- DU08 Integrace ostatních funkcí

Strana 1 (celkem 7)
str. 125 př. 1 (pomocí rozkladu na parciální zlomky)
a)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 2
2
32
2
2 5 7 3 21 1 3ln 2 2ln 1
2 2 . 1 2 1 2
2ln , 1, 2
2 1
x x x xdx x dx x dx x x x C
x x x x x x
xx x C x x
x
− + += + + = + + − = + + − − − + =
− − − + − −
−+ + + ≠ − ≠
−
∫ ∫ ∫

b)
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
{ }
2
2
2 1 2 1 1 1 1
1 1 2 2 1 2 1 21 3 2
1 1 1ln 1 ln 1 ln 2 ln 1 ln 2 , 2, 1,1
2 2 2
x xdx dx dx
x x x x x xx x x
x x x C x x C x
+ += = + − =
− + + − + +− + +
= − + + − + + = − − + + ≠ − −
∫ ∫ ∫

c)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) { }
2 2
2 22
2
7 1 7 1 3 2 1
1 21 2 1 2 1
13 32ln 1 ln 2 ln , 2,1
1 1 2
x x x xdx dx dx
x xx x x x x x
xx x C C x
x x x
+ + + += = + − =
− +− + − − + −
−− + − − + + = − + + ≠ −
− − +
∫ ∫ ∫

d)
( )( ) ( ) ( ) { }3 22
1 , 2
2 4 4 2 2 2
dx dx C x
x x x x x= = − + ≠ −+ + + + +∫ ∫
e)
( ) ( )
{ }
4 3 3 3 2 2
2
3 2 3 2 2 1 1 1 2 1 ln ln 1
1 1 2 1
1 1 1ln , 0,1
x xdx dx dx x x C
x x x x x x x x x x
x C x
x x x
− −= = − − + = − − + − + =
− − − − −
−− + + + ≠
∫ ∫ ∫

f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }
4 3 2 4 3 2
3 2 2 3 2 22
2 2
11 7 11 7 2 2 2 1
21 4 4 1 2 1 1 2
2 2 2 1 2 2ln 2 ln 2 , 1,2
1 1 1 2 1 22 1 1
x x x x x x x xdx dx dx
xx x x x x x x x
x C x C xx x x x
x x
+ + − + + −= = − + + =
−+ − + + − + + −
= − + + − + = − + − + − + ≠ −− + − − + −
− + +
∫ ∫ ∫

g)
( ) ( ) ( ) ( ) { }4 4 3 3
5 1 5 55 , 4
4 4 3 4 3 4
dx dx C C x
x x x x
− −=− = + = + ≠ −
+ + − + +∫ ∫

h)
( ) ( ) ( )3 2 2
3 3 1 3 1,
2 22 1 2 2 1 4 2 1dx C C xx x x
 = + = − + ≠ − 
 − − − −∫










Strana 2 (celkem 7)
str. 126 př. 2 (1.derivace čitatele + substituce, parciální zlomky)
a)
( )
2 2 2
2
2
22 2
2
2
3 1 2 2 2
2 10 2 2 10 2 10
1 2 2 1ln 2 10
2 2 10 2
1
2 1 1 1 2 2 132 2 arctan arctan
2 10 3 1 3 3 311 1
3 3
3 1ln 2 10
2 10 2
x xdx dx dx
x x x x x x
x dx x x C
x x
x t
xdx dx dt t C C
x x tx dx dt
x dx x x
x x
+ += +
+ + + + + +
+ = + + +
+ +
+  = 
+  = = = = + = + 
+ + +  +  =+
  
+ = + +
+ +
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ 2 1arctan ,3 3x C x R+ + + ∈  

b)
( ) ( )
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
5 2 5 2 2 3
2 5 2 2 5 2 5
5 2 2 5ln 2 5
2 2 5 2
1
3 1 2 3 3 123 3 arctan arctan
2 5 2 2 24 1114 1
22
5 2 5ln 2
2 5 2
x xdx dx dx
x x x x x x
x dx x x C
x x
x t
xdx dx dt t C C
x x tx dx dt
x dx x x
x x
− −= +
− + − + − +
− = − + +
− +
−  = 
−  = = = = + = +
 − +   +  − 
=+   
  
− = −
− +
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ 3 15 arctan ,2 2x C x R− + + + ∈  

c)
( ) ( )
2 2 2
2
2
22 2
2
2
3 4 3 2 4 2
4 13 2 4 13 4 13
3 2 4 3ln 4 13
2 4 13 2
2
2 1 1 2 2 232 2 arctan arctan
4 13 3 3 33 112 1
3 3
3 4 3ln
4 13 2
x xdx dx dx
x x x x x x
x dx x x C
x x
x t
xdx dx dt t C C
x x tx dx dt
x dx x
x x
+ += −
+ + + + + +
+ = + + +
+ +
+  = 
+  − = − = = − = − + = − + 
+ + +  +  =+
  
+ =
+ +
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ 2 24 13 arctan ,3 3xx C x R+ + + − + ∈  
d)
( ) ( )
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
1 2 6 3
6 13 2 6 13 6 13
1 2 6 1 ln 6 13
2 6 13 2
33 1 2 3 3 3
3 3 arctan arctan26 13 2 2 24 1
3 24 1
2
1 ln 6
6 13 2
x xdx dx dx
x x x x x x
x dx x x C
x x
x t x
dx dx dt t C Cx x t
x dx dt
x dx x x
x x
−= +
− + − + − +
− = − + +
− +
−  = −  
= = = = + = +   − +   +  
−  =+  
   
= −− +
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ 3 313 arctan ,2 2x C x R− + + + ∈  

Strana 3 (celkem 7)
e)
( ) ( )2 2 2
2 31 1 1
arctan24 12 13 44 1
2 34 1
2
1 2 3arctan ,
4 2
x tdx
dx dx dt t Cx x t
x dx dt