLr dr = ^' i[sin1r + k ).r -/.8 "
r'.r'l)au='-
f,ft.*tdx=1 lsinxdx=-- ,ct1/r' 7r
-a
- /t+r-l)^ t 1 '; I
sin(]-klxfdx=#'k>]'a,=0,bo=L|sinxsinkxdx=0.k>|^b,=-'- /T(k'-l) n r- 2
Pii vypodtech jsrne pouZili goniometrickd vzorce
l- . Lsinax cospx=f
[tln1o + F)x+sin(a - br],sina xsinpv=1fcos1a - F)"-cos(a + f)r].'2')2'
Fourierova iada rn6 tvar -l* lrin, *?t-]-. os2kx .n 2 nfr,4k--'l
Piiklad 6.5
Urdete Fourierovy koeficienty funkct- f , kter6 vznikne periodickyrn prodlouZe-
nim funkce:
vv
[t,xe(-r,O) . i 7 :y-_,-_-__-:^_^_..-y^r..Jf(*)=] ^1^-' . ' 1 speriodou p=2n.ZapisteFourierovuiadufunkce /.r \
t-7,xe(0,tr)
ReSeni:
o,=L'lf t*ldx=0 (funkce /je licha). Podobne u* =!if,r, coskxdx=0 . protoZe funkce
1T . " JT J'
n"
/(x)coskx je take lich6.
tn" )"n I I l" 2, . \
bo : ! [y1r;rin kxdx = a lsin krdx =l -+coskx I = -;(1-coskr) protoZe funkce' /rr- tr J- L Ek ), fu.
7 1*7t ,i^, r*j e sudri. r ou.i.rouu iada ma tvar - li.isin (2ft - 1) t .tr72k-1
Pozndmka
Pli vypottech inregriili iasto ytuifvtime, ie sin kn:0, cos kr : (-1)o . Pak koeficient
l+
b, =),- ,k ' je-liklich6 ,coilzezar)satstruini b.r,:-: ^,b.r =0.'-k
[,i', je-liksudd
:^I trQk-l)
Piiklad 6.6
Urdete Fourierovy koeficienty funkc " | , kter6 vznikne periodickim prodl ouLe-
nim funkce:
f (*):l*1,* €(-4,4) , periodou 2L =8. Zapilte Fourierovu iadu funkce /.
Reieni:
11 1'+
a,,:) Ut"l d* =: lxdx = 4 . (funkce/je suda). podobne" 4j," 2i,
2-ll-".r+-) :-l.(t-l)* -1) ) azr =0,a.r-,= -..^1,6,,,, k =r,z,... .pii vf-
n klr k 4 _1,, tr- k- '' r- (2k -l)-
podtu integr6lu jsme vyuZili skutednosti. Ze funkce /(x)cos 4 * i" ,u6u.
b- =Ii/,t,r,n 4*ar= 0. protoze funkce /(x)sin 4, ,"1ir1',5.
Fourierova iada md tvar 2 #Z#t o, (2{:Ll'".
or:|^!,*"!**:l',::'r ,'==;;?4,] :*[t ,, +,): -i,," +,*):
Urdete Fourierovy koeficienty funkc e f , kter6 vznikne periodickym prodlouZe-
nim funkce:
100
f (x) s periodou 2L = 4 Zapiite Fourierovu iadu funkce
Re5eni:
I -- .la,, =
| [/frl rlx =! f* = t. podobne r.r,
ll
| ( . 3rk trk\-l sln Stn- l= a,, :11 .u.,.
Ek\""' 2 ""' 2 )
'-rt "'-rl-r
7f0 ,* e (-1,1)=l r,xe (1,3)
I r rk -l'=l-sln-xl =
l_ok 2 l,
1 -l -t-I f /tK
: - lcos-xdx
)J )-l
,)= (-1)*
(2k -1)r
bo = 0, k = 7,2,....Qt{adrtndte periodickd prodlouZeni).
Fourierova iada m6 tua, 1* Zi ( -l )^ co,( 2k - I ) lr " .2 tfi2k-l 2
6.2 Konvergence a soudet Fourieror4ich iad
Fourierovy koeficienty a Fourierovu iadu lze formalnd piiiadit kaLde funkci /
definovand na intervalu konedne ddlky, pro nii existuji integrrily ve vzorci (6.7)
bez ohledu na konvergenci di divergenci iady (6.8). Napiiklad stadi, aby funkce
f byla po d6stech spojit6 v intervalu,v ndmZ integrujeme. Pro aplikace Fouriero-
vych iad je viak podstatn6 vdddt, za jakych podminek je periodickri funkce f
soudtem Fourierovy iady, tj. vdddt, zda Fourierova iada funkce -f konverguje a
pro kter6 xplati
(6.9) f(x\=!-+F (o, rorok*+b sin ok* \.'
2 7' ^ L ^ I-
Pak Fourierovu iadu ve vztahu (6.9) naryrvdme Fourierovym rozvojem funkcef
Diri chletovy podminky.
Rik6me,, Ze periodick6 funkce./speriodou p:2L spliuje Dirichletovy pod-
minky, je-li omezen6 a po d6stech monotonni.
Pozndmka 6.6
a) ntmme, ie.funkce.f , definovand v intervallt nebo v interyalu ,s
vyiimkou koneineho poitu bodfi, je po idstech monot6nnf, existuje-li takovd de-
lenf intervalu , pro nei plati o=*,,.rr ( ... l xn :b , ie funkce _f je mono-
t6nniv kaiddm intervalu (x,,r,*r ) ,i : 0, I, ... , n-\.
b) Rikdme, ie funkce f , kterd je periodickd s periodou 2L, je po idstech mono-
t6nni, je-li po idstech monot6nnl v intervalu dettry 2L .
Postadujici podminky pro reprezentaci funkce / Fourierovou iadou uvedeme
v n6sledujici vdt6.
VEta o rozvoji funkce ve Fourierovu iadu.
JestliZe periodick6 funkce / s periodou 2L splf,uje Dirichletovy podminky, pak
Fourierovaiada funkce/konverguje avztah (6.9) plati pro kaLdy bod intervalu
(-*,*),t" kter6m je funkce / spojit6.
lul
Je-li bod ( bodem nespojitosti funkce/, je soudet Fourierovy iady
1/ .\s ( € ): tl li1 r(")*JiT r\,1).
n-ty dlen Fourierova rozvoje (6.9) se nafivd n-tou harmonickou funkce / Po-
dobnd jako v piikladu 2.3 lze urdit amplitudu a pod6tedni fivi n-td harmonick6
pomocl upravy na tvar
(6.1 0) {, sin (at,,x + rp,,), kde F,, =
podatedni faze.
1,, re nazyvir amplitudove spektrum funkce/
I, I,
If t"l dx -- 2 [f (-) a. je-li funkce f tich6, je
1.O
je amplit Ltda, a,, = !: je frekvenceL
a._&
Q,, = arc tg;- JeD
Posloupnost disel
Pozndmka 6.7
Jestliie je danafunkcef v intervalu koneine ddlb,J:(o,b), lze tutofunkci roz-
vinout ve Fourierovu iadu tak, ie funkci f periodiclq, prodlouilme s periodou
2L:b-a nafunkci l. Jestliiefunkce I splnuje Dirichletovypodm[nky, plati
profunkcif vztah (6.9) v intervalu J.
6.3 Fourierovy iady sudfch a lichfch periodiclqich funkci
Sud6 a lichd funkce
Necht' funkce / je definovan6 v intervalu -/ : (- c,c),c >0. Jestlii,e pro kaLde
xel j. /(- *)-- f(*),iik6me,Zefunkce / jesuda.JestliZeprokaZde xeJ
j" f (- x) = - f (x) , fik6me, Ze funkc e "f ie lich6.
Graf sud6 funkce je symetricky podle oS)-!,, graf lich6 funkce je symetricky pod-
le pod6tku.
Je-li funkce f sud6, je
I,
IfQ)a*=0. ProtoZe soudin dvou lichych funkci je sud6 funkce (stejnd tak
L
soudin dvou sudych funkci) a soudin liche a sude funkce je funkce lich6, dosta-
neme pro Fourierovy rozvoje sudych resp. lichych funkci n6sledujici v6ty :
V6ta o Fourierovd rozvoji sude funkce
JestliZe periodick6 funkce / s periodoup = 2Lje suda a spliuje Dirichletovy
podminky, pak plati:
v kaZd6m bodE x , kde je funkce/spojita. Fourierovy koeficienty jsou urdeny
vzorci
(6.1 1) /(")= +.|r"r"orffl
(6.r2.) o, =lJrt"l dx, ao =? lrQ) "or!!aa*, k =7,2,...
tv/.
