- DU08 Integrace ostatních funkcí

) ( )
2 2
2 2
2 1
1 1
arctan ln 1 arctan ln 1 , 2 ,2 2
t dt dt
t t
x xt t t t C tg tg C x k k Zpi pi
+ =+ +
    − − + + + = − + + ∈ ± + ∈   
     
∫ ∫
g)
( ) ( ) ( ) ( )2 1cotan cotan 1 cotan , ,1x dx x dx x x C x k k Zpi= − − = − − + ∈ ∈∫ ∫
h)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 22
22
2
2
tan /2 1 2 1 2
2arctan . .1 tan /21 cos 1 1 1 11
11 2 11 tan /2
1
1 1 1 cottan , 0 2 ,
tan /2 2
t xdx dx t
x t dt dtxx t t t tt
dx dt tx t
xdt C C x k k Z
t t x pi
= +
= = = = = =−− + + − + + −
−−  = ++
 +
 = = − + = − = − + ∈ + ∈ 
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫



str. 126 př. 5
a)
( ) ( )
( ) ( )
3
3 3 2 3 3 6 3 7 43
2
7 43 4
1 3 3
. 1 1 1 3 1 3 3 3 7 4
3
3 31 1 ,
7 4
t x
x x x t t t t dt t t dt t t dt t t C
dx t dt
x x C x R
= −
− = = + = + = + = + = + + =
=
− + − + ∈
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
2 2
2 2
2 3
3
2 1 1 2
1 1 3 1 3 1 32 2 1
2 2 2 2 6 22 1
1 3 12 1 2 1 , ,
6 2 2
t x t
x t tdx x tdt dt t dt t t C
tx
dx tdt
x x C x
= + −
−− − −
= = = = = − = − + =+
=
 = + − + + ∈ − +∞ 
 
∫ ∫ ∫

c)
( )
2
2
1 2
1 2 2 1 2 4ln 2 1 4ln 1 , 1,22 1
2
t xdx t
x t dt dt t t C x x C xt tx
dx tdt
= +
= = − = = − = − + = + − + + ∈ − +∞++ +
=
∫ ∫ ∫


Strana 6 (celkem 7)


d)
( )
( )
2
2
22
1 2 2 1 1 1
1 ln1 1 1 111
2
1 1
ln , 0,1 1
t xdx t t
x t dt dt Ct t t tt tx x
dx tdx
x
C xx
= + −
= = − = = = − = + =− − + +−+
=
+ −
+ ∈ +∞+ +
∫ ∫ ∫ ∫

e)
2 22
2
2 2
2 22
2 2
2
82.4.4 2 2
4 24 .2 2
4 4. 1 14 14 4
4 222
1 2 42 1 2 arctan 2 4 4arctan
1 2 21
22
t tt
t x dt dt dtx t t t
t tdx x t dt dt tx t t
dx tdt
t xdt t C x
t
      
= −    = = =−
   = = + = = =   + ++
+ +          =    
 
 − = − = − + = − −
     
 + 
 
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ( ), 4,C x+ ∈ +∞

f)
6
5
26
3 2 3 23
56 6
3 2 1
3 2 3 66 6 6
6 16 1
16
6 6 6ln 1 2 3 6ln 1 2 3 6ln 1 , 0
3 2
t x
dx dx tt x dt t t dt
t t tx x x x dx t dt
t t t t C x x x t C x x x t C x
=
= = = = = − + − =+ ++
+ =
− + − + + = − + − + + = − + − + + >
∫ ∫ ∫ ∫


str. 126 př. 6
a)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 2 2
2 2
2
36 8 6 9 9 8 1 3 1
sin
cos 1 sin .cos cos .cos cos
arcsin
1 1 1 1 1 1 1 11 cos 2 . sin 2 2sin .cos sin . 1 sin
2 2 2 2 2 4 2 2
1arcsi
2
x tx x dx x x dx x dx t dt
dx dt
t y
dt y dy y y dy y y dy y dy
y t
y dy y y C y y y C y y y C
− =− + − = − + − + − = − − = = − =
=
=
= = = − = = =
=
= + = + + = + + = + − + =
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
2
1 1 1n . 1 arcsin 3 3 . 1 3
2 2 2
1 1arcsin 3 3 . 6 8 , 2,4
2 2
t t t C x x x C
x x x x C x
+ − + = − + − − − + =
= − + − − + − + ∈








Strana 7 (celkem 7)



b)
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2
2
argcosh ln 1
2 2cosh
2 2sinhargcosh
24 4 4 4 4cosh 42 4
2sinh
2sinh sinh 21 argcosh
sinh 22 cosh 1
2 4 4ln 1 ln
2 4
x x x
x t
dx dx dx x tdtt
x x x x tx
dx t
t t xdt dt dt t C C
tt
x x x C
= + −
+ =
+ = = = = = =
  + + + − −+ −
=
+ = = = + = + =
  −
 + + += + − + =
  
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )2 22 4 ln2 ln 2 4 , 0,x x C x x C x+ + + − + = + + + + ∈ +∞


c)
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2
2
argsinh ln 1
1 3sinh
1 3coshargsinh
32 10 2 1 9 9sinh 91 9
3cosh
3cosh cosh 1 1 2 11 argsinh ln 1
cosh 3 3 93 sinh 1
x x x
x t
dx dx dx x tt dt
x x x x tx
dx tdt
t t x x x xdt dt dt t C C
tt
= + +
− =
− = = = = = = 
 − + − + + +− +
=
 − − − − = = = + = + = + + =
     
+  
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )2 2ln 1 2 10 ln2 ln 1 2 10 ,x x x C x x x C x R= − + − + − + = − + − + + ∈