Příklady na Lagrangeovy rovnice 2. druhu

ičkyvkartézskýchsouřadnicích,přičemžsouřadnicesindexem
„1csquotedblrightbudoupříslušetvozíkuasouřadnicesindexem„2csquotedblrightbudoupříslušetkuličce.
x
1
(t)=x(t), (47)
y
1
(t)=0, (48)
x
2
(t)=x(t)+lsinϕ(t), (49)
6
M
x
ϕ
y
m
l
v
0
Obrázek4:Pohybkuličkyvrotujícítrubici.
y
2
(t)=l[1−cosϕ(t)]. (50)
Provedemečasovouderivacivýšeuvedenýchsouřadnic
˙x
1
=˙x, (51)
˙y
1
=0, (52)
˙x
2
=˙x+l˙ϕcosϕ, (53)
˙y
2
=l˙ϕsinϕ. (54)
Prokinetickouenergiiceléhosystémudostáváme,že
T =
1
2
Mv
2
1
+
1
2
mv
2
2
=
1
2
M˙x
2
1
+
1
2
m(˙x
2
2
+˙y
2
2
). (55)
Propotenciálníenergiiplatí,že
U =Mgy
1
+mgy
2
, (56)
kdeg reprezentujevelikosttíhovéhozrychlení.Dosadímedovztahů(55)a(56)zrovnic(48),(50)-(54),
čímžpoúpravědostáváme,že
T =
M
2
˙x
2
+
m
2
(˙x
2
+l
2
˙ϕ
2
+2l˙x˙ϕcosϕ), (57)
U =mgl(1−cosϕ). (58)
Jestližeuplatnímepředpoklad,žeϕ
max
lessorsimilar5
◦
,potomjemožnézjednodušitvýrazprokinetickouenergii
tím,žepoložímecosϕ
.
=1.Tímtodostaneme,že
T =
M
2
˙x
2
+
m
2
(˙x+l˙ϕ)
2
. (59)
Dosadímezakinetickouapotenciálníenergiizrovnic(??)a(58)doLagrangeovyfunkce L=T −U
L=
M
2
˙x
2
+
m
2
(˙x+l˙ϕ)
2
+mgl(cosϕ−1). (60)
7
Jelikožsejednáosystémsdvěmastupnivolnosti s =2,dostávámesoustavudvouLagrangeových
rovnic
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙q
j
parenrightbigg
−
∂L
∂q
j
=0,j=1,2, (61)
kde q
1
=xaq
2
=ϕ.ProvedemepříslušnéderivaceLagrangeovyfunkce
∂L
∂x
=0, (62)
∂L
∂˙x
=M˙x+m(˙x+l˙ϕ), (63)
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙x
parenrightbigg
=M¨x+m(¨x+l¨ϕ), (64)
∂L
∂ϕ
=−mglsinϕ, (65)
∂L
∂˙ϕ
=ml(˙x+l˙ϕ), (66)
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙ϕ
parenrightbigg
=ml(¨x+l¨ϕ). (67)
Opětvyužijemepředpokladu,že ϕ
max
lessorsimilar5
◦
,kterýnámdovolujepoložitsinϕ
.
= ϕ,cožpoužijemeve
výrazu(65),čímždostáváme
∂L
∂ϕ
=−mglϕ . (68)
Dosazenímvýrazů(62),(64)a(67),(68)dorovnice(61)dostávámenásledujícísoustavuLagrangeových
rovnic
M¨x+m(¨x+l¨ϕ)=0, (69)
ml(¨x+l¨ϕ)+mglϕ=0. (70)
Abychommohlivyšetřitpohybmatematickéhokyvadlaavozíkubudenutnévyřešitsoustavudiferen-
ciálníchrovnic(69)a(70)snásledujícímipočátečnímipodmínkami
x(t=0)=0, (71)
˙x(t=0)=0, (72)
ϕ(t=0)=0, (73)
˙ϕ(t=0)=
v
0
l
. (74)
Počátečnípodmínkavycházízevztahu
3
v(t=0)=v
0
=v
ϕ
(t=0)=l˙ϕ(t=0). (75)
Přiřešeníuvedenésoustavydiferenciálníchrovnicbudemepostupovattak,žesinejdřívezrovnice(69)
vyjádříme
¨x=
ml
M+m
¨ϕ (76)
3
Vzpomeňtesinavyjádřenísložekrychlostivpolárníchsouřadnicích.
8
adosadímedodruhézrovnic,tj.do(70),čímžpoúpravědostaneme
M
m+M
¨ϕ+
g
l
ϕ=0, (77)
coždáleupravímedotvaru
¨ϕ+Ω
2
ϕ=0, (78)
kde
Ω=
radicalbigg
(M+m)g
Ml
. (79)
Řešenímrovnice(78)dosáváme
ϕ(t)=Asin(Ωt)+Bcos(Ωt). (80)
Sohledemnaokrajovoupodmínku(73)dostáváme,žeB=0,takže
ϕ(t)=Asin(Ωt). (81)
Zderivujemerovnici(81)podlečasu,abychommohliurčitintegračníkonstantuA
˙ϕ(t)=AΩcos(Ωt). (82)
KonstantuAdostanemezpočátečnípodmínky(74),prokteroudospějemekrovnosti
A=
v
0
lΩ
, (83)
tedy
ϕ=
v
0
lΩ
sin(Ωt). (84)
Dosazenímrovnice(84)dorovnice(76)dostaneme
¨x=
mv
0
M+m
Ωsin(Ωt). (85)
Provedemeintegracirovnice(85)podlečasu
˙x(t)=−
mv
0
M+m
cos(Ωt)+C
1
, (86)
kdeintegračníkonstantu C
1
určímezpočátečnípodmínky(72),takže
C
1
=
mv
0
M+m
. (87)
Dosazenímintegračníkonstanty C
1
dorovnice(86)dostáváme
˙x(t)=−
mv
0
M +m
cos(Ωt)+
mv
0
M+m
. (88)
Opětzintegrujemerovnici(88)podlečasuadospějemeknásledujícírovnici
x(t)=
mv
0
M+m
t−
mv
0
(M+m)Ω
sin(Ωt)+C
2
. (89)
9
IntegračníkonstantuC
2
určímezpočátečnípodmínky(71)adostaneme,žeC
2
=0.Tímtojsmevyřešili
příslušnousoustavudiferenciálníchrovnic(69)a(70).Takžepohybmatematickéhokyvadlajedán
rovnicí(84)apohybvozíkujepopsánrovnicí(89),tj.
ϕ=
v
0
lΩ
sin(Ωt),
x(t)=
mv
0
M+m
t−
mv
0
(M+m)Ω
sin(Ωt).
Zřešeníjepatrné,žesebudejednatoperiodickýpohybsperiodou
T =
2π
Ω
=2π
radicalBigg
Ml
(M+m)g
.
10