Skkripta Matice

je podprostorem Rm (resp. Cm). Je-li matice A symetricka´, pak jsou oba prostory totozˇne´,
pro nesymetricke´ matice budou odlisˇne´. Vzhledem k vy´sledku cvicˇenı´ 1.12 platı´ pro sloupcovy´ prostor
S.A/ matice A typu .m;n/
S.A/ D fu 2 Cm: u D Av pro neˇjaky´ vektor v 2 Cng: (3.1)
Definice. Hodnostı´ matice A nazy´va´me dimenzi jejı´ho sloupcove´ho prostoru; znacˇı´me ji h.A/:
Z definice dimenze (strana 29) a z veˇty 2.3 vyply´va´, zˇe hodnost matice A je rovna maxima´lnı´mu pocˇtu
linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚ matice A:
V definici hodnosti matice byl preferova´n „sloupcovy´“ pohled na matici prˇed „rˇa´dkovy´m“. Nenı´
prˇitom vu˚bec samozrˇejme´, zˇe dimenze rˇa´dkove´ho prostoru matice je stejna´ jako dimenze jejı´ho sloup-
cove´ho prostoru. Prˇes obecnou odlisˇnost rˇa´dkove´ho a sloupcove´ho prostoru matice nenı´ trˇeba definovat
take´ „rˇa´dkovou“ hodnost matice. Vyply´va´ to z veˇty, kterou uvedeme bez du˚kazu. Lze jej nale´zt naprˇı´klad
v [11, str. 27] nebo [15, str. 92].
Veˇta 3.1 Pro kazˇdou matici A je h.A/ D h.AT/:
Odvod’me nynı´, jaky´ je vztah hodnosti k dalsˇı´m maticovy´m operacı´m – soucˇinu a rˇa´dkovy´m a
sloupcovy´m elementa´rnı´m u´prava´m. Nejme´neˇ lze rˇı´ci o soucˇtu; zde odkazujeme na u´lohu 3.3.
37
38 Kapitola 3
Veˇta 3.2 Jsou-li A; B matice, pro neˇzˇ existuje soucˇin AB; pak
h.AB/ h.B/ a h.AB/ h.A/:
Du˚kaz. Uka´zˇeme, zˇe matice AB nema´ veˇtsˇı´ pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚ nezˇ matice B: To
na za´kladeˇ definice hodnosti a pozna´mky po nı´ na´sledujı´cı´ zarucˇı´ nerovnost h.AB/ h.B/: Jsou-li
b1;:::;bk sloupce matice B; pak podle veˇty 1.1 jsou Ab1;:::;Abk sloupce matice AB: Veˇta 2.7
(str. 30) pak zajisˇt’uje, zˇe mezi sloupci Ab1;:::;Abk nebude me´neˇ linea´rneˇ neza´visly´ch, nezˇ mezi
b1;:::;bk: Druha´ nerovnost v tvrzenı´ veˇty pak plyne z prvnı´ a z veˇty 3.1:
h.AB/ D h.AB/T D h.BTAT/ h.AT/ D h.A/:
Veˇta 3.3 Je-li A regula´rnı´ matice a existuje soucˇin AB; pak h.AB/ D h.B/: Analogicky, je-li B
regula´rnı´ matice a existuje soucˇin AB; pak h.AB/ D h.A/:
Strucˇneˇ lze tedy rˇı´ci, zˇe na´sobenı´ regula´rnı´ maticı´ nemeˇnı´ hodnost.
Du˚kaz. Podle prˇedcha´zejı´cı´ veˇty platı´ h.AB/ h.A/I z veˇty 2.6 vyply´va´, zˇe matice A nemu˚zˇe
mı´t vı´ce linea´rneˇ neza´visly´ch sloupcu˚ nezˇ matice AB; cozˇ znamena´, zˇe h.AB/ h.A/: Celkem tedy
je h.AB/ D h.B/: Druha´ cˇa´st tvrzenı´ veˇty vyply´va´ z rovnostı´
h.AB/ D h.AB/T D h.BTAT/ D h.AT/ D h.A/:
Zde jsme dvakra´t pouzˇili veˇtu 3.1 a pra´veˇ doka´zanou prvnı´ cˇa´st. 4
Veˇta 3.4 Jsou-li A;B rˇa´dkoveˇ nebo sloupcoveˇ ekvivalentnı´ matice, pak h.A/ D h.B/:
Du˚kaz. Vzhledem k platnosti veˇty 3.1 stacˇı´ tvrzenı´ oveˇrˇit pro matice rˇa´dkoveˇ ekvivalentnı´. Je-li
A B; pak existujı´ elementa´rnı´ matice L1;:::;Lk tak, zˇe B D L1 LkA: Kazˇda´ z elementa´rnı´ch
matice je regula´rnı´ (veˇta 1.19, str. 20), tedy podle veˇty 3.3 je h.A/ D h.B/: 4
Vy´znam poslednı´ veˇty spocˇı´va´ v mozˇnosti pouzˇı´t rˇa´dkove´ nebo sloupcove´ elementa´rnı´ operace prˇi
