Matematika III - Řešené příklady

'' -3
ft.e5eni:
Charakteristick6 rovnice ),t + 4)"+ 4 = 0 pr'isluSnd honrogenni rovnice md dvojn6sobne cha-
rakteristickd iislo i= -2 .
V piipade a) lze zapsat pravou stranu/jako solriet dvou funkci typu (2.4):
.f,=t-2,(a= /J=0,4(r) =t-2) u .f.=-re t'.\e=-?,0=0,4(r) --2t). Odhad tvaru
partikuldrniho r'eSeni jetedy -y, =-rrr *.yr:,kde ,r,,r = Al+ B,xu =tt(Ct+D)e r'(vprvnim
piipade a = 0 nenf charakteristickd if slo, ve drr.rhdm pr'fpade je a = -2 dvojn6sobnd charak-
teristickd cislo).
Vpr-ipadeb)jepravdstrana./typu(2.4): a=0,/l=2.1',(t)=-)t.Parlikulfrpir'eienilzetedy
odliadnout ve tr"aru .\,, = ( At + B)coslt + (('l + D)sin 2l (inragindrni cislo 2i neni charakteris-
ticke cislo ).
V pl'ipadd c) lze zapsat pravoll stranu./.jako souiet dl'or"r fl.urkci typu (2.,1):
.ft=e2' .(ct=2.F=0,4(l)=1) a .f:-_3,(a=0 =0.4(r)=-3). odiradtvaruparlikLrldr-
nflro r'e5eni je tedy -r, =rrr +-r,,:,kder,,, =.4e:'..\r,: =( (r' prvnim pr'ipadd u=2 ave
druhdur pr'ipade a = 0 nejsou charakteristick6 cisla).
Piiktad 2.l l
Urdete tvar vynucenych kmitfr urechanickeho s-ystdlllll popsaneho rovnici
(2.1l.l) i+9x =./(t) , kde a) f (t) =?cos?1 b) f 0) =2cos3/.
ReSeni:
Charakteristickdrovnice 2t+9=0 piisluSnehomogenni rovnice,t+9.r=0 r-n6ryzein-ragi-
n6rni charakteristick6 disla 2,: - t3i . tedy'flekvence vlastnich knritfr (rru - 3. Frekvence r,y-
nucenych knritfr je v piipade a) cor - 2^ coi. znanrena. 7.e nedochdzi k rezonanci (a - 0, B - 2.
tedy cislo 2i neni chalakteristicke cislo). Tvar vyrr-rcenycli knritfr urcinre odhadern partikul6r-
niho t'e5eni rovnice (2.1i.1): .r,, = .4cos?t + B sin2r (f1'zikalnd to nta(.i. Ze frekvence \ynu-
cenych kmitfi je stejnri jako fi'ekvence harrnonickd budicf sil,v replezentovand funkci ./ ).
Nezn6mdkonstarttyurcintepodosazenir'a i., =--1.{cos2l-'1Bsin2r dorovnice(2.11.1)a
po porovndni koeficientfr Lr clenfr cos 2l a sin 2l:
5lcos 2t + 5Bsin 2l = 2cos2t -> A =l . O =0. V pr'ipadi a) jsou tecly vynr-rcene kmity' dand-_)
lro systdmu urdeny funkci ,,, =?;cosf/ . / e l)i .-)
V piipadd b) je fi'ekvence budici sily co- 3 stejrui jako fiekvence vlastnich kmitfr a tedy dany
systdm je v rezonanci (cr:0, [}= 3.tedy cfslo 3i.je charakteristickd dislo). Odhad parlikul6rni-
ho ieseni je x,, =t(Acos3t+Bsin3/),.Yp =-6Asin3r+68cos3l-9t(lcos3r+Bsin3r). Po
dosazeni do rovnice (2.11.1)dostaneme podnrinku pro nezndnri konstattty A. B:
Q.11.2) -6lsin3t +6Bcos3/ = 2cos3l .
28
Porovn6nim koeficientri u dlenri
v rovnici (2.11.2) dostaneme A
vynucend kmity jsou urdeny funkci
sin 3l
, tedy
X,
Na
(2.i
pismenem b.
iiklad 2.1
Urdete maxim6lni ieienf Cauchvovv f lohv:
(2.12.1)
Reieni:
a) Urdeni obecndho ieSeni homogenni rovnice (2.12.2) ,t - 9-r = 0 .
