9.12.2002

h matic řádu 2. Nechť A : M2,2 −→ M2,2 je lineární
zobrazení, pro které platí
A
parenleftbigg a b
c d
parenrightbigg
=
parenleftbigg a−b + 2c + d −a + 2b−c
2a + c + d 2b−3c + d
parenrightbigg
.
Spočtěte defekt zobrazení A.
Řešení: Defekt zobrazení je dimense jeho jádra. Jádro je množina vektorů, které se zobrazí na nulový
vektor. Do jádra zobrazení A tedy patří ty matice
parenleftbigg a b
c d
parenrightbigg
, pro které platí
a−b + 2c + d = 0
−a + 2b−c = 0
2a + c + d = 0
2b−3c + d = 0



1 −1 2 1
−1 2 −1 0
2 0 1 1
0 2 −3 1


∼



1 −1 2 1
0 1 1 1
0 0 −5 −3
0 0 0 2



Soustava má jediné řešení, a = b = c = d = 0, jádro obsahuje pouze nulovou matici a def(A) =
dim(KerA) = 0.
5. Definujte lineární nezávislost vektorů. Nechť vektory vectoru,vectorv, vectorw jsou lineárně nezávislé. Jsou potom lineárně
nezávislé také vektory vectoru,vectoru +vectorv,vectoru +vectorv + vectorw? Zdůvodněte.
Řešení: Vektory vectoru1,vectoru2,...vectorun jsou lineárně nezávislé, jestliže existuje jediná jejich nulová lineární kom-
binace a to triviální, tj. pokud α1vectoru1 + α2vectoru2 + ... + αnvectorun = vectoro, potom α1 = α2 = ... = αn = 0
Uvažujme nulovou lineární kombinaci vektorů vectoru,vectoru +vectorv,vectoru +vectorv + vectorw?
α1vectoru + α2(vectoru +vectorv) + α3(vectoru +vectorv + vectorw) = vectoro
(α1 + α2 + α3)vectoru + (α2 + α3)vectorv + (α3vectorw = vectoro je nulová lineární kombinace vektorů vectoru,vectorv, vectorw. Ta musí být
triviální, protože tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Platí tedy
α1 + α2 + α3 = 0
α2 + α3 = 0
α3 = 0
Tato soustava má jediné řešení a to α1 = α2 = α3 = 0, vektory jsou tedy také lineárně nezávislé.
Zadání D.
1. Najděte všechna řešení maticové rovnice AX−BX = C, kde
A =


2 1 0
1 2 2
2 2 2

,B =


1 1 1
1 1 1
1 1 1

,C =


0 −1 1
1 0 −1
1 −1 0


Řešení:
AX−BX = C
(A−B)X = C
X = (A−B)−1C
X =


0 −1 1
1 2 −1
−1 −1 1

·


0 −1 1
1 0 −1
1 −1 0

 =


0 −1 1
1 0 −1
0 0 0


2. Pro které hodnoty parametru p ∈ IR existuje k matici A inveresní matice?
A =



2 2 1 1
4 −2p + 8 4p−2 −p + 1
2p−2 2p−3 p p−1
3 −p + 4 p−3 3



Řešení:
Inversní matice existuje pouze k regulární matici, tedy k matici, jejíž determinant je nenulový. Spo-
čítáme tedy detA. Matici nejprve upravíme, např. takto: Od 1. sloupce a od 2. sloupce odečteme
dvojnásobek 4. sloupce a od 3. sloupce odečteme 4. sloupec. Při těchto úpravách se determinant ne-
změní. Potom uděláme rozvoj podle 1. řádku. Ve čtvercové matici řádu 3 pak můžeme ještě k 2. sloupci
přičíst 3. sloupec a udělat rozvoj podle 2. řádku.
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
2 2 1 1
4 −2p + 8 4p−2 −p + 1
2p−2 2p−3 p p−1
3 −p + 4 p−3 3
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
0 0 0 1
2p + 2 6 5p−3 −p + 1
0 −1 1 p−1
−3 −p−2 p−6 3
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
=
= −1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
2p + 2 6 5p−3
0 −1 1
−3 −p−2 p−6
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = −1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
2p + 2 5p + 3 5p−3
0 0 1
−3 −8 p−6
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle = −1(−1)(−16p−16+15p+9) = −p−7
Tedy detA = −p−7, a inversní matice existuje pro a ∈ IR\{−7}.
3. Polynom P(x) má v uspořádané bázi (x2 +x−1,2x2−x−1,x2 +x+2) souřadnice (1,1,−1). Najděte
jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x2 + 1,x2 −x−1,x2 −x).
Řešení: Nejprve si spočítáme polynom P(x), potom si ho vyjádříme jako lineární kombinaci vektorů
x2 + 1,x2 − x − 1,x2 − x. Vektor koeficientů této lineární kombinace je vektor souřadnic polynomu
P(x) vzhledem k uspořádané bázi (x2 + 1,x2 −x−1,x2 −x).
P(x) = 1(x2+x−1)+1(2x2−x−1)−1(x2+x+2) = 2x2−x−4 = a(x2+1)+b(x2−x−1)+c(x2−x) =
(a + b + c)x2 + (−b−c)x + (a−b)
Rovnají-li se dva polynomy, rovnají se jejich koeficienty u odpovídajících mocnin, tedy
a + b + c = 2
−b − c = −1
a − b = −4
Tato soustava má jediné řešení a to a = 1,b = 5,c = −4. Souřadnice polynomu P(x) vzhledem k bázi
(x2 + 1,x2 −x−1,x2 −x) jsou (1,5,−4).
4. Označme M2,2 lineární prostor všech čtvercových matic řádu 2. Nechť A : M2,2 −→ M2,2 je lineární
zobrazení, pro které platí
A
parenleftbigg a b
c d
parenrightbigg
=
parenleftbigg a + b + c + d −a + c + 2d
2a + b + c + 2d −2a−b + c
parenrightbigg
.
Spočtěte defekt zobrazení A.
Řešení: Defekt zobrazení je dimense jeho jádra. Jádro je množina vektorů, které se zobrazí na nulový
vektor. Do jádra zobrazení A tedy patří ty matice
parenleftbigg a b
c d
parenrightbigg
, pro které platí
a + b + c + d = 0
−a + c + 2d = 0
2a + b + c + 2d = 0
−2a−b + c = 0



1 1 1 1
−1 0 1 2
2 1 1 2
−2 −1 1 0


∼



1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 −4



Soustava má jediné řešení, a = b = c = d = 0, jádro obsahuje pouze nulovou matici a def(A) =
dim(KerA) = 0.
5. Definujte inversní matici k matici A. Dokažte, že pokud existuje inversní matice k matici A, pak je
určena jednoznačně.
Řešení: Necht A je čtvercová matice řádu n. Inversní maticí k matici A nazveme čtvercovou matici X
řádu n, pro kterou platí AX = XA = E.
Nechť tuto podmínku splňují matice X,Y, tj. platí AX = XA = E a také AY = YA = E. Potom
X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y.
Matice X a Y jsou si tedy rovny.