- DU08 Integrace ostatních funkcí

x C x R
−  = 
= = = = + = − +   +
−  =+  
   
− = + ∈
  
∫ ∫ ∫

f)
( )
2
2
2 2 2 22
1 1 1 2 1 1ln ln 1 ln , 0
1 2 1 2 2 11
dx x x xdx dx dx dx x x C C x
x x x x xx x = − = − = − + + = + ≠+ + ++∫ ∫ ∫ ∫ ∫
g)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 22
2
2
2
1 1 1 2
2 1 4 11 1 2 1
11 1 1 11ln 1 ln 1 ln , 1
2 1 2 4 2 1 4 1
dx xdx dx dx
x xx x x
xx x C C x
x x x
= + − =+ +
+ + +
+= − + + − + + = − + + ≠ −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫

h)
( ) ( )( ) ( )
22
3 22 2
1 11 ,
2. 21 4 1
x dx x C C x R
x x
−= + + = − + ∈
−+ +∫

str. 126 př. 3 (exp)
a)
( )( ) ( ) ( )
2
2
4 2 2
2
2 2
2
3 3 1 3 1 3 1 1ln /2 .
2 2 2 2 1 2 2 3 1 3 2/2
3 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 2 ln 1 ln 2 ln , 0
2 3 3 2 2 2 2
x
x
x x
x
x x
x
e te t
dx x t dt dt dte e t t t t t t t
dx dt t
et t C e e C C x
e
=
= = = = = − =+ − + − − + − +
=
− = − − + + = − − + + = + ≠
  + 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( ) ( )
3
3
3 3 3 3
2 2 2 1 2 1 1 2 1 1ln /3 ln ln 2
2 2 3 3 . 2 3 2 2 2 3 2 2/3
1 1 3 1 1ln ln 2 ln 2 ln 2 ,
3 3 3 3 3
x
x
x x x x
e t dt
dx x t dt dt t t Ce t t t t t t
dx dt t
xe e C e e C x e C x R
=
 = = = = = − = − + + = 
+ + + +  =
= − + + = − + + = − + + ∈
∫ ∫ ∫ ∫

c)
( ) ( )
( ) ( )
2
2
24 2 2 2
2
1 1 1 1ln2
2 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1/2
1 1arctan 1 arctan 1 ,
2 2
x
x
x x
x
e te t dt
dx x dt dte e t t t t t
tdx dt t
t C e C x R
=
= = = = = =− + − + − + +
− +=
= − + = − + ∈
∫ ∫ ∫ ∫

d)
( ) ( )21 1 arctan arctan ,1 1
x
x
x x
e tdx dt dt t C e C x R
e e tdx dt t
t
−
== = = = + = + ∈
+ += +∫ ∫ ∫

Strana 4 (celkem 7)


e)
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) { }
22
2 2 2
lnln 1 1 1
4 2 2 2 2 2 2ln 4 /
1 1 1ln 2 ln 2 ln 4 ln ln 4 ,
2 2 2
t
x tx t
dx x e dt dt dtt t t t tx x
dx x dt
t t C t C x C x e±
=
= = = = = + =− − + − +−
=
− + + + = − + = − + ≠
∫ ∫ ∫ ∫

f)
( ) ( )ln 1 ln ln ln , 0,1 1,/ln t xdx dt t C x C xdx x dtx x t== = = + = + ∈ ∞=∫ ∫ ∩

str. 126 př. 4
a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6 3 6 2 6 2
6 2 6 8 7 9 7 9
cossin .cos sin .cos .cos sin . 1 sin cos
cos
1 1 1 11 cos cos ,
7 9 7 9
t xx x dx x x x dx x x x dx
x dx dt
t t dt t t dt t t C x x C x R
== = − = =
=
= − = − = − + = − + ∈
∫ ∫ ∫
∫ ∫

b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
3 5 2 5 2 5 5 7
6 8 6 8
cossin .cos sin .cos .sin 1
sin
1 1 11 cos cos ,
6 8 6 8
t xx x dx x x x dx t t dt t t dt
x dx dt
t t C x x C x R
== = = − − = − − =
− =
= − + + = − + + ∈
∫ ∫ ∫ ∫

c)
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2 22
sincos 1 1cos
cossin 1 1 11 sin sin 1
1 1 11 1 ln 2 ln1
2 1 3 2 3 1 3 3
sin 21 3 1ln , 2 , 2 ,
3 2 21 sin
t xx dx x dx dt
x dx dtcos x x t tx x
dt dt t t Ct t t t
x C x k k k Z
x pi pi pi pi
== = = =
=− + − − +− − +
−= = − = + − − + =
+ − + −
+  = + ∈ − + + ∈
 −  
∫ ∫ ∫
∫ ∫
d)
( ) ( )2 2
1 cos1 1 1 1 1 ,
sin 1 cos1 cos
x tdx dt C C C x k k Z
xdx dt t t t xx pi pi
+ =  = = − = − − + = + = + ∈ + ∈
 = − + +∫ ∫

e)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 3 2 3
3
1 1 1tan tan tan tan tan 1
1 4 3 1 2
1 1tan tan , ,
3 2 2
x dx x x dx x x dx
x x x C x k k Zpi pi
= − = − − − =− −
 − + − + ∈ ± + ∈ 
 
∫ ∫ ∫






Strana 5 (celkem 7)


f)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 22
2 2 2 2 2 2 2
22
2
2 2
2 2 2 2 2
2 /2 2/21
11 /21 sin 2 1 2 1 21
2arctan . .1 /2 11 cos 1 1 1 1 1
11 2 11 /2
1
2 1 2 1 11
1 1 1 1 1
tg x tt tg x
tg xx t t ttdx x t dt dt
tg x tx t t t t t
dx dt ttg x t
t t t tdt dt dt dt dt dt
t t t t t
=− −+− + − +
+= = = = = =
− −+ + + + + − +++
= ++ +
− + = − + = − −
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) (