Skkripta Matice

u˚ x a y budeme v dalsˇı´m znacˇit .x;y/:
Definice. Pro libovolne´ vektory x D .x1;:::;xn/T; y D .y1:::;yn/T z Cn nebo Rn definujeme
jejich skala´rnı´ soucˇin vztahem
.x;y/ D
nX
kD1
xkyk: (2.9)
Veˇta 2.8 Skala´rnı´ soucˇin (2.9) ma´ v Cn i Rn na´sledujı´cı´ vlastnosti:
(1) .x;y/ D .y;x/ pro vsˇechny vektory x;y:
(2) .x C y;z/ D .x;z/C.y;z/ pro vsˇechny vektory x;y;z:
(3) . x;y/ D .x;y/ pro vsˇechny vektory x;y a vsˇechna cˇı´sla :
2.3. Skala´rnı´ soucˇin 31
(4) .x;x/ 0 pro vsˇechny vektory xI rovnost platı´ jen pro x D o:
Du˚kaz. Vlastnosti (1) – (3) vyply´vajı´ prˇı´mo z (2.9) a vlastnost (4) ze vztahu
.x;x/ D
nX
kD1
xkxk D
nX
kD1
jxkj2: (2.10)
Du˚sledek 2.1 Pro libovolny´ vektor x a libovolne´ cˇı´slo platı´
.x; y/ D .x;y/:
Du˚kaz. Je kombinacı´ vlastnostı´ (1) a (3). 4
Uvedene´ cˇtyrˇi vlastnosti lze take´ povazˇovat za za´klad axiomaticke´ definice skala´rnı´ho soucˇinu v libo-
volne´m linea´rnı´m prostoru (ne nutneˇ konecˇne´ dimenze). Jsou-li neˇktera´ tvrzenı´ v te´to kapitole vyslovena
pro obecny´ linea´rnı´ nebo vektorovy´ prostor V mı´sto Cn nebo Rn , pak skala´rnı´m soucˇinem ve V
rozumı´me jake´koliv zobrazenı´ V V ! C; majı´cı´ cˇtyrˇi vy´sˇe uvedene´ vlastnosti. Povsˇimneˇme si, zˇe
skala´rnı´ soucˇin vektoru˚ x a y v Cn i Rn lze vyja´drˇit te´zˇ pomocı´ maticove´ho na´sobenı´:
.x;y/ D xTy: (2.11)
Zde y D .y1;:::;yn/T: Du˚lezˇity´ je vztah skala´rnı´ho soucˇinu a na´sobenı´ rea´lnou maticı´.
Veˇta 2.9 Necht’ A je rea´lna´ cˇtvercova´ matice n-te´ho rˇa´du a x;y 2 Cn: Pak
.Ax;y/ D .x;ATy/:
Du˚kaz. Na za´kladeˇ (2.11) je .Ax;y/ D .Ax/Ty D .xTAT/y D xT.ATy/ D .x;ATy/: 4
Du˚sledek 2.2 Pro libovolnou rea´lnou symetrickou matici A a libovolne´ vektory x;y 2 Cn platı´
.Ax;y/ D .x;Ay/: (2.12)
Pomocı´ skala´rnı´ho soucˇinu zavedeme nynı´ pojem velikosti vektoru a ortogona´lnosti (kolmosti)
vektoru˚.
Definice. Cˇı´slo p.x;x/ nazy´va´me velikostı´ vektoru x a znacˇı´me jjxjj: Vektory x;y se nazy´vajı´
ortogona´lnı´, jestlizˇe .x;y/ D 0: Vektory x1;x2;:::;xk se nazy´vajı´ ortonorma´lnı´, jestlizˇe
.xi;xj/ D
D 1 pro i D j
0 pro i 6D j :
Ba´zi tvorˇenou ortonorma´lnı´mi vektory nazy´va´me ortonorma´lnı´ ba´zı´.
Prˇı´kladem ortonorma´lnı´ ba´ze v Cn a Rn je standardnı´ ba´ze E: Nynı´ uka´zˇeme, zˇe ortonorma´lnı´ ba´ze
existuje v kazˇde´m nenulove´m vektorove´m prostoru se skala´rnı´m soucˇinem. Nejdrˇı´ve odvodı´me linea´rnı´
neza´vislost libovolne´ konecˇne´ ortonorma´lnı´ mnozˇiny.
Veˇta 2.10 Kazˇda´ konecˇna´ ortonorma´lnı´ mnozˇina je linea´rneˇ neza´visla´.
32 Kapitola 2
Du˚kaz. Necht’ fx1;:::;xkg tvorˇı´ ortonorma´lnı´ mnozˇinu a necht’
1x1 C C kxk D o: (2.13)
Vyna´sobme obeˇ strany rovnice 2.13 skala´rneˇ vektorem xl; 1 l k: Protozˇe .xi;xl/ D 0 pro i 6D l;
dosta´va´me l.xl;xl/ D 0: Odtud, vzhledem k tomu, zˇe .xl;xl/ D 1; plyne l D 0 pro l D 1;:::;k;
cozˇ znamena´ linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚ x1;:::;xk: 4
Veˇta 2.11 Necht’ a1;:::;ak jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory v Cn: Pak existujı´ ortonorma´lnı´ vektory
q1;:::;qk tak, zˇe ha1;:::;aki D hq1;:::;qki:
Du˚kaz. Existenci uka´zˇeme matematickou indukcı´ podle k: Tvrzenı´ je zrˇejme´ pro k D 1: stacˇı´
polozˇit q1 D a1=jja1jj: Necht’ nynı´ tvrzenı´ platı´ pro k 1 vektoru˚ a necht’ vektory a1;:::;ak jsou
linea´rneˇ neza´visle´. Podle indukcˇnı´ho prˇedpokladu existujı´ ortonorma´lnı´ vektory q1;:::;qk 1 tak, zˇe
ha1;:::;ak 1i D hq1;:::;qk 1i: Oznacˇme
rik D .qi;ak/ pro i D 1;:::;k 1 (2.14)
a polozˇme
eqk D ak
k 1X
iD1
rik qi: (2.15)
Pro l D 1;:::;k 1 pak je
.ql;eqk/ D .ql;ak/
k 1X
iD1
.qi;ak/.ql;qi/ D .ql;ak/ .ql;ak/ D 0: (2.16)
Kromeˇ toho eqk 6D 0; nebo˛ jinak by na za´kladeˇ (2.15) byl vektor ak linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚
q1;:::;qk a tedy take´ linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ a1;:::;ak; cozˇ vzhledem k linea´rnı´ neza´vislosti
vektoru˚ a1;:::;ak nenı´ mozˇne´. Polozˇı´me-li nynı´ qk Deqk=jjeqkjj; je na za´kladeˇ (2.15) hq1;:::;qki D
ha1;:::;aki a z (2.16) vyply´va´ ortogona´lnost vektoru˚ q1;:::;qk: 4
Postupu, ktery´ byl pouzˇit v tomto du˚kazu se rˇı´ka´ Gramu˚v–Schmidtu˚v ortonormalizacˇnı´ proces. Umozˇnˇuje
„ortonormalizovat“ libovolnou linea´rneˇ neza´vislou mnozˇinu vektoru˚, t.j. nahradit libovolnou linea´rneˇ
neza´vislou mnozˇinu mnozˇinou ortonorma´lnı´, ktera´ ma´ stejny´ linea´rnı´ obal jako mnozˇina pu˚vodnı´, a to
nejen v Cn; ale v jake´mkoli linea´rnı´m prostoru se skala´rnı´m soucˇinem. Du˚kaz veˇty 2.11 je soucˇasneˇ
na´vodem, jak hledane´ ortonorma´lnı´ vektory vypocˇı´st. Klı´cˇovou roli zde hraje vztah (2.15).