vy´pocˇtu hodnosti matice. Vhodneˇ voleny´mi operacemi prˇevedeme danou matici do takove´ho tvaru, aby
„vynikly“ vsˇechny linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky, resp. sloupce. Postup uka´zˇeme pouze na prˇı´kladeˇ.
Prˇı´klad 3.1
A D
0
BB
@
4 3 5 2 3
8 6 7 4 2
4 3 1 2 5
8 6 1 4 6
1
CC
A
0
BB
@
4 3 5 2 3
0 0 3 0 4
0 0 6 0 8
0 0 9 0 12
1
CC
A
0
BB
@
4 3 5 2 3
0 0 3 0 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
CC
A
Poslednı´ matice ma´ evidentneˇ hodnost rovnu 2, je tedy i h.A/ D 2:
Z prˇı´kladu 2.3 na straneˇ 24 jizˇ vı´me, zˇe rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy rovnic tvorˇı´ podprostor, ktery´
nazy´va´me nulovy´ prostor matice A: Nynı´ mu˚zˇeme urcˇit jeho dimenzi a zı´skat tak informaci o „pocˇtu
rˇesˇenı´“ homogennı´ soustavy rovnic. Uvedeme ji pro rea´lne´ matice, v analogicke´m zneˇnı´ platı´ i pro
matice komplexnı´. Jde o veˇtu za´sadnı´ho vy´znamu a budeme se ni v dalsˇı´ch kapitola´ch cˇasto odvola´vat.
Elegantnı´ mysˇlenka du˚kazu pocha´zı´ z [6]; jejı´ prˇednostı´ je, zˇe nevyzˇaduje komplikovanou analy´zu
procesu Gaussovy eliminace.
3.1. Rˇ a´dkovy´ a sloupcovy´ prostor matice, hodnost 39
Veˇta 3.5 Necht’ A je matice typu .m;n/ s hodnostı´ h: Pak pro dimenzi jejı´ho nulove´ho prostoru
N.A/ D fx 2 Rn: Ax D og
platı´
dimN.A/ D n h:
Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe dimN.A/ D r a zvolme v N.A/ ba´zi tvorˇenou vektory u1;:::ur:
Podle veˇty 2.2 lze vektory u1;:::ur doplnit n r vektory urC1;:::;un na ba´zi prostoru Rn: Uka´zˇeme,
zˇe vektory AurC1;:::;Aun tvorˇı´ ba´zi prostoru S.A/; odkud jizˇ vyplyne, zˇe h D dimS.A/ D n r:
Prˇesveˇdcˇme se nejdrˇı´ve, zˇe vektory AurC1;:::;Aun jsou linea´rneˇ neza´visle´. Necht’
rC1AurC1 C C nAun D o:
Pak take´
A. rC1urC1 C C nun/ D o;
takzˇe
rC1urC1 C C nun 2 N.A/:
Existujı´ tedy cˇı´sla 1;:::; r tak, zˇe
rC1urC1 C C nun D 1u1 C C rur;
nebot’vektory u1;:::;ur tvorˇı´ ba´zi N.A/: Z poslednı´ rovnosti plyne
1u1 C C rur rC1urC1 nun D o;
odkud z linea´rnı´ neza´vislosti vektoru˚ u1;:::;un vyply´va´ 1 D D n D 0; cozˇ znamena´ linea´rnı´
neza´vislost vektoru˚ AurC1;:::;Aun: Da´le ukazˇme, zˇe hAurC1;:::;Auni D S.A/: Podle (3.1) je S.A/
mnozˇinou vsˇech vektoru˚ Av; v 2 Rn: Protozˇe kazˇdy´ vektor v 2 Rn je neˇjakou linea´rnı´ kombinacı´
ba´zovy´ch vektoru˚ u1;:::;un; je
S.A/ D hAu1;:::;Auni D hAurC1;:::;Auni;
nebot’ Au1 D D Aun D o: Vektory AurC1;:::;Aun tedy majı´ obeˇ vlastnosti pozˇadovane´ definicı´
(strana 27) a jsou ba´zı´ prostoru S.A/: Odtud plyne, zˇe h D dimS.A/ D n r D n dimN.A/ a tedy
dimN.A/ D n h: 4
Pra´veˇ doka´zanou veˇtu vyuzˇijeme prˇi odvozenı´ tvrzenı´, ktere´ mu˚zˇe vzhledem k veˇteˇ 3.2 vypadat
prˇekvapiveˇ. Jeho vy´znam se projevı´ v na´sledujı´cı´ch kapitola´ch.
Veˇta 3.6 Pro libovolnou cˇtvercovou matici A platı´
h.A/ D h.ATA/ D h.AAT/: (3.2)
40 Kapitola 3
Du˚kaz. Stacˇı´ doka´zat prvnı´ z rovnostı´; druha´ vyplyne ze vztahu h.A/ D h.AT/ (veˇta 3.1). Prˇedpo-
kla´dejme, zˇe matice A je n-te´ho rˇa´du. Pak i ATA je n-te´ho rˇa´du a rovnost (3.2) bude na za´kladeˇ veˇty