Vdta o Fourierovd rozvoj liche funkce
JestliZe periodick6 funkce / s periodou p : 2L je lich6 a splf,uje Dirichletovy
podminky, pak plati
(6.13) f(.)= it6o sin *l
k=t L
v kaZd6rn bodd x , kde je funkce/spojit6. Fourierovy koeficienty jsou urdeny
vzorcem
(6. r4) b^ =? IfA)rino!a4*, k =r,2,..
Pozndmka 6.8
V pifpade, ie plati vztah (6.1I), ilkdme, ie jsme funkci f rozvinuli v kosinovott
Fourierovu iadu. Plat{-li vztah (6.13), ifkame ze jsme .fitnkci .f rozvinuli
v sinovou Fourierovu iadtt.
Poznomka 6.9
JestliZe je funkce f dana v intervalu, jehoi jeden krajnl bod je poidtek
((0,2) resp.(-L,0),L>0), lze tuto funkci dodefinovat na funkci f v intervalu
(-L,L) tak, abyfunkce f byla sudd resp. lichd a pakfunkci i' periodickv pro-
dlouiit s periodou 2L. Dostaneme tak kosinovy resp. sinovy rozvoj funkce f v in-
terttalu (0, I) resp. v intervalu (-I ,0) .
D6na periodick6 funkce g s period ou 2L:4, kter6 je periodickym prodlouZenfrn
. , r, f-Z* xe(-2,0)tunkce l(x)=i
I 0 ,re(0,2)
a) Znivorndte graf funkce g v intervalu \- 4,4) a vypodtdte Fourierovy koefici-
enty funkce g.
b) Zapllte Fourierovu iadu funkce g a soudet prvnfch dtyi nenulor,ych cleni.
c) Urdete soudet Fourierovy iady v intervalu (-:,f) .
ReSeni:
a) Fourierovy koeficienty vypodterne pomoci
4
vzorcfi (6.7), piiiemL je L:2.
r :. l "-= 'z
J.f rx )dx =- !.t-2 x tdr = 2,
= :'J: -" )cosr lr dx'
- ' "1, -2x )sin'k dr.
)J )
1l o,,
4,.
b,
103
partes urdime podobnd koeficienty b, = (-l)' i- ,1, = 1,2,... "
7rK
t'f ' (2k-l)rx (-l)^ . lrkx)
b)Fourierovaiadafunkcegm6tvart*rI,l-__-:-CoSZ+-Sln-|,,r frl n(2k -1)- 2 k 2
)
. l( 8 ta lx 8 3nr' )Soucet s.,(r)= l+ i- -cos-- -+srn- - +lslnzl'i.
z\ E 2 2 9n 2 )
u, rkx
ar=-lxcos-dx=
obr.34
)', 4 )'no,, = 1
fsin rd-r = -,o k = : lsin xcosZkx dx =
TJ 1T 7'"t)
lrinrror 2lcx = !(rirt I + 2k )x + sin( I - 2kr rtl = -1[| ) i rl
I /LL
- -;- - . ProtoZe je funkce/spojitd v intervalu (--. -) . plati
nlJk- - ll\/
, ? 4 s- cos 2k.risirrrl = : -- ) : pro vSeclrnar z intenalu (-x.r:;.
| * _u.1,,_
,/l /L ^..1'"il\ - I
, tkxll=x
2
,1 2nlcxU =l l)=-
t^EKZ
frll
.
ReSeni:
a) Fotrrierova iada kosint m6 v tomto piipade tvar L *f o ocos a kr , kde
' k=l
prodlouZeni
s periodou 2L:2.
b) Zapi5te Fourierovu iadu funkce/a soudet prvnich 6tyi nenulovych dlenri.
I
, ^Lb, =2l(x-llsrnnkrdx
^ t.
