Tělesa

Tˇelesa
Martin “Lishaak” Podlouck´y
11. ˇcervence 2007
1 ´Uvodem
Jemn´ym a nen´asiln´ym ´uvodem do algebraick´ych tˇeles bych r´ad zapoˇcal s´erii
ˇcl´ank˚u popisuj´ıc´ı naprost´e z´aklady line´arn´ı algebry, kterou spousta lid´ı mus´ı
na vysok´e ˇskole pˇrekousnout, pˇrestoˇze je matematika tˇreba v˚ubec nebav´ı.
Dopˇredu nem´am napl´anov´ano, kolik ˇcl´ank˚u a na jak´a t´emata nap´ıˇsu. Vˇsechno
z´aleˇz´ı na tom, jak se v´am moje pr´ace bude l´ıbit a po jak´ych t´ematech bu-
dete touˇzit. Pokud se v´am tedy m˚uj ˇcl´anek l´ıb´ı (nebo k nˇemu m´ate jakou-
koliv pˇripom´ınku ˇci v´yhradu), dejte mi o tom pros´ım vˇedˇet na m˚uj e-mail
lishaak[zavinac]matfyz.cz.
K pochopen´ı n´asleduj´ıc´ıho v´ykladu nepotˇrebujete ˇz´adn´e speci´aln´ı ma-
tematick´e dovednosti ani vˇedomosti. Staˇc´ı rozumˇet naprost´ym z´aklad˚um
stˇredoˇskolsk´e matematiky a m´ıt chut’ se nˇeco nov´eho dozvˇedˇet ˇci pˇriