Skkripta Matice

Obsah
1 Matice 3
1.1 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Soustavy linea´rnı´ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Maticove´ rovnice a vy´pocˇet inverznı´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Elementa´rnı´ matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Rˇ esˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Vektory a vektorove´ prostory 23
2.1 Linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost vektoru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Sourˇadna´ soustava a ba´ze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Skala´rnı´ soucˇin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Rˇ esˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Hodnost matice 37
3.1 Rˇ a´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Rˇ esˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Determinanty 43
4.1 Definice a vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Soustavy linea´rnı´ch rovnic s regula´rnı´ maticı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Rˇ esˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Linea´rnı´ zobrazenı´ 55
5.1 Matice linea´rnı´ho zobrazenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Transformace sourˇadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Cvicˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4 Rˇ esˇenı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Seznam literatury 61
1
Kapitola 1
Matice
Maticı´ A typu .m;n/ rozumı´me soustavu mn cˇı´sel usporˇa´dany´ch do m rˇa´dku˚ a n sloupcu˚:
A D
0
BB
B@
a11 a12 ::: a1n
a21 a22 ::: a2n
::: ::: ::: :::
am1 am2 ::: amn
1
CC
CAI (1.1)
aij nazy´va´me prvek matice na mı´steˇ .i;j/; tedy v i-te´m rˇa´dku a j-te´m sloupci. Mı´sto (1.1) pı´sˇeme
take´ strucˇneˇ A D .aij/:
Prvky matice jsou obvykle cˇı´sla. Jsou-li vsˇechna rea´lna´, mluvı´me o rea´lne´ matici, jsou-li komplexnı´,
mluvı´me o matici komplexnı´. Pokud nebude v dalsˇı´m uvedeno jinak, budeme pracovat s komplexnı´mi
maticemi a prˇı´vlastek komplexnı´ budeme vynecha´vat. Matice A D .aij/ a B D .bij/ se rovnajı´, jsou-li
stejne´ho typu a na odpovı´dajı´cı´ch si mı´stech majı´ stejne´ prvky, t.j. aij D bij pro vsˇechna i;j:
Matice o jedine´m rˇa´dku nebo jedine´m sloupci budeme take´ nazy´vat vektory (rˇa´dkove´ nebo sloupcove´).
Pro oznacˇenı´ vektoru˚ budeme obvykle pouzˇı´vat pı´smena male´ abecedy a jejich prvky budeme indexovat
jediny´m indexem, tedy naprˇ. a D .a1;:::;an/: Matici (libovolne´ho typu), jejı´zˇ vsˇechny prvky jsou
rovny 0; budeme nazy´vat nulovou a znacˇit O: Pro nulovy´ vektor (rˇa´dkovy´ i sloupcovy´) budeme
pouzˇı´vat symbol o:
Je-li A matice typu .m;n/; kde m D n; nazy´va´ se cˇtvercova´ n-te´ho rˇa´du. Hlavnı´ diagona´lou
cˇtvercove´ matice A D .aij/ n-te´ho rˇa´du rozumı´me n-tici jejı´ch prvku˚ a11;a22;:::;ann: Vy´znamnou
roli mezi cˇtvercovy´mi maticemi majı´ matice troju´helnı´kove´ a diagona´lnı´. Cˇtvercova´ matice A D .aij/
n-te´ho rˇa´du se nazy´va´ hornı´ troju´helnı´kova´, je-li aij D 0 pro i >j; i;j D 1;:::n; dolnı´ troju´helnı´-
kova´, je-li aij D 0 pro i i; pak i ve vsˇech na´sledujı´cı´ch rovnicı´ch
jsou nulove´ koeficienty aj;iC1;:::;ajk .j >i/: Pro u´pravu soustavy (1.4) na tvar (1.6) mu˚zˇeme pouzˇı´t
ktere´koliv z na´sledujı´cı´ch operacı´:
K jedne´ rovnici prˇicˇteme jaky´koliv na´sobek jine´ rovnice.
Zmeˇnı´me porˇadı´ rovnic.
Kteroukoliv rovnici vyna´sobı´me nenulovy´m cˇı´slem.
12 Kapitola 1
Tyto operace budeme souhrnneˇ nazy´vat elementa´rnı´. Jak vyplyne z veˇty 1.14, jejich pouzˇitı´ nemeˇnı´
rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ soustavy. Upravena´ soustava (1.6) prˇitom umozˇnˇuje snadny´ vy´pocˇet nezna´my´ch pocˇı´naje
poslednı´ rovnicı´ a na´sledujı´cı´m postupny´m dosazova´nı´m do rovnic prˇedcha´zejı´cı´ch. Strategie volby
elementa´rnı´ch operacı´ prˇi u´praveˇ soustavy (1.4) na tvar (1.6) za´visı´ na rˇadeˇ faktoru˚ a v tomto textu
se jı´ nebudeme zaby´vat. Podrobnosti lze nale´zt naprˇı´klad v [4] nebo [5]. Protozˇe soustava (1.4) je
jednoznacˇneˇ charakterizova´na svou rozsˇı´rˇenou maticı´ (1.5), je vhodne´ elementa´rnı´ operace prova´deˇt
s rˇa´dky te´to matice a teprve v za´veˇru prˇejı´t opeˇt k za´pisu ve tvaru rovnic. Mozˇny´ postup uka´zˇeme na
konkre´tnı´m prˇı´kladeˇ. V neˇm ri znacˇı´ i-ty´ rˇa´dek prˇı´slusˇne´ rozsˇı´rˇene´ matice.
Prˇı´klad 1.7 Vypocˇteˇte vsˇechna rˇesˇenı´ soustavy
x1C x2 2x3 x4C x5 D 2
2x1C4x2 3x3 x4C x5 D 6
3x1C x2C7x3C3x4 3x5 D 0
3x1C x2 5x3 x4C3x5 D 0
0
BB
@
1 1 2 1 1 2
2 4 3 1 1 6
3 1 7 3 3 0
3 1 5 1 3 0
1
CC
A