Charakteristick6 disla rovnice (2.12.2) (tj. koieny charakteristicke rovnice ./,r * 9 = 0) jsou
re6ln6: trt = -3,2. =3. Fundament6lni systdm ie5eni rovnice (2.12..2) tvoii funkce
Qt = e-l' ,Q) = el' ,/ e 9l .
b) Urdeni parlikul6miho ieSeni rovnice (2.12.1).
Pravou stranll rovnice (2.12.1) lze zapsat ve tvaru f : /, -+ y', kde .f, =l2e t' ,.4 = 9lt jsor,
funkce ve tvaru (2.4). Odhad parlikuldrnil.ro i'e5eni pro funkci /ije r,,1 = Ate t' lsrovnejte se
(2.4) a (2.5), cr - -3. B : 0, Po: 12. dislo 3 je jednoduchd charakteristickd cfslo rovnice
(2.12.2)). Po dosazeni xt,t=Ate j' a ir,=-6Aet' +gAtet' do rovnice (2.12.1a)
i -9x =12e 3' dostaneme pro konstantu I podminku: - 6 Ae r' = l2e-3' a tedy A :-2.
Odhadpartikuldrnihoie5eniprofunkci/.je r,,: =At: +Bt+C (cr:B:0, P::91r,(0neni
charakteristickd dislo rovnice (2.12.2)). Po dosazeni xuz: At: + Bt +C a I,,. =2A do
rovnice (2.12.1b) ,t- 9x=9tr dostaneme rovnici (2.12.3\:2A-9A t:-98 t -gC:9r:. Rovnice
(2.12.3) rnusi by splndna pro v5eclma re6lnd l. z(,ehoL plyne, 2e koeficienty u stejnych
mocnin na levd a pravd strand rnusi byt stejnd: -9A:9, -98:0, 2A-9C: 0. Dostalijsme
soustavu tii rovnic pro tii nezn6md konstanty A, B, C. Snadno zjistirne, Ze existuje jedind
ieseni A=-7, B=0,C =-1. Parlikul6rnim ie5enim rovnice (2.12.1) je tedy superpozice
parlikulrirnich ie5eni rovnic(2. 12.1a) a (2.12.1b): -r,, = -2t e t' -,t -i.
I
c) Obecnyrn ie5enim rovnice (2.12.1) je soudet obecndho ieSeni homogenni rovnice (2.12.2) a
paftikul6rniho ieseni rovnice (2.12.1): ,r = C,r t' +C.et' *2te r' -t2 -l ,r.rt.(,
d) Urdeni maximdlniho ieSeni Cauchyovy flohy.
Dosadime podiltedni podminky do ieSenix a i = -3C,e t' +3c.et' +2e 3' (3t _ l) -2t :
))x(0) = C, +C, -: = -;,
"(0)
- -3C, +3C. -2 = 4.Dostaneme soustavu dvou rovnic pro
99
cos 3/ a
I=0.8=:
a
J
t=i-sin3r,te!1 .
J
obr. l2 jsou oznaceny vlastni kmity systdmu
1.1) pismenem a, vvnucend krnity jsotr oznaieny
zv
konstanty C1, C2: C, +C. = 0,- Cr+C. =2,ktera m6 jedrne ieseni
Maxirn6lnim ie5enim dane tilohy je tedy funkce x = -e'3r * n3r - 2t e-3'
dostarrenre pro konstarty A. B podrninktt 2A-4At -28 = t aledv A =
Odhad partikuldmiho ieieni pLo fiurkci.f' je .r,,: = Jcos2t + Bsin2t (rt
lr neni charakteristicke cislo rovnice (2.1 3'2)).
(prod?) C1:
1
9
-1, Cz=
,$1.
L
Fffkt"d t13l
Urcete maxirn6lni ieseni Cauchyovy irlohy:
(2.13.1) i-2*:/-coS2r,x(0)=0,i(0)=2.
ReSenf :
a) Urceni obecneho ieseni hornogenni rovnice (2.13-2) i - 2-i = 0 '
Charakteristicka disla rovnice (2.13.2\ (tj. koieny charakteristicke rovnice A= -2) = 0) jsou
re6ln6: lr = 0 ,). = 2. Fundament6lni systdm ie5eni rovnice (2.13.2) tvoii funkce
Q, =7,Q) = et' ,/ e !1 '
b) Urdeni parlikul6rniho i'eSeni rovnice (2.13.1).