3.5 ekvivalentnı´ rovnosti dimenzı´ nulovy´ch prostoru˚ obou matic:
dimN.A/ D dimN.AT A/:
Uka´zˇeme, zˇe dokonce platı´ N.A/ D N.ATA/: Prˇipomenˇme, zˇe N.A/ D fx 2 Rn: Ax D o:g Je-li
tedy x 2 N.A/; pak Ax D o a vyna´sobenı´m obou stran te´to rovnosti maticı´ AT zleva dostaneme
ATAx D o; cozˇ znamena´, zˇe x 2 N.ATA/: Naopak, je-li x 2 N.ATA/; pak ATAx D o; odkud plyne
.ATAx;x/ D 0:
Pouzˇitı´m veˇty 2.9 odtud dostaneme .Ax;Ax/ D 0; tedy
jjAxjj2 D 0:
To podle veˇty 2.8, tvrzenı´ (4) znamena´, zˇe Ax D o; takzˇe x 2 N.A/: Celkem jsme doka´zali, zˇe
N.A/ N.ATA/ a N.A/ N.AT A/;
z cˇehozˇ plyne N.A/ D N.AT A/: 4
Hodnost matice je rovneˇzˇ uzˇitecˇny´m na´strojem pro zjisˇteˇnı´ rˇesˇitelnosti soustavy linea´rnı´ch rovnic
tvaru Ax D b: V cˇeske´ literaturˇe se uva´dı´ pod na´zvem Frobeniova veˇta. Vyuzˇı´va´ porovna´nı´ hodnosti
matice soustavy A a hodnosti rozsˇı´rˇene´ matice A (viz strana 11).
Veˇta 3.7 Necht’ A je libovolna´ matice typu .m;n/; b sloupcovy´ vektor z Cn a necht’ A znacˇı´
rozsˇı´rˇenou matici soustavy Ax D b: Pak soustava Ax D b ma´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, je-li
h.A/ D h.A/:
Du˚kaz. Z (3.1) vyply´va´, zˇe soustava Ax D b ma´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, patrˇı´-li vektor b do sloupcove´ho
prostoru matice A; cozˇ znamena´, zˇe b je linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A: Je-li vsˇak vektor b je
linea´rnı´ kombinacı´ sloupcu˚ matice A; pak jeho prˇida´nı´ jako dalsˇı´ho sloupce k matici A nezmeˇnı´ jejı´
hodnost. Obra´ceneˇ, pokud majı´ matice A a A stejnou hodnost, pak prˇidany´ sloupec b musı´ by´t linea´rnı´
kombinacı´ sloupcu˚ matice A: 4
3.2 Cvicˇenı´
3.1 Rozhodneˇte, ktere´ z vektoru˚ b1; b2; b3 patrˇı´ do sloupcove´ho prostoru matice
A D
0
@
2 1 3
3 5 1
4 7 1
1
AI b1 D
0
@
9
4
5
1
A; b2 D
0
@
4
1
2
1
A; b3 D
0
@
1
1
1
1
A:
3.2 Vypocˇteˇte neˇjakou ba´zi sloupcove´ho prostoru matice
A D
0
@
1 1 2 0
2 1 1 1
1 2 3 1
1
A:
3.3. Rˇ esˇenı´ 41
3.3 Ukazˇte prˇı´klad nenulovy´ch matic A; B; pro ktere´
a) h.A C B/ D 0I
b) h.A C B/ D h.A/Ch.B/:
3.4 Vypocˇteˇte hodosti na´sledujı´cı´ch matic
a) A D
0
BB
@
1 3 5 1
2 1 3 4
5 1 1 7
7 7 9 1
1
CC
A b) A D
0
BB
@
3 1 3 2 5
5 3 2 3 4
1 3 5 0 7
7 5 1 4 1
1
CC
A:
3.5 Vypocˇteˇte, pro ktera´ ; 2 R bude hodnost matice
A D
0
BB
@
0 1 2 3
1 2 1 2
2 0 1
1 0 4
1
CC
A
minima´lnı´ a tuto hodnost stanovte.
3.6 Vypocˇteˇte dimenzi a neˇjakou ba´zi nulove´ho prostoru matice
0
BB
@
2 1 1 1 2
3 3 5 0 5
1 1 3 2 1
3 0 2 3 1
1
CC
A:
3.7 Vypocˇteˇte vsˇechna 2 R; pro neˇzˇ ma´ soustava Ax D o s maticı´
A D
0
BB
@
1 2 1 2
2 3 0 2
3 5 1 1
4 2 6
1
CC
A
asponˇ jedno nenulove´ rˇesˇenı´.
3.8 Urcˇete vsˇechna ; 2 R; pro neˇzˇ nema´ rˇesˇenı´ soustava s rozsˇı´rˇenou maticı´
0
@
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
A:
3.3 Rˇ esˇenı´
3.1 Pouze b2I bi patrˇı´ do S.A/ pra´veˇ tehdy, existuje-li rˇesˇenı´ rovnice Ax D bi:
3.2 Naprˇı´klad B D f.1;2;1/T; .1; 1; 2/Tg:
3.3 Rˇ esˇenı´ nenı´ jednoznacˇne´, naprˇı´klad
a) A D E; B D E:
42 Kapitola 3
b) A D
1 0
0 0