Prˇı´klad 2.8 K vektoru˚m
a1 D .1;1;1; 1/; a2 D .0;0; 1;1/; a3 D .1; 2;0;3/
vypocˇteˇte ortonorma´lnı´ vektory q1;q2;q3 tak, aby ha1;a2;a3i D hq1;q2;q3i:
2.3. Skala´rnı´ soucˇin 33
Rˇesˇenı´. Vy´pocˇet probı´ha´ podle pra´veˇ provedene´ho du˚kazu. Pro usnadneˇnı´ porovna´nı´ pouzˇı´va´me stejne´
symboliky jako v du˚kazu.
1) Polozˇı´me q1 D a1=jja1jj D 12.1;1;1; 1/:
2) Vektor eq2 hleda´me ve tvaru
eq2 D a2 r12q1; (2.17)
kde koeficient r12 bude takovy´, aby .q1;eq2/ D 0: Vyna´sobme obeˇ strany rovnosti (2.17) skala´rneˇ
vektorem q1: Pak bude
0 D .q1;a2/ r12.q1;q1/ D 1 r12:
Odtud vycha´zı´ r12 D 1 a eq2 D a2 C q1 D 12.1;1; 1;1/: Protozˇe jjeq2jj D 1; bude q2 Deq2:
3) Vektor eq3 hleda´me ve tvaru
eq3 D a3 r13q1 r23q2; (2.18)
kde koeficienty r13 a r23 budou takove´, aby .q1;eq3/ D 0 a .q2;eq3/ D 0: Vyna´sobme nejdrˇı´ve obeˇ
strany rovnosti (2.18) skala´rneˇ vektorem q1: Dostaneme
0 D .q1;a3/ r13.q1;q1/ r23.q1;q2/ D 2 r13;
odkud r13 D 2: Vyna´sobme da´le obeˇ strany rovnosti (2.18) skala´rneˇ vektorem q2: Dostaneme
0 D .q2;a3/ r13.q2;q1/ r23.q2;q2/ D 1 r23;
odkud vycha´zı´ r23 D 1: Pak eq3 D a3 C 2q1 q2 D 12.3; 3;3;3/: Protozˇe jjeq3jj D 3; je
q3 D 12 1; 1;1;1 :
Celkem tedy je
q1 D 12 1;1;1; 1 ; q2 D 12 1;1; 1;1 ; q3 D 12 1; 1;1;1 :
Uplatnı´me-li Gramu˚v–Schmidtu˚v proces na ba´zi vektorove´ho prostoru, dosta´va´me:
Du˚sledek 2.3 V kazˇde´m nenulove´m vektorove´m prostoru, ve ktere´m je definova´n skala´rnı´ soucˇin,
existuje ortonorma´lnı´ ba´ze.
Vsˇimneˇme si, zˇe vzorec (2.15) je velice podobny´ vzorci pro maticove´ na´sobenı´; po maly´ch u´prava´ch
jej opravdu lze do maticove´ho tvaru prˇeve´st. Prˇedpokla´dejme, zˇe linea´rneˇ neza´visle´ vektory a1;:::;am
postupneˇ nahrazujeme ortogona´lnı´mi vektory q1;:::;qm tak, zˇe pro k D 1;:::;m platı´ (2.15). Polozˇme
jesˇteˇ
rkk D jjeqkjj pro k D 1;:::;m a rik D 0 pro i D k C 1;:::;m: (2.19)
Pak z (2.15) dosta´va´me
ak Deqk C
k 1X
iD1
rik qi D rkk qk C
k 1X
iD1
rik qi D
mX
iD1
rik qi:
34 Kapitola 2
Pro j -tou sourˇadnici ajk vektoru ak pak je
ajk D
mX
iD1
rikqji D
mX
iD1
qjirik:
To prˇesneˇ odpovı´da´ maticove´mu soucˇinu
A D QR;
kde sloupce matice A tvorˇı´ vektory a1;:::;am; sloupce matice Q vektory q1;:::;qm a R je troju´-
helnı´kova´ matice rˇa´du m; jejı´zˇ prvky jsou (jednoznacˇneˇ) urcˇeny vztahy (2.14) a (2.19). Dosta´va´me tı´m
veˇtu o QR rozkladu.