Pravou strattu rovuice (2.13.1)lze zapsat ve tvaru.f '=J't +.f. kde .f,=t,f.=-cos2t jsou
firnkce ve tvaru (2.4). Odhad parlikul6rniho ie5eni pro funkci.flje x,,1 --t(At + B) (srovnejte
se (2.4) a (:.-5). u : 0. B : 0. Pt: t, cisio 0 je jednoduchd charakteristicke dislo rovnice
(2.13.2)). Podosazeni i,,r = 2At+ B a 't,,, =2A da rovnice12'13'la) i-2i=t
B = -1.4
=0.p=?-,P,,---1.
Po dosazeni-\-,, = -2lsin 2t +2Bcos2r fl r,,r = -4lcos2r -4tl sin2t do rovnice
(2. l 3. 1b) t - 2-\-= --cos2l dostanente rovnici (2.13.3):
-(1A+:lB)cos2t +(4A-17)sin2t = -cos2r. Rovnice (2.13.3)r.r-rusi by't sphrdnapro
v5echna re6l16 t.zcehoLplyne.2e koeficienty u stejnych clenfi cos2/, sin2rna levd a prave
straner-nusibj,tstejne: -4A-48:-1,4A-.48-0.Dostalijsmesoustavudvourovtricpro
nezn6nekonstantyl,B Snadnozjistime.2eexistujejedineie5eni A=B=-l'Partikul6mim
ie5enin rovnice (2.13.1) je tedy stiperpozice partikuldnrich t'eSeni rovnic(2.13.1a) a (2.13.1b):
t. = l(cos2r + sin2t)- !11t + r)."'!' g'
4
c) Obecni,6 1eienipr rovpice (2.13.1) je soucet obecndho t'eSeui homogemi rovnice (2.13.2)a
parlikuldniihoieSeni rovnice(2.13.1): r= C,+C.t'1!1cos2t+sin 2t)-:(tr +r).-' - 8 1'
d) Urceni rnaxir.n6lltiho i'eSerli Cauchyovy irlohy.
Dosadinre pod6tedni podminky clo ieseni'r a i = 2("e:'+ l(cos2l -sin 2')- i-:'
r9
x(0)=C, +C. +l=0 , "Y(0) =2Cz=2 asnadnozjistinre,2e (-, = -^,Ci, =l'.r\v, _l - _ g --_ g
Maximdlnirn i'eSeniur dand irlohy je tedy funkce -t =
definovand v intervalu (-"o , oo).
9-, I-r*n- +-(cosrI+ sin 2t) -
|tr' * rl
I
30
Urdete maxim6lni ieSeni Cauchyovy ulohy:
(2.14.1) i-4i+5x=e" +cos/,x(0)=1,.*(0)--1.
ReSenf :
a) urdeni obecneho ieseni homogenni rovnice (2.14.2) i - 4i + 5x = 0.
Charakteristick6 disla rovnice (2.14.2) (tj. koieny charakteristickd rovniceA) *4)+5 =0)
jsou komplexnd sdruZen6: l"r :2 * i,Xz--2 - i. Fundarnentdlni systdm t-e5eni rovnice (2.14'2)
tvoii funkco et = et'cos t,gt = e'' sinI,l e 91 .
b) Urdeni partikul6miho ieSeni rovnice (2'14.1).
Pravou stranu rovnice (2.14.1) lze zapsat ve tvaru f -.f, + /., kde -f, --tt' ..1 = cost jsou
funkce ve tvaru (2.4). Odhad parlikul6miho ie5eni pro funkcift ie xu, = Aet' (srovnejte se
(2.4) a(2.5), a=2,p=0,P0 =1, disio 2 neni charakteristickd dislo rovnice (2.1a.2)). Po
dosazeni xp1 --Aet', i,,,=2Ad' a irt=4Ai' dorovnice (2.14.1a) x-4i+5r=er'
urdime snadno nezn6nrou konstanttt A - l.
Odhad parlikul6miho r'eseni pro funkci.f: ie r,,. = Acosl + Bsin | (a:0, p - 2, Po- 1, i neni
charakteristickd dislo rovnice (2.1 1.2)).
Po dosazeni x r. = Acosl+ Bsinl, i r.= -lsint+ Bcost a i,,, = -'4cost - Bsint do
rovnice (2.i4.1b) i-4"rr+5x = cosl dostaneme podminklr pro konstanty l. B:
(2.14.3) (4A 4 B)cos s+(4A+ 4 B) sin/-cosl. Rovnice (2.1a.3) je splnenapro
v5echna redhi6 1 pr6ve kdyZ je 4 A - 4 B : I a 4 A + 4 B : Q.Je tedl' A = : . B = _'lt ."88
Parlikr-rl6rnim i'eSenim rovnice (2":4.1) je tedy superpozice partikuldrnich r'eSeni rovtric
(2.14.1a) a (2.14.1b): r,, = e:' + g (cos/ -sinl).
c) Obecnyni r'e5enim rovnice (2.14.1)je soucet obecndho ie5eni homogenni rovnice (2.14.2) a
partikul6rniho ie5eni rovnice (2.14.1):
r
(2.14.4) x = et'(C, cos t +C, sint)+n:' *l(cosr-sin/), / e !1 .
d) Urdeni rnaxim6lniho t'eSeni Cauchyovy irlohy.
Dosadiure pod6tedni podminky do t'e3eni (2.14"1) rovuice (2.14.1) a do
* = et'(12C, + C, )cos/ + (2C,- C' )sinl)-l(.otr + sin/ 7 + )e!''.
1x(01= C, + l*: = i
, x(0) =2Ct +C, -:i2=-1a suaduo zjistime,2e'88
c, =-l .(:.=-?1 .88
Maxirn6lnirn i'e3enim dand irlohy je tedy fr,rnkce
"
= -ler'(cos/ + 21sin t)+ t' *l(.or/ -sint). / € i)l .
8 8'
3l
2.3 ulohy
Sestavte linerirni homogennf diferencidlnf rovnici druh6ho Ffdu s konstantnimi
koeficienty, je-li dfn jejf fundamentflni syst6m ie5eni v intervalu (-- ' -).
1. et=€-' ,e2=e)'
3. et=e-3'.et=le3'
5. Qr:l,Qz=t
Uriete maxim6lni ieleni Cauchyovy rilohy:
1. I- 4i + 3x = 0, x(0) = 6,i(0) = 10 8. i +2i * x = 0. x(0) : -2 ,i(0) = 3
9. x+9x:0, x(0) - -2,i(0):3 10. I-2i+2x = 0. x(0) = 0.i(0) = I
ll. i-2*+3x=0.x(0)=l.i(0)=3 12. i-4"r+13x=0.x(0):1,i(0):3
Ddna line{rni diferenciflni rovnice -t + i - lZx = -f (t). Pro danou pravou stranu f(t)
uriete tvar partiku16rniho ie5eni:
13. .f (t)=e'+t
15. / (t): cosl + sin2r
19. .f (.t) = r e'
21. .f'(r): t) + e-)'
2. Q,=1,Qr=€'
4.
6. qt = e-ztcos3r , Q2 = e-2' sin3t
11. ./-(t): e't' + et' +1
16. ./'(r) = t'
26. .l (n = 3 cos.[2 I
Drina linefrni diferencirilni rovnice -,t-2* +x: f (t), Pro danou pravou stranu f(t)
uriete tl ar partikul6rniho ie5eni:
17. f (t): e' cos/ 18. flr)=(/+l)e'
Drina linerirni diferenci:ilni rovnice I+2*: f (t). Pro danou prayou stranu f(t) uriete
tvar partiku16rniho ie5eni:
20. .f(n=l-cosl/
22. .l (tl =,' r' sin il
D6na line:irni diferenci:ilni rovnice I+2*+2x - f (t).Pro danou pravou stranu f(t)
uriete fvar partikul:irniho ie5eni:
23. .f (t): e ' sin2t 21. l'11; : ar, ' cosl
Drina linerirni diferenciflni rovnice I+2x = f (t). Pro danou pravou stranu f(t) uriete
fvar partikul:irniho ieSeni:
25. f(t):l+sin2r
Uriete maximilni ie5eni Cauchyovy rilohy:
27. i+*-2x:9e' -10sinr, 2g. i_*:7_e ),,x(0):_],*(O)=O
x(0)=3,n(0)=-1 o
29. i+9x = 6sin3/+4cos/, 30. ;-4x:4sin 2t +4+e'. x(0) = i(0):0
x(0) :0 , i(0) : -1
JL
Uriete maximflni ie5eni Cauchyovy rilohy:
3l.t-2*+x=sin/,x(0)=1,x(0)=-1 32.i+9x=6cos3r+9sin3/,x(0)=0,*(0)=1
33.;- 4x = 4e2' +8cos2t, x(0)= 0,i(0) = I 34.i-i = 3+ 2t, x(0)= l,x(0) = 0
35. i+ 9x =2cos3/+r,-r(0) = 2,i(0) = -l 36. i+ 4* + 4x = t e2'.x(0) = 0.x(0) = 1
37. i+i=l+ te'' ,x(0) =1,i(0)=-1 38. i+ 4*+4x=4+te r',x(0)=i(0)=0
39. r- i=2+4e2',x(0)=*(0)=0 40. i+4x =2cos2l+1,x(0)=i(0)=0
3 Soustavy line6rnich diferenciiilnich rovnic
Soustavou line6rnich diferenci6lnich rovnic v norm6lnim fvaru na{v6me sou-
stavu rovnic
(3.1) X = A(t)X + B(t),kde X -(r,Q),...,",(r))' jeneznamy vektor, matice
A =lo, (r)). i, j =7,...,n, jematice koeficientu a B =(b,(t),...,b,(r))' j"
tzv.vektor prave strany soustavy.(T zna(,i transponovany vektor.)