a B D
0 0
0 1

:
3.4 a) h.A/ D 3; b) h.A/ D 3:
3.5 Pro D 3 a D 3 je h.A/ D 2:
3.6 dimN.A/ D 3; ba´ze N.A/ je naprˇ. B D .2;7;3;0;0;/T; . 1;4;0;0;3/T; .1;1;0;0;1;0/T :
3.7 D 11:
3.8 D 2; 6D 32; nebo D 1; 6D 1:
Kapitola 4
Determinanty
Pojem determinantu matice se historicky vyvinul jako na´stroj pro rˇesˇenı´ soustavy rovnic Ax D b
s regula´rnı´ maticı´ A: Je-li
A D
a
11 a12
a21 a22

; x D
x
1
x2

a b D
b
1
b2

;
pak snadno oveˇrˇı´me, zˇe
x1 D b1a22 b2a12a
11a22 a12a21
a x2 D b2a11 b1a21a
11a22 a12a21
:
Definujeme-li
det A D a11a22 a12a21 (4.1)
a oznacˇı´me
A1 D
b
1 a12
b2 a22

a A2 D
a
11 b1
a21 b2

;
pak mu˚zˇeme pro rˇesˇenı´ psa´t
x1 D det A1det A a x2 D det A2det A :
Analogicke´ vztahy bychom dostali (byt’se znacˇneˇ veˇtsˇı´ pocˇetnı´ na´mahou) pro soustavu s regula´rnı´ maticı´
trˇetı´ho rˇa´du, pokud bychom pro matici
A D
0
@
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
1
A
definovali
det A D a11a22a33 Ca12a23a31 Ca13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33: (4.2)
43
44 Kapitola 4
4.1 Definice a vlastnosti
Pokus o zobecneˇnı´ vztahu˚ (4.1) a (4.2) na matice cˇtvrte´ho a vysˇsˇı´ch rˇa´du˚ metodou popisu rˇesˇenı´ prˇı´-
slusˇny´ch soustav rovnic nara´zˇı´ na znacˇnou zdlouhavost a komplikovanost vy´pocˇtu˚. Obecna´ definice
determinantu bude zalozˇena na vlastnostech, ktere´ jsou spolecˇne´ pro vy´sˇe uvedene´ determinanty matic
druhe´ho a trˇetı´ho rˇa´du. Vsˇimneˇme si, zˇe v obou prˇı´padech je determinant soucˇtem soucˇinu˚ prvku˚ matice,
vybrany´ch tak, aby z kazˇde´ho sloupce i rˇa´dku byl zvolen pra´veˇ jeden prvek. Byly utvorˇeny vsˇechny
takove´ vy´beˇry, odpovı´dajı´cı´ soucˇiny byly opatrˇeny zname´nky podle za´konitosti, kterou da´le objasnı´me
a vsˇechny soucˇiny byly secˇteny. Pro matici n-te´ho rˇa´du tedy vybereme:
v prvnı´m rˇa´dku prvek ve sloupci j1
ve druhe´m rˇa´dku prvek ve sloupci j2
. . .
v n-te´m rˇa´dku prvek ve sloupci jn
tak, zˇe kazˇde´ z cˇı´sel j1;j2;:::;jn je rovno neˇktere´mu z cˇı´sel 1;2;:::;n a vsˇechna jsou navza´jem
ru˚zna´. To znamena´, zˇe cˇı´sla j1;j2;:::;jn jsou permutacı´1 cˇı´sel 1;2;:::;n: Je zna´mo, zˇe takovy´ch
permutacı´ existuje celkem n! D n.n 1/.n 2/ 2 1:
Dvojici .ji;jk/ nazveme inverzı´ v permutaci D .j1;j2;:::;jn/; jestlizˇe ji >jk a i