Řešené písemkové příklady Kalousova

iferenciÆln rovnice je tedy
y = ex(lnjex 1j x) e x(lnjex 1j+ex)+c1ex+c2e x; kde x2( 1;0) nebo x2(0;1); c1;c2 2IR:
3. e„te diferenciÆln rovnici
y00 +y0 2y = 6e 2x + 10 cosx; kde y(0) = 1; y0(0) = 2:
e„en :
JednÆ se o nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnici druhØho łÆdu s konstantn mi koe cienty. Nejprve łe„ me
płidru enou homogenn LDR. Kołeny charakteristickØho polynomu 2 + 2 jsou 1; 2, fundamentÆln systØm
tedy tvoł funkce ex a e 2x. PartikulÆrn łe„en nehomogenn rovnice hledÆme metodou odhadu ve tvaru
^y = Axe 2x +Bsinx+C cosx:
SpoŁ tÆme derivace ^y0 = Ae 2x 2Axe 2x +Bcosx C sinx
^y00 = 4Ae 2x + 4Axe 2x Bsinx C cosx
Po dosazen a œprav z skÆme soustavu 3A = 6
3B C = 0
B 3C = 10;
jej m łe„en m je A = 2;B = 1;C = 3.
3
Obecn tvar łe„en je tedy y = 2xe 2x + sinx 3 cosx+c1ex +c2e 2x;x2IR:
y0 = 2e 2x + 4xe 2x + cosx+ 3 sinx+c1ex 2c2e 2x
Po dosazen poŁÆteŁn ch podm nek z skÆvÆme soustavu c1 +c2 = 2
c1 2c2 = 1;
jej m łe„en m je c1 = 1;c2 = 1:
e„en m rovnice je funkce
y = 2xe 2x + sinx 3 cosx+ex +e 2x; x2IR:
4. e„te diferenciÆln rovnici
y00 3y0 + 2y = f(t); kde y(0+) = 1; y0(0+) = 0;
f(t) =
2e2t cost; pro t2(0; );
0; pro t2IRn(0; ):
e„en :
f(t) = 2e2t cost (H(t) H(t )) = 2e2t cost H(t) 2e2t cost H(t ) =
= 2e2t cost H(t) 2e2(t )+2 cos((t ) + ) H(t ) = 2e2t cost H(t) + 2e2 e2(t ) cos(t ) H(t );
tedy Lffg= 2(p 2)(p 2)2+1 (1 +e2 e p):
TransformovanÆ rovnice je ve tvaru:
p2Y +p 3pY 3 + 2Y = 2(p 2)(p 2)2 + 1 (1 +e2 e p);
odtud Y = p+3p2 3p+2 + 2p 4(p2 4p+5)(p2 3p+2) (1 +e2 e p)
Y = 2p 1 + 1p 2 +

1
p 1 +
0
p 2 +
p+3
p2 4p+5

(1 +e2 e p)
y = ( 2et +e2t +et e2t cost+e2t sint) H(t)+
+e2 et e2(t ) cos(t ) +e2(t ) sin(t ) H(t )
e„en m je tedy funkce y(t) de novanÆ takto:
y(t) =
8>
<
>:
0; pro t 0;
et +e2t e2t cost+e2t sint; pro t2(0; );
et +e2t e2t cost+e2t sint+e et +e2t cost e2t sint =
= e2t (1 e )et; pro t :
4
ZadÆn C.
1. Najd te obecn tvar łe„en diferenciÆln rovnice
xy0 +ylny = 0:
e„en :
y0 = ylnyx ;
tedy f(x) = 1x , funkce je spojitÆ pro x2( 1;0) a pro x2(0;1);
g(y) = ylny, funkce je spojitÆ pro v„echna y2(0;1), nulovÆ pro y = 1:
Po separaci prom nn ch z skÆvÆme dyylny = dxx
lnjlnyj = lnjxj+ lnjcj
lny = cx
y = ecx
Obecn tvar łe„en je tedy
y = ecx; kde x2( 1;0) nebo x2(0;1); c2IR:
2. e„te diferenciÆln rovnici
(1 +x2)y0 2xy = (1 +x2)2; kde y(1) = 4:
e„en :
y0 2xy1 +x2 = 1 +x2
JednÆ se o nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnici prvn ho łÆdu. Nejprve łe„ me płidru enou homogenn
LDR metodou separace prom nn ch.
y0 2xy1 +x2 = 0
f(x) = 2x1+x2 , funkce je spojitÆ pro x2IR;
g(y) = y, funkce je spojitÆ pro v„echna y2IR, nulovÆ pro y = 0:
Po separaci prom nn ch z skÆvÆme dyy = 2xdx1+x2
lnjyj = lnj1 +x2j+ lnjcj
y = c (1 +x2)
PartikulÆrn łe„en nehomogenn rovnice hledÆme metodou variace konstanty ve tvaru ^y = c (1 +x2):
Z skÆvÆme rovnici c0 (1 +x2) = (1 +x2); jej m łe„en m je c0 = 1, tedy c = x:
Obecn tvar łe„en tØto diferenciÆln rovnice je tedy y = x(1 +x2) +c(1 +x2); kde x2IR;c2IR:
Po dosazen poŁÆteŁn podm nky 4 = 2 + 2c
c = 1
e„en m je tedy funkce
y = (x+ 1)(x2 + 1); kde x2IR:
3. e„te diferenciÆln rovnici
y00 y0 2y = 6e2x + 20 sin 2x; kde y(0) = 1; y0(0) = 2:
e„en :
JednÆ se o nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnici druhØho łÆdu s konstantn mi koe cienty. Nejprve łe„ me
płidru enou homogenn LDR. Kołeny charakteristickØho polynomu 2 2 jsou 1;2, fundamentÆln systØm
tedy tvoł funkce e x a e2x. PartikulÆrn łe„en nehomogenn rovnice hledÆme metodou odhadu ve tvaru
^y = Axe2x +Bsin 2x+C cos 2x:
SpoŁ tÆme derivace ^y0 = Ae2x + 2Axe2x + 2Bcos 2x 2C sin 2x
^y00 = 4Ae2x + 4Axe2x 4Bsin 2x 4C cos 2x
5
Po dosazen a œprav z skÆme soustavu 3A = 6
6B + 2C = 20
2B 6C = 0;
jej m łe„en m je A = 2;B = 3;C = 1.
Obecn tvar łe„en je tedy y = 2xe2x 3 sin 2x+ cos 2x+c1e x +c2e2x;x2IR:
y0 = 2e2x + 4xe2x 6 cos 2x 2 sin 2x c1e x + 2c2e2x
Po dosazen poŁÆteŁn ch podm nek z skÆvÆme soustavu c1 +c2 = 0
c1 + 2c2 = 6;
jej m łe„en m je c1 = 2;c2 = 2:
e„en m rovnice je funkce
y = 2xe2x 3 sin 2x+ cos 2x 2e x