r1
r2 :D r2 2r1
r3 :D r3 C 3r1
r4 :D r4 3r1




)
0
BB
@
1 1 2 1 1 2
0 2 1 1 1 2
0 4 1 0 0 6
0 2 1 2 0 6
1
CC
A




r1
r2
r3 :D r3 2r2
r4 :D r4 C 1r2




)
)
0
BB
@
1 1 2 1 1 2
0 2 1 1 1 2
0 0 1 2 2 2
0 0 2 3 1 4
1
CC
A




r1
r2
r3
r4 :D r4 C 2r3




)
0
BB
@
1 1 2 1 1 2
0 2 1 1 1 2
0 0 1 2 2 2
0 0 0 1 3 0
1
CC
A
Poslednı´ matice odpovı´da´ soustaveˇ
x1C x2 2x3 x4C x5 D 2
2x2C x3C x4 x5 D 2
x3C2x4 2x5 D 2
x4C3x5 D 0
V poslednı´ rovnici mu˚zˇe by´t nezna´ma´ x5 zvolena zcela libovolneˇ: x5 D t; t 2 R: Pro x4 pak z te´to
rovnice vycha´zı´ x4 D 3t: Dosadı´me x4 a x5 do prˇedposlednı´ rovnice a vypocˇteme x3 : x3 D 2 4t:
Z druhe´ rovnice pak dostaneme x2 D 2 C 4t a z prvnı´ x1 D 2 3t: Celkem tedy
x D
0
BB
BB
@
2 3t
2 Ct
2 4t
3t
t
1
CC
CC
A
t 2 R:
1.2. Soustavy linea´rnı´ch rovnic 13
V dalsˇı´m prˇı´kladu uvedeme vy´sledek pro homogennı´ soustavu rovnic, na neˇjzˇ se pozdeˇji budeme cˇasto
odvola´vat.
Prˇı´klad 1.8 Uvazˇujme soustavu
a11x1 Ca12x2 C Ca1nxn D 0
a21x1 Ca22x2 C Ca2nxn D 0
:::
am1x1 Cam2x2 C Camnxn D 0;
kde m n; jsou
libovolne´ vektory z V: Pak v1;:::;vm jsou linea´rneˇ za´visle´.
Du˚kaz. Z vlastnostı´ ba´ze vyply´va´, zˇe kazˇdy´ z vektoru˚ v1;:::;vm lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci
vektoru˚ b1;:::;bn: Bude tedy
v1 D a11b1 C Can1bn
v2 D a12b1 C Can2bn:
:: (2.6)
vm D a1mb1 C Canmbn:
Uvazˇme nynı´, kdy bude
1v1 C C mvm D o:
2.2. Sourˇadna´ soustava a ba´ze 29
Dosazenı´m do tohoto vztahu za v1;:::;vm z (2.6) dostaneme po u´praveˇ
.a11 1 C Ca1m m/b1 C C.an1 1 C Canm m/bn D o:
Protozˇe vektory b1;:::;bn jsou linea´rneˇ neza´visle´, musı´ by´t vsˇechny koeficienty v te´to linea´rnı´ kombi-
naci rovny nule:
a11 1 C Ca1m m D 0:
::
an1 1 C Canm m D 0:
V te´to homogennı´ soustaveˇ n rovnic pro m nezna´my´ch 1;::: m je m > n, takzˇe podle prˇı´kladu
(1.8) ma´ tato soustava nenulove´ rˇesˇenı´. To vsˇak znamena´ zˇe vektory v1;:::;vm jsou linea´rneˇ za´visle´. 4
Veˇta 2.4 Kazˇde´ dveˇ ba´ze vektorove´ho prostoru V majı´ ty´zˇ pocˇet prvku˚.
Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe b1;:::;bn a c1;:::;cm jsou libovolne´ dveˇ ba´ze prostoru V: Protozˇe
vektory kazˇde´ z ba´zı´ jsou linea´rneˇ neza´visle´, dosta´va´me dvojna´sobny´m pouzˇitı´m prˇedcha´zejı´cı´ veˇty
m n a n m:
Odtud plyne, zˇe m D n a obeˇ ba´ze majı´ stejny´ pocˇet prvku˚. 4
I kdyzˇ ba´ze vektorove´ho prostoru nenı´ nikdy urcˇena jednoznacˇneˇ, neza´visı´ pocˇet jejı´ch prvku˚ na jejı´m
vy´beˇru. Na´sledujı´cı´ definice je tedy korektnı´.
Definice. Pocˇet prvku˚ ba´ze vektorove´ho prostoru V nazy´va´me dimenzı´ V a znacˇı´me dimV:
Prˇipomenˇme znovu, zˇe jsme se omezili pouze na ty vektorove´ prostory, v nichzˇ existujı´ ba´ze o konecˇneˇ
mnoha prvcı´ch. Z veˇty 2.3 vyply´va´, zˇe dimenze vektorove´ho prostoru V je rovna maxima´lnı´mu pocˇtu
linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ ve V:
Prˇı´klad 2.7 Z prˇı´kladu 2.5 dosta´va´me te´meˇrˇ samozrˇejmy´ vy´sledek: dim Rn D n:
Na za´veˇr tohoto odstavce jesˇteˇ doka´zˇeme, zˇe prˇi zna´me´ dimenzi vektorove´ho prostoru je nalezenı´ jeho
ba´ze vy´razneˇ jednodusˇsˇı´m proble´mem a da´le dveˇ veˇty o zachova´nı´ linea´rnı´ za´vislosti, resp. neza´vislosti
prˇi na´sobenı´ maticı´.
Veˇta 2.5 Necht’ V je vektorovy´ prostor dimenze n a necht’ v1;:::;vn jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory
z V: Pak vektory v1;:::;vn tvorˇı´ ba´zi V:
Du˚kaz. Vzhledem k linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ v1;:::;vn stacˇı´ uka´zat, zˇe jejich linea´rnı´ obal je
roven V: Polozˇme W D hv1;:::;vni a ukazˇme, zˇe W D V: Je zrˇejme´, zˇe W V; takzˇe stacˇı´ oveˇrˇit,
zˇe V W: Zvolme libovolneˇ u 2 V: Protozˇe dimV D n; jsou podle veˇty 2.3 vektory u;v1;:::;vn
linea´rneˇ za´visle´, nebot’jich je nC 1: Existujı´ tedy cˇı´sla 0; 1;:::; n tak, zˇe
0u C 1v1 C C nvn D o; (2.7)
prˇicˇemzˇ asponˇ jedno z nich je nenulove´. Pokud by bylo 0 D 0; pak by vektory v1;:::;vn byly linea´rneˇ
za´visle´, cozˇ podle prˇedpokladu veˇty nenı´ mozˇne´. Je tedy 0 6D 0 a z (2.7) dosta´va´me
u D 1
0

