9.12.2002

Řešení příkladů ze dne 9.12. 2002
Zadání A.
1. Najděte všechna řešení maticové rovnice AX−X = C, kde
A =


1 −1 1
1 1 1
1 −1 2

,C =


1 1 0
−1 0 1
0 1 1


Řešení:
AX−X = C
(A−E)X = C
X = (A−E)−1C
X =


−1 0 1
0 1 −1
1 1 −1

·


1 1 0
−1 0 1
0 1 1

 =


−1 0 1
−1 −1 0
0 0 0


2. Spočtěte determinant matic A a A−1, jestliže a ∈ IR a
A =



1 2 1 1
1 −3 a−3 −2
a −3 + 2a 2a−3 −2 + a
3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a



Řešení:
Matici nejprve upravíme, např. takto: Od druhého sloupce odečteme dvojnásobek 1. sloupce, od 3. a
od 4. sloupce odečteme 1. sloupec. Při těchto úpravách se determinant nezmění.Potom uděláme rozvoj
podle 1. řádku. Ve čtvercové matici řádu 3 pak můžeme ještě od 1. a od 2. sloupce odečíst sloupec 3.
a udělat rozvoj podle 3. řádku.
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1 2 1 1
1 −3 a−3 −2
a −3 + 2a 2a−3 −2 + a
3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1 0 0 0
1 −5 a−4 −3
a −3 a−3 −2
3 + a −1 −1 −1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
−5 a−4 −3
−3 a−3 −2
−1 −1 −1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
−2 a−1 −3
−1 a−1 −2
0 0 −1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = −(−2a + 2 + a−1) = a−1
Tedy detA = a−1. Podle Laplaceovy věty platí detA·detA−1 = det(A·A−1) = detE = 1, takže pro
a ∈ IR\{1} je detA−1 = 1a−1.
3. Najděte uspořádanou bázi prostoru IR2, vzhledem k níž má vektor vectoru souřadnice (1,1) a vektor vectorv
souřadnice (1,−1), víte-li, že vektor vectoru má v bázi B = parenleftbig(1,1),(1,0)parenrightbig souřadnice (4,−2) a vektor vectorv má
v bázi B souřadnice (2,2).
Řešení: Neznámá báze je ve tvaru E = parenleftbig(a,b),(c,d)parenrightbig. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi jsou koefi-
cienty lin. kombinace bázických vektorů, která je rovna tomuto vektoru. Platí tedy:
vectoru = 4(1,1)−2(1,0) = (2,4) = 1(a,b) + 1(c,d) = (a + c,b + d)
vectorv = 2(1,1) + 2(1,0) = (4,2) = 1(a,b)−1(c,d) = (a−c,b−d)
Aritmetické vektory se sobě rovnají, rovnají-li se jejich složky, tedy
a + c = 2
a−c = 4
b + d = 4
b−d = 2
, což je soustava, jejímž řešením je a = 3,c = −1,b = 3,d = 1.
Hledaná uspořádaná báze je tedy E = parenleftbig(3,3),(−1,1)parenrightbig.
4. Označme M2,2 lineární prostor všech čtvercových matic řádu 2. Nechť A : M2,2 −→ M2,2 je lineární
zobrazení, pro které platí
A
parenleftbigg a b
c d
parenrightbigg
=
parenleftbigg a + b + c + d −a + c + d
a + 2b + c−d a + b + 2c−d
parenrightbigg
.
Rozhodněte, zda je zobrazení A prosté.
Řešení: Zobrazení je prosté právě tehdy, když jeho jádro obsahuje pouze nulový vektor. Jádro je množina
vektorů, které se zobrazí na nulový vektor. Do jádra zobrazení A tedy patří ty matice
parenleftbigg a b
c d
parenrightbigg
, pro
které platí
a + b + c + d = 0
−a + c + d = 0
a + 2b + c−d = 0
a + b + 2c−d = 0



1 1 1 1
−1 0 1 1
1 2 1 −1
1 1 2 −1


∼



1 1 1 1
0 1 2 2
0 0 −2 −4
0 0 0 −8



Soustava má jediné řešení, a = b = c = d = 0, jádro obsahuje pouze nulovou matici a zobrazení tedy
je prosté.
5. Definujte kořen polynomu, najděte reálný polynom co nejnižšího stupně, jehož kořeny jsou i,i + 1.
Řešení:
Kořen polynomu P(x) je takové reálné číslo a, pro které platí P(a) = 0.
Je-li kořenem polynomu s reálnými koeficienty číslo a + bi,b negationslash= 0, pak je kořenem také číslo a − bi.
Hledaným polynomem je např. polynom P(x) = (x−i)(x+i)(x−1−i)(x−1+i) = x4−2x3+3x2−2x+2.
Zadání C.
1. Najděte všechna řešení maticové rovnice XA−X = C, kde
A =


2 1 0
1 2 −1
1 2 0

,C =


0 −1 1
0 1 −1
1 1 0


Řešení:
XA−X = C
X(A−E) = C
X = C(A−E)−1
X =


0 −1 1
0 1 −1
1 1 0

·


1 1 −1
0 −1 1
1 −1 0

 =


1 0 −1
−1 0 1
1 0 0


2. Spočtěte determinant matic A a A−1, jestliže p ∈ IR a
A =



1 −2 1 1
3p−2 −2p−4 2p 2p
5 p−4 4 3
2p + 6 p−5 p + 5 p + 4



Řešení:
Matici nejprve upravíme, např. takto: K druhému sloupci přičteme dvojnásobek 1. sloupce, od 3. a od
4. sloupce odečteme 1. sloupec. Při těchto úpravách se determinant nezmění. Potom uděláme rozvoj
podle 1. řádku. Ve čtvercové matici řádu 3 pak můžeme ještě k 1.sloupci přičíst čtyřnásobek 3. sloupce
a od 2. sloupce odečíst sloupec 3. a udělat rozvoj podle 1. řádku.
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1 −2 1 1
3p−2 −2p−4 2p 2p
5 p−4 4 3
2p + 6 p−5 p + 5 p + 4
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1 0 0 0
3p−2 4p−8 −p + 2 −p + 2
5 p + 6 −1 −2
2p + 6 5p + 7 −p−1 −p−2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
4p−8 −p + 2 −p + 2
p + 6 −1 −2
5p + 7 −p−1 −p−2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
0 0