Soustavu (3. 1) lze zapsat v souiadnicfch:
*, = a,t(r)x, + a,.(t)-)r. +...+ a,,(t)x,, + b,(t) , i =\,...,t't .
Soustavu (3.1) nazyvarne nehomogenni je-li B nenulovy vektor, v opadn6m pii-
padd mluvime o hornogenni soustavd (3.2) X = A(t)X .
3.{ Soustavy neautonomnich homogennich rovnic
Z6kladni vlastnosti:
l.Existence a jednoznadnost ie5eni Cauchyovy ulohy
Je-li rnatice A(r)spojit6 v otevien6rn intervalu J a pro danou pod6tedni pod-
minku X(t,,) = X,, plati t,, e J,X u e 8,,, pak soustava homogennich rovnic:
(3.2)X = A(t)X m6 pr6ve jedno rnaxirn6lni ie5eni definovand v intervaluJ ,
ktere vyhovuje pod6tecni podrnince .Y (t ) = X ,,
2.Soustava(3.2) tnatzx'. trivi6lni ie5eni O(r): O, O = (0,0,...,0)'.
Toto ieseni je definov6no v intervalu .,/ , v n6rnZ je rnatice I spojit6.
3.Princip superpozice ie5enf
JestliZe vektorov6 funkce (D,(/),...,@* (/) ,t e J,k e lV, jsou ie5eni soustavy
(3.2) v intervalu -/, pak funkce @(r) = It,@, (t),c,e !t je teZ ieseni soustavl'
(3.2) v intervalu J. (Funkce O se na{va line6rni kombinaci funkci
zr) ie5enf soustavy
(3.2)je line6rnE z6vislych v -/, pak kaZd6 ie5enf @(t) soustavy (3.2) lze zapsat
jako line6rnf kornbinaci funkci @,(r),...,O,, (/) : @(r) = I.,(D, (t),, e 91,/ e !1 .
. rl
Syst6m funkci O,(/),...,O,,(/) se nazyva fundament6lni systdm ie5eni sousta-
vy (3.2) v intervalu -/.
5+
Pozndmka 3.1
Je-li matice A spojitd v intervalu J, existuje v tomto intervalu nekoneind mnoho
fundamentdln[ch systdmfi iesen[ soustavy (3 2)
5.Wronski6n
Funkce O,(/),...,@,(r) tvoii fundarnent6lnf syst6rn ieSeni soustavy (3.2)
v intervalu J pr6vd kdyZ wronski6n, tj. deterrninant rnatice sestavend ze sloup-
covych vektorri @,(/),...,@,,(/): w,(t) : det (@,(r),...,@,,(r)), je nenulovy
v intervalu J"
Pozndmka 3.2
Jsou-li funkce @,(/),...,(D,,(r) ieien[ soustavy (3.2) v intervalu J a wronskian
t,ichto ieienf je v n,ljakem bodd r z intervalu J nenulovS',, je v,ronskian nenulovli
v kaidem bode intervalu J.