0
2l I ,-l' 2
,l-(.t-l)cos/tKx +-stn/TKx | =--.okl, trk _lu nk
b) x - t = -?r t!+. r e (0 .2) (vizobr.25). soucet prvnich ctyi ilenri iady.
tL/ k/L k-l I
^/2 ( sin2m sin 3,zr sin 4,ar )
S.(,f)=-_lSln,U\'+ .\ -r ) * , -1.
z\ /. J 4 )
[.r+t
.re(-2.0)
c) s(x) = ix - I r e (0.2) . Graf periodickdho prodlor-rZeni funkce/a d6stednd-
i
IO x=-2,x=0,x=2
ho soudtu sinovd Fourierovy iady tdto funkce jsou zndzorndny na obr.25 b.
105
l
I at -I
=iiu'
I
I
an=/l(X-
0
)f- t/
TtKl
b) Plat
I
ltrlx = -1. a, = Z lr x- l)cosnlcxdx' x l'
t,
x-l v'=cosTrldx I
I t--l v-_sinnbl-
ltk I
- Ilsintr kx+Lcos,k.) =4-Gostrk- l)= a.o =0,azr-r :
lt k ),, r- k-
i x-l-*.-1 1f costr(2kt--'L - -1)x pro v5echna x z interualu < 0,1
rt(2k-l)t'
> . (Yiz obr.26.)
1 4 t cos 3.zr -rs.,(x)= -;--. (cosz
2/r-9
) *: /r t)1,L /L
/.-l | -n - I r'
cosTaxl
^s)
f -r-l re < -1.0 >
c)s(r)=j r-t xe
l--"+l xe
6.4 Aproximace funkce trigonometrickfm polynomem.
Necht' je d6na periodick6 funkce/s periodou 2Z ,kterou lze reprezentovat Fou-
rierovou iadou, tj. ve v5ech bodech, kde je-lspojite, plati:
,/
f(x\=:o+ F I o .o.r( k' * b sinfkt)-\ sl- L
I l=r\ L L /
Pak n-t1,,eart.eny soucet teto iady S,(r) =?+2@, cosly+bo sin 441 i,'2fi^ L ^ L
aproximaci funkce/a pi5erne .f(x)= S,,(r). Chcerne-li definovat chybu aproxi-
mace na cel6rn intervalu (- t,l ), j. vhodne zavdst pojern stiedni kvadraticke
chyby o,, aproximace vztahem o,,=
'f(f(")-S,,(r)) '
clx. Lze ukazat, 2e pii
-i.
aproximaci funkce ./ trigonornetrickyur polynornern je stiedni kvadratick6 chy-
ba minim6lni prave kdyL za aproxirnacnf polynorn vybererne Fourieriv trigo-
nornetricky polynom. Pak.f e stiedni kr,,adratick6 chyba
(6.15) o = l.f'(.v),lr-tl '''^ *I(r^'*1r,')1.', Lr :'" 'l
Zevztahu (6.15) plyne, Ze s rostoucfrn n se sti'edni kvadraticka chyba o, ztnen-
Suje a dost6v6me tedy stale lep5i aproximace dane funkce. Yztah (6.15) plati pro
libovolnou funkci integrovatelnou v intervalu (- Z ,L) o pro libovolnd piirozene
dislo n. ProtoZe j" o,, >0 , plyne z (6.15) tzv. Besselova nerovnost
cos 5zr x
25
-l
106
11. 2(6. 16) ) tt'Q) dx > \ *tbr' * br').
L -t," 2 k=l
Poznamka 6.I0
Jestliie o ,-r0 pro n -+ @, iikdme, ie Fourierova lada funkce f konverguje
k tdtofunkci v prrtmdru.
Splndn{ rovnosti
I I'. , o.'(6.17) .lf=(r)dr= +*fbr=*bo=)
J J" )l' -1. L k=l
je nutnou a postaiujicl podmlnkou konvergence Fourierovy lady v prfimeru k
funkci f.
Rovnost (6 17) se nazyvd Parsevalovou rovnosti.
Piiklad 6.12
D6na funkce f(r)=x' ,.x€< -fr,T >. Vypodt[te stiednf kvadratickou chybu
aproximace funkce/trigonometrickym polynomem, ktery je drlstednym soudtem
Fourierovy iady teto funkce aLpo p6tou harrnonickou.