1v1 C C nvn
;
neboli vektor u jakozˇto linea´rnı´ kombinace vektoru˚ v1;:::;vn patrˇı´ do W: To znamena´, zˇe V W a
du˚kaz je hotov. 4
30 Kapitola 2
Veˇta 2.6 Necht’ A je matice typu .m;n/ a necht’ x1;:::;xk jsou linea´rneˇ za´visle´ vektory z Cn: Pak
vektory Ax1;:::Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ za´visle´.
Du˚kaz. Z linea´rnı´ za´vislosti vektoru˚ x1;:::;xk vyply´va´, zˇe existujı´ cˇı´sla 1;:::; k; ne vsˇechna
nulova´, tak, zˇe
1x1 C C kxk D o:
Odtud dosta´va´me po vyna´sobenı´ obou stran maticı´ A zleva:
o D Ao D A. 1x1 C C kxk/ D 1Ax1 C C kAxk;
cozˇ znamena´, zˇe vektory Ax1;:::Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ za´visle´. 4
Veˇta 2.7 Necht’ A je regula´rnı´ matice n-te´ho rˇa´du a necht’ x1;:::;xk jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory
z Cn: Pak vektory Ax1;:::Axk jsou rovneˇzˇ linea´rneˇ neza´visle´.
Du˚kaz. Vysˇetrˇeme, pro ktera´ 1;::: k platı´
1Ax1 C C kAxk D o: (2.8)
U´ pravou podle vztahu˚ (d) z veˇt 1.3 a 1.4 dosta´va´me A. 1x1 C C kxk/ D o; odkud vyna´sobenı´m
obou stran maticı´ A 1 zleva plyne
1x1 C C kxk D o:
Vzhledem k prˇedpokladu linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ x1;:::;xk je poslednı´ rovnost, a tedy i rovnost
(2.8) splneˇna pouze pro 1 D D n D 0: To vsˇak znamena´, zˇe vektory Ax1;:::;Axk jsou linea´rneˇ
neza´visle´. 4
2.3 Skala´rnı´ soucˇin
U´ vahy o skala´rnı´m soucˇinu omezı´me pouze na aritmeticke´ vektory. Narozdı´l od obecne´ho prˇı´stupu
tak budeme pracovat s konkre´tneˇ definovany´m vzorcem pro vy´pocˇet skala´rnı´ho soucˇinu, ktery´ bude
navı´c mozˇne´ prˇeve´st i do maticove´ podoby. Je vsˇak trˇeba zdu˚raznit, zˇe pu˚jde nejen o rea´lne´, ale i
komplexnı´ aritmeticke´ vektory a definice skala´rnı´ho soucˇinu musı´ tento pozˇadavek zohlednit. Skala´rnı´
soucˇin vektor