6.Re5enf Cauchyovy 6lohy pro soustavu (3.2)
JestliZe zname fundament6lni systern ie5eni @,(/),...,O,,(/) soustavy (3 2)
v intervaluJ, pak pro dane pod.6tednf podnrinky t,,eJ,X,,€ E,, nta Cauchyo-
va irloha jedine ieieni @(r) = Ir, a (t),t e-i, piidern i, n-tice redlnych cisel
t.
,i,r.,...,ci, je ieienirn soustavy linedrnfch algebraickych rovnic
(@,(,,,),...,Q,(, ,))(rr ,...,ci,)' : X,, s regularnf rnaticf soustavy.
Poznamka 3.3
Protoie linearni diferencialnl rovnici druheho iadu
(3 3) I + a,(r)i + a.(t)x = 0 lze pievest na soustavu linearn[ch rovnic NarLr
(3 Z1 *' =tr,,i, = -ar(t)x, - a,(/)"r, (oznaiili jsnte xt=ir,xr : i ), platl vlast-
nosti (1) - (6) tez pro rovnici (3 3)
Specidlnd: Jsou-lifunkce a,(t),o.(t) spojite v inten,alu J, nta v tomto intervalt,r
rovnice (3.3) prave jedno maxintalnl ieienI pro poiatein{ podmlnlcy
x(/u) = x,,,i(tu) = x, , t,.,e J ,xu,x, e $t . Dvo.iicefunkcl rp,(t),e.Q) noi{funda-
mentaln{ system ieien[ rovnice (3.3) v intervalu J prave kdyi plati pro t,iechna
t eJ :e + a,(t)a + a.(t)e, =0 ,i:1,2 a v,ronskian tr(t)-Q.'(.t), apt(.t)1,a0
rp,(t) rp.(t)i
D6na Cauchyova irloha
(3.1.r ) x=+( '= 1'lr.x1o;=/' - l[-
21 2t' .)
a) Urdete interval -/maxirn6lnfho iesenf dane irlohy.
r')\'- r,/'
35
b) Ukazte, Ze vektorov6 funkce @, = [i), @, = [ 1] *"ri fundarnentalni systemU ) \/-,/
ieieni soustavy (3. 1 .1 ) v intervalu -{
c) Urdete rnaxim6lnf ie5eni dane Cauchyovy irlohy.
ReSeni:
a) Matice koeficientfr soustavy (3.1.1) neni spojitd vbode t - l, tedy je spojitd v intervalech
(-.c,1)a(l.cc). ProtoZe 1,, =0e (-o-..1). je tento interval intervaler-n J nraxirndlniho i'eieni
dand podiitecni irlohy.
b) Nejdr'ive ovdr-inre, Ze fur-rkce O, ,@, jsou ie5eni sollstavy (3.1.1) v intervalu .,I: Do leve
stranysoustavy(3.1.1)dosadinre *=cb, =f :l.Napravistranesor.rstavy(3.1.1)Lrrdirnesou-\0)
t (rr -t\f r) (t)cnr - l . ll . l :l ^ l. Pro vSechna t zintervalu,/je tedy funkce @, r'eSenir-n sou-
1'-ll ! lr-J\l/ l0l
stavy (3.1.1). Podobne plati pro funkci O.(ovdile). D6le uriinte wronskiAn ieSeni@, .@..
It I
Detet'niinant rr'(f ) = ], ,.t,,=,t 1 j. trenulovy v intervaltt -/. Fulkce O, .O, tedy tvor'i fun-
damer-rt6lni system t'eSeui soustavy 3.1.1 v intervalttJ.
Poznantkct
Staii u'iit hotlnotu tt'r'ott.gkiantL jen v.jeclnont bodi inlervttltt J nu piiklud v hodi 0 je vrort-
i0 Iskidn v'(0) =
^ - -i . Vi: poznamhr 3.2.l0
c) Obecnd r'e5eni soustavy 3.1.1je linedrni konrbinaci fr-rnkci fundameutdlnfho systeutu t-eSeni
fr) | t)tdto soustavy: 2. Delivace funkce .l.'( r) = --l.,-- -l je za-klnk .\ sr .r
pom6 v intet'valu < 2,-) a tedy funkce/sphiuje piedpoklady integr6lniho kliteria. Primitivni
- ,lI -. -, ^funkce F(.r)=
.|- = ln(lnx), nevlastni integrdl Jftrldr = 1t3]ln(lnl)-ln(ln2)=a a"xlllJf
c) (5.4.3) a,, = d) (s.4.4)
tedy i'ada (5.4.3) diverguje.
d) Neni splnena nutnd podnrinka konvergence:
(5.4.4) diverguje.