Veˇta 2.12 Necht’ A je matice typu .n;m/ s linea´rneˇ neza´visly´mi sloupci. Pak existuje matice Q typu
.n;m/ s ortonorma´lnı´mi sloupci a troju´helnı´kova´ matice R rˇa´du m tak, zˇe platı´
A D QR:
Prˇı´klad 2.9 Vy´sledek prˇı´kladu 2.8 lze zapsat ve tvaru A D QR; kde
A D
0
BB
@
1 0 1
1 0 2
1 1 0
1 1 3
1
CC
A; Q D
1
2
0
BB
@
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
CC
A; R D
0
@
2 1 2
0 1 1
0 0 3
1
A:
2.4 Cvicˇenı´
2.1 Vypocˇteˇte vsˇechna 2 R; pro neˇzˇ budou linea´rneˇ neza´visle´ vektory
u D .1;3;4/; v D .2;8; 2/; w D .3;11; /:
2.2 Vypocˇteˇte, pro ktera´ x;y;z 2 R budou linea´rneˇ neza´visle´ vektory
u D .1;x;x2/; v D .1;y;y2/; w D .1;z;z2/:
2.3 Zjisteˇte, zda jsou linea´rneˇ neza´visle´ vektory u C v; v C w a w C u pokud vı´te, zˇe vektory u; v; w
jsou linea´rneˇ neza´visle´.
2.4 Zjisteˇte, zda jsou linea´rneˇ za´visle´ matice
A1 D
1 2
1 0

; A2 D
1 2
3 1

; A3 D
3 2
1 1

:
2.5 Dokazˇte, zˇe vektory u1;:::un jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ tehdy, je-li jeden z nich linea´rnı´ kombinacı´
ostatnı´ch.
2.6 Dokazˇte, zˇe mnozˇina vsˇech matic te´hozˇ typu s operacemi maticove´ho scˇı´ta´nı´ a na´sobenı´ cˇı´slem tvorˇı´
linea´rnı´ prostor dimenze mn: Nalezneˇte neˇjakou jeho ba´zi.
2.7 Dokazˇte, zˇe mnozˇina Tn vsˇech hornı´ch troju´helnı´kovy´ch matic rˇa´du n tvorˇı´ podprostor vektorove´ho
prostoru vsˇech cˇtvercovy´ch matic rˇa´du n a urcˇete dimenzi Tn:
2.5. Rˇ esˇenı´ 35
2.8 Ukazˇte, zˇe mnozˇina vsˇech matic X; pro ktere´ platı´ AX D XA; kde
A D
2 1
1 1

;
tvorˇı´ podprostor vektorove´ho prostoru vsˇech cˇtvercovy´ch matic druhe´ho rˇa´du. Urcˇete jeho dimenzi a
neˇjakou ba´zi.
2.9 Dokazˇte, zˇe vektory x;y 2 Rn jsou ortogona´lnı´ pra´veˇ tehdy, je-li jjxjj2 C jjyjj2 D jjx C yjj2: Da´le
ukazˇte, zˇe v Cn toto tvrzenı´ neplatı´.
2.10 Dokazˇte, zˇe majı´-li vektory x;y 2 Rn stejnou velikost, pak xCy a x y jsou ortogona´lnı´. Uved’te
geometricky´ vy´znam tohoto tvrzenı´ v R2:
2.11 Ukazˇte, zˇe v ortonorma´lnı´ ba´zi .b1;:::;bn/ platı´ pro sourˇadnice .x1;:::;xn/T vektoru x vztah
xi D .x;bi/; i D 1;:::;n:
2.12 V prostoru R4 jsou da´ny vektory a D . 1;0;1;2/; b D .0;1;0; 3/
a linea´rnı´ podprostor
V D x 2 R4 I .x;a/ D 0; .x;b/ D 0 :
Urcˇete neˇjakou ortogona´lnı´ ba´zi V .
