9.12.2002

−p + 2
p−2 1 −2
p−1 1 −p−2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = (−p + 2)(p−2−p + 1) = p−2
Tedy detA = p−2. Podle Laplaceovy věty platí detA·detA−1 = det(A·A−1) = detE = 1, takže pro
p ∈ IR\{2} je detA−1 = 1p−2.
3. Najděte uspořádanou bázi prostoru IR2, vzhledem k níž má vektor vectoru souřadnice (1,1) a vektor vectorv
souřadnice (−1,1), víte-li, že vektor vectoru má v bázi B = parenleftbig(1,2),(−1,2)parenrightbig souřadnice (1,2) a vektor vectorv má
v bázi B souřadnice (2,−1).
Řešení: Neznámá báze je ve tvaru E = parenleftbig(a,b),(c,d)parenrightbig. Souřadnice vektoru vzhledem k bázi jsou koefi-
cienty lin. kombinace bázických vektorů, která je rovna tomuto vektoru. Platí tedy:
vectoru = 1(1,2) + 2(−1,2) = (−1,6) = 1(a,b) + 1(c,d) = (a + c,b + d)
vectorv = 2(1,2)−1(−1,2) = (3,2) = −1(a,b) + 1(c,d) = (−a + c,−b + d)
Aritmetické vektory se sobě rovnají, rovnají-li se jejich složky, tedy
a + c = −1
−a + c = 3
b + d = 6
−b + d = 2
, což je soustava, jejímž řešením je a = −2,c = 1,b = 2,d = 4.
Hledaná uspořádaná báze je tedy E = parenleftbig(−2,2),(1,4)parenrightbig.
4. Označme M2,2 lineární prostor všech čtvercových matic řádu 2. Nechť A : M2,2 −→ M2,2 je lineární
zobrazení, pro které platí
A
parenleftbigg a b
c d
parenrightbigg
=
parenleftbigg a + 2b−c + d a + b + 2c−d
2a + 2b + c + 3d −a−b + c−d
parenrightbigg
.
Rozhodněte, zda je zobrazení A prosté.
Řešení: Zobrazení je prosté právě tehdy, když jeho jádro obsahuje pouze nulový vektor. Jádro je množina
vektorů, které se zobrazí na nulový vektor. Do jádra zobrazení A tedy patří ty matice
parenleftbigg a b
c d
parenrightbigg
, pro
které platí
a + 2b−c + d = 0
a + b + 2c−d = 0
2a + 2b + c + 3d = 0
−a−b + c−d = 0



1 2 −1 1
1 1 2 −1
2 2 1 3
−1 −1 1 −1


∼



1 2 −1 1
0 −1 3 −2
0 0 −3 5
0 0 0 3



Soustava má jediné řešení, a = b = c = d = 0, jádro obsahuje pouze nulovou matici a zobrazení tedy
je prosté.
5. Definujte lineární podprostor, ukažte, že množina všech matic komutujících s čtvercovou maticí A řádu
n tvoří lin. podprostor prostoru všech čtvercových matic řádu n.
Řešení: Nechť L je lineární prostor. Neprázdnou podmnožinu V ⊆ L nazveme lineárním podprostorem
lin. prostoru L, jestliže
(a) pro všechny vektory vectoru,vectorv ∈ V platí vectoru +vectorv ∈ V
(b) pro všechny vektory vectoru ∈ V pro všechna reálná čísla λ platí λ·vectoru ∈ V
Množina matic komutujících s danou maticí je jistě neprázdná, neboť obsahuje např. jednotkovou
matici. Ověříme tedy obě podmínky:
(a) Nechť matice B a C komutují s A, platí tedy AB = BA a také AC = CA.
Potom A(B+C) = AB+AC = BA+CA = (B+A)C
(b) Nechť λ ∈ IR a matice B komutuje s A. Potom A(λB) = λ(AB) = λ(BA) = (λB)A.
Zadání B.
1. Najděte všechna řešení maticové rovnice XA+XB = C, kde
A =


1 1 1
1 1 1
1 1 1

,B =


0 −1 −2
0 0 −1
0 0 −2

,C =


0 −1 1
0 1 −1
1 1 0


Řešení:
XA+XB = C
X(A+B) = C
X = C(A+B)−1
X =


0 −1 1
0 1 −1
1 1 0

·


1 1 −1
−1 0 1
0 1 −1

 =


1 1 −2
−1 −1 2
0 1 0


2. Pro které hodnoty parametru a ∈ IR existuje k matici A inveresní matice?
A =



1 −1 2 1
3a −a + 2 4a−2 2a−1
4 + a a 5 2
3 + 2a 2a a + 5 2



Řešení:
Inversní matice existuje pouze k regulární matici, tedy k matici, jejíž determinant je nenulový. Spo-
čítáme detA. Matici nejprve upravíme, např. takto: K druhému sloupci přičteme 1. sloupec, od 3.
sloupce odečteme dvojnásobek 1. sloupce a od 4. sloupce odečteme 1. sloupec. Při těchto úpravách se
determinant nezmění. Potom uděláme rozvoj podle 1. řádku. Ve čtvercové matici řádu 3 pak můžeme
ještě k 1. sloupci přičíst dvojnásobek 3. sloupce a od 2. sloupce odečíst dvojnásobek 3. sloupce a udělat
rozvoj podle 1. řádku.
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1 −1 2 1
3a −a + 2 4a−2 2a−1
4 + a a 5 2
3 + 2a 2a a + 5 2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1 0 0 0
3a 2a + 2 −2a−2 −a−1
a + 4 2a + 4 −2a−3 −a−2
2a + 3 4a + 3 −3a−1 −2a−1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
2a + 2 −2a−2 −a−1
2a + 4 −2a−3 −a−2
4a + 3 −3a−1 −2a−1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
0 0 −a−1
0 1 −a−2
1 a + 1 −2a−1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = (−a−1)(−1) = a + 1
Tedy detA = a + 1, a inversní matice existuje pro a ∈ IR\{−1}.
3. Polynom P(x) má v uspořádané bázi (x2−x−1,2x2 +x+1,x2−x+2) souřadnice (−1,1,1). Najděte
jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x2 −1,x2 + x−1,x2 + x).
Řešení: Nejprve si spočítáme polynom P(x), potom si ho vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů
x2 − 1,x2 + x − 1,x2 + x. Vektor koeficientů této lineární kombinace je vektor souřadnic polynomu
P(x) vzhledem k uspořádané bázi (x2 −1,x2 + x−1,x2 + x).
P(x) = −1(x2−x−1)+1(2x2+x+1)+1(x2−x+2) = 2x2+x+4 = a(x2−1)+b(x2+x−1)+c(x2+x) =
(a + b + c)x2 + (b + c)x + (−a−b)
Rovnají-li se dva polynomy, rovnají se jejich koeficienty u odpovídajících mocnin, tedy
a + b + c = 2
b + c = 1
−a − b = 4
Tato soustava má jediné řešení a to a = 1,b = −5,c = 6. Souřadnice polynomu P(x) vzhledem k bázi
(x2 −1,x2 + x−1,x2 + x) jsou (1,−5,6).
4. Označme M2,2 lineární prostor všech čtvercovýc