Pifklad 5.5
Iinrr,,=1i,',',-415 =f *o, r'ada', ''4n-
+ll*j 4
(-1)" n
Ll,, -
",ln(n +l)
divergujf .
D6ny dfseln6 alternujicf iady
a)(5.5.1) o, =et)']: b)t5.5.2) o,,=t!? c)(5.5.3)
(r+l)! ' )t nt+l
Zjistlte, ktere iady konverguji absolutn6,, kter6 relativnd a ktere
(n + l)'
n- +5
74
Re5eni:
a) Rada absolutnich hodnot i: * konverguje dle D'Alembertova kriteria:ft (k +1)l
ri-11'-ll = 1;n,'-Zlg+ = 2lim+ = 0, resp. (xu -R,x,, + R)>.
Cislo R > 0 se na4rvit polorndrem konvergence mocninn6 iady (5.6). V piipad6
I pi5eme, Ze polorndr konvergence R = 0, v piipadd 2 pi$erne R : co .
76
Pozndmka 5.6
Absolutnf konvergenci iady (5 6) lze vysetiit pomocf D'Alemberror: kritdria pro
i{selnd iady s kladnymi ileny. Existuie li vlastni limita |tglful * O pak''"1 c, I
z D'Alembertova kriteria plyne, ie pro viechna x, pro nei platl nerovnos,t
ir-rol.R ,ti, pro viechna x v inter,^alu J =(xu -R,ro +R), kde R=ml3l,n-* lc ,*, I
konverguje lada (5.6) absolutnd. (Je-ti hml:t--l=a, konverguie lada (5.6) ab-'t-lc ,l
I n+tl
solutnd v intervalu (-@,a), ie-li ,,lyl ^ l= 0 , konverguie pouze v bode xu.)'-lc
,*, I
Pro viechna x, pro ndi platl l, - ,ul t R, iada (5.6) diverguje.
V krajnich bodech intervalu J nelze o konvergenci resp divergenci iady rozhod-
nout podle D'Alentbertova kyitdria a je tieha pouilt nektere: kriteriI pro iiselne
lady. Jestliie iada (5.6) konverguje v jednom krajn[m bodd intert,alu J absolut-
ne, konverguje absolutn,! i ve druhem krcln[m bodd.
Spoj itost soudtu iady(5.6')
Necht' iada (5.6) konverguje v intervalu J s polorndrem konvergence R. Pak sou-
det s (x) t6to iady je funkce spojit6 v intervalu J.
Operace s mocninnymi iadami
l. Sdit6nf a n6sobeni rnocninnifch iad
Necht' jsou dany dvd konvergentni iady:
_1_(A)
ZooQ - xu)o = a(x) s polomdrem konvergence R,,r:,
(B) Lur(, - xu)' = b(x) s polorndrem konvergence R"
t=0
Soudtem iad (A), tB) je rada f cr(x-x,,)o,kde co=eo+bo, kter6 konverguje
s polom6rem konvergence n = -in (R,,R, ) a mitsoudet c(x) = a(x) + b(*) .
Soudinem re6ln6ho (,isla m * 0 a iady (A) je iada
gz;k
)-*oo(" - ro)r = *a(x), kter6 konverguje s polom6rem konvergence R, .
k=0
Soudinem iad (A), (B) je iada
_t_
Lro@ - xu)* - a(x)b(x), kde co = eobo + a,bo-, +...+ aob,,, kter6 konverguje
k=0
s polom6rem konvergence R = min(R,,R.).
2. Derivace mocninne iady
-1_Necht'iada
I cu(x - ro)o = "f (r) konverguje s polomdrem konvergence R > 0.
k =\)
Pak funkce "f (r) m6 v intervalu J:(xn - R,x. + R) derivaci -f'(r) a plati
f'(x\=>kc^ (x -.r,,)^' . x e J .
:. rnt"gr;ce mocninne iady
:-Necht' iada
)c^(x - x.)* : J G) konverguje v intervalu J : (x,, - R,xn + R),
k -(l
R > 0. Pak diseln6 rada i'1r,6- x,,)o dr, kde u, B jsou libovolna cisla
k =\) ,',
z intervalu -/, konverguje a rn6 soudet s = [f 1x)dx.
u
Mocninn6 iada JtI.^ (x - x,, )^ )dx =i*(" - "u)0.' konverguje pro kaLde
x e J a rn6 soudet tr(r), kde F(x) ;. Orflnl,f'uni funkce k funkc \ f(x) v J.