Re5eni:
a) Vypodteme Fourierovy koeficienty funkce / . Funkce f u S"it^ periodicke prodlouZenf
s periodou 2n jsou sud6 funkce, tedy Fourierova iada m6 tvar b *Lo ^ cos h .
L k=l
)'. )o2Koeficient o,, = I
lxtdx = +.E,', J
Ll tak=-lx-coskxdx=
1TJ'" o
u=x= y'=cosLrl r ' -l
, ^ sinkxl=?l x-sinLrl - 4 ir.inkrclx-u =Zx l'=-l rl b I
okl,k | "L " r0
, lu=x y'=sinkx
lxsinkrdx=l , , -coskxd
l'=' '= k
[- xcos kxf. Isin kxl" i l)o't r-r-r
Tr---------t --.
t k lu lk- lu k
tedy koefic ienty ar = (-l)o ! . t = 1,2.... .
b) Funkci/'aproximujem. .,lint.ruul u < -/T,a > trigonometrick;fm polynomem:
.f (r) *so (x) = + . r( cos x + l.o, 2" - l.o, 3" * l.o, 4" - I ro, 5r), stiednf kvadra-
tick6 chyba aproximace o, ='7roo* - r(++ l6(l ** *:. +. +'l = 0.1 (viz vzo-
\ 9 16 8r 256 62s)
rec (6.15)).
Pozndmka
Pli aproximaci funkce f idsteinymi souity Fourierovy iady ai po tfet[ resp. itvrtou harmo-
nickou je hodnota stfednf kvadratickd chyby or = 0.38 resp. o4:0.18.
tu/
6.5 Olotry
Uriete Fourierovy koeficienty danfch periodickfch funkci s periodou p a zapilte pif-
slu5nou Fourierovu iadu.
. lx+Ztr xe(-tr.0)l. f(x)=]^'-" , ,p=zE 2. f(r\=ltl, xe(-n,n),p=2tr-
I x x€(U.z)
(o
| - xe(0,zr)3.
/(x) = l
|-" xe(-tr,o)| 4
[-,nt xe.
a) Vypodtdte Fourieruvy koefictenty kosinovdho rozvoje dane funkc e a znlzomdte graf
pr-islu5ndho periodickdho prodlouZeni v intervalu (-4, 4) .
b) Zaprste Fourierfiv rozvoj funkce/ a soudet prvnich dtyt'nenulovych dlenfi.
c) Urdete soudet Fottt'ierovy iady v intervalu < -2-2 > .
tt4
3. Urdete maxim6lni ieSeni Cauchyovy flohy i+ * =l-e-' , x(01= i(0; = 6.
I. D6nasoustavarovnic i=x2 +yt -4,i=x(x-2y).
a) UkaZte, Le kaLdym bodem fazove roviny prochini pr6vd jedna finov| trajektorie dane
soustavy.
b) Urdete rovnici fazove trajektorie, kter6prochizi bodem 114 =l1,ll.
c) Urdete v5echny body rovnovrlhy dand soustavy.
II. D6na soustava rovnic X -- A x, I =(2
-il
u -3)
a) Urdete obecne ie5eni dan6 soustavy.
r3)b) Urdete maxim6lni ie5eni soustavy pii podritedni podmince X(0) =
[ O J
c) Urdete typ bodu rovnov6hy, zapi5te parametrickd rovnice fazove trajektorie maxim6lniho
ie5eni zb) a rovnice piirnek. na nichZ leZi polopiimkovd fdzove trajektorie dand soustavy.
VBe zn6zomdte ve f{zove rovind vdetnd orientace.
III. D6na mocninnd fada f (-lto tx + 7l .ft 3^Jk+2
a) Zapi5te soudet prvnich dtyr'dlenri iady.
b) Urdete v5echna -r, pro nELiada konvergr,rje absolutnd a pro ndZ konverguje relativnd.
c) Urdete v5echna x, pro nEZ iada diverguje.
Vypracov6nf :
l.
Rovnici upravime na tvar 1"*!1,-x!'2 (Bernoulliova rovnice, a=2). Funkcex
,,4f ^ I
"f(x,y)- rlt -' .7 =2xy -- jsou spojite v oblastechx)y x
G, = (-0o,0) x (-oo, @) , Gt = (0, co) x (-m, co) .
Obecnd ie5eni: Reieni urdime vetvaru ! =Lr.v,