2.13 Urcˇete neˇjakou ortogona´lnı´ ba´zi podprostoru V D x 2 R3 I Ax 2 N.A/ ; kde
A D
0
@
1 1 0
1 1 2
1 1 1
1
A:
2.5 Rˇ esˇenı´
2.1 Pro vsˇechna 6D 2:
2.2 Musı´ soucˇasneˇ platit x 6D y; y 6D z; x 6D z:
2.3 Vektory u C v; v C w a w C u jsou linea´rneˇ neza´visle´.
2.4 Jsou linea´rneˇ za´visle´, nebot’ 2A1 A2 C A3 D O:
2.5 Je-li u1 D 2u2 C C nun; pak . 1/u1 C 2u2 C C nun D o a vektory u1;:::un jsou
linea´rneˇ za´visle´. Je-li 1u1 C C nun D o a 1 6D 0; pak u1 D 1 1. 2u2 C C nun/: Analogicky
pro i D 2;:::;n:
2.6 Ba´zi tvorˇı´ naprˇ. mn matic (navza´jem ru˚zny´ch), ktere´ majı´ na jedine´m mı´steˇ 1 a vsˇude jinde 0:
2.7 Soucˇtem dvou hornı´ch troju´helnı´kovy´ch matic je opeˇt hornı´ troju´helnı´kova´ matice a na´sobkem hornı´
troju´helnı´kove´ matice je take´ matice hornı´ troju´helnı´kova´; dimTn D 1 C 2 C Cn D n.nC 1/2 :
2.8 Dimenze je 2, ba´ze naprˇ.
1 0
0 1

;
0 1
1 1

:
36 Kapitola 2
2.9 Pro x;y 2 Rn je jjx C yjj2 D .x C y/;.x C y/ D jjxjj2 C 2.x; y/C jjyjj2; kdezˇto pro x;y 2 Cn
platı´ pouze jjx C yjj2 D jjxjj2 C.x; y/C.y; x/C jjyjj2:
2.10 Geometricka´ interpretace: u´hloprˇı´cˇky v kosocˇtverci jsou na sebe kolme´.
2.11 Skala´rneˇ vyna´sobte vektor x D x1b1 C Cxnbn i-ty´m vektorem ba´ze bi:
2.12 f.1;0;1;0;/;.1;3; 1;1/g:
2.13 f.1; 1;0/;.1;1;2/g:
Kapitola 3
Hodnost matice
3.1 Rˇ a´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost
Guassova eliminace nenı´ jen pocˇetnı´ prostrˇedek pro u´pravu a rˇesˇenı´ soustav linea´rnı´ch rovnic. Jizˇ vztah
(1.7) naznacˇuje jejı´ vy´znam i pro zkouma´nı´ vlastnostı´ matic jako takovy´ch. V te´to kapitole vyuzˇijeme
Gaussovy eliminace pro vy´pocˇet hodnosti matic – pojmu, ktery´ v sobeˇ obsahuje pohled na rˇa´dky a
sloupce z hlediska linea´rnı´ neza´vislosti. Znalost hodnosti matice na´m pak kromeˇ jine´ho umozˇnı´ elegantnı´
formulaci krite´ria rˇesˇitelnosti soustav linea´rnı´ch rovnic a take´ charakterizaci mnozˇiny vsˇech jejich rˇesˇenı´.
Definice. Rˇa´dkovy´m prostorem matice A nazy´va´me linea´rnı´ obal jejı´ch rˇa´dku˚ a znacˇı´me R.A/; sloup-
covy´m prostorem linea´rnı´ obal jejı´ch sloupcu˚; znacˇı´me jej S.A/:
Je-li tedy A rea´lna´ (resp. komplexnı´) matice typu .m;n/; pak R.A/ je podprostorem Rn (resp. Cn )
a S.A/