Piiklad 5.7
D6na geornetrick6 iada. Zapilte d6stedny soudet s,(x) iady. ZjistEte, pro kter6 r
iada konverguje a urdetejeji soudet.
.j- ,-,.,xtr ' '.(3)-a) (5.7.1) It-l)^
, - b) (5.7.2) Isin' r.r c) (5.7.3) >l . I
.
r=o lO k-() l=r\X/
ReSeni:
116r
a) s,(r)=-f *| - j"*1. fuo.ient iady (5.7.1) q=_ 1. tedy iada konverguje plo16 16- 16',
1
16
vSechna x sphiujicf nerovnost ]- .l - lrl .4, tj.pro x e (-4,4). Soucet iady (5.7.1) je16
_16
s(.t) = _ ".-re(--1.4).lb+r-
b) s-l(x)=l+sin2r+sintl..+sinrl.r. Kvocient r=ady (,5.1.1) q=sin2-r. tedy iada konver-
/ * -\gtrje pro
v5echna-r sphiujici nerovnost lsin2rl < 1. tj. pro r e K =[ Jl tZ t _ t)],Qk +l)+ l,
Y\ 4 1)
kcle t je celd dislo.Soucet iady (5.1.2)je funkce s(r) =. : ^ , r e K.I * srn l"r
r rl rJ1'!-)
c)s,(.r)=i+1+ l
r .\- r'
78
Kvocient iady
l1 .t=lxl >r,lxl
(5.7.3) je funkce
a1
(5.7.3) Q = 1,x
tj. iada (5.7.3)
a
Js(x)=
.,x€x-5
Pro danou funkci/urdete geometrickou iadu mocnin o z6kladu x - ro, jejiZ sou-
detje f(*),, x e K a urdete mnoZinu K.
a) -f(x)=+,x,,=-3 b) f(x)=I,x,, =0 c) -f1l=1,t,,=4.2+x 27-x' x
ReSenf :
a) Porovn6rne-li funkcif se vzorcem pro soudet geometrickd iady s prvnim dlenem a, ^
skvocientem q: t =J-,lql .1, je viddt, Le po fipravd na tvar -f(r)=. . ' ^. jel-q l-(x+3)
a=-3,Q=x+3 atedy ,f(x)=-lit"+3)' ,xe (-4,_ 2),xo =-3.
k-0
!
b) Funkcif upraviure na tvar' -f (r) = -!-, tedy o = r^t- .n = -l u
l_r' 27 2727
e -3k+2
boli /(x) = > )^, x e (-3,3), x,, =0."
u ')'7 K+l
k=o4t
c) Funkci/upravime na tvar -f (r) =
*|,
=
ij= , tedy a
=
rr
4
- ,., (x - 4)^Funkce f(x)=)(-l)^
nt,t .xe(0.8). xu =4.T
K =\l
tedy iada konverguje pro v5echna x sphiujici nerovnost
konverguje v mnoZind K = (-m, - 3) u (3, *) . Soudet r-ady
K,
1i
. S-'\ Il(xl-_ ) __, . ne_
4 )1 a1^
a t)_t Lt
1
4
-t
.q=
Diina mocninn6 iada:
(5.e.1)
a) ZaplSte soudet prvnfch dtyi nenulor,ych dlent iady.
b) Urdete v5echna x, pro ndZ iada konverguje absolutnd a pro ndZ konverguje
relativn6.
c) Urdete viechna x, pro ndLiada diverguje.
Reieni:
x+2 (x+2)r (x+2)3
A) tr ---- T r T*-- - .34 2 9J5 27
"lt}
b) Nejdiive vysetiime absolutni konvergenci iady (5.9.1): Podil absolutnich hodnot (n+l)-ho
dlenu unt,(x) = -$=:
3'-'J(n+l):+l
(mocni66 iada konverguje absolutnd ve svdrn stiedtt, proto nebudeme tuto podminku d6le
zapisovat) zapsat ve tvaru
'r . ,l lx +2( l.r + 21 3' ,[7*l lr * 2r E -1 +^r., .. u,.,i tx +2'
'-_-,:=
i ,, i- 3' 3,[n\ -. ]x + 21" 3 V rz-' +...
' " "'1 I,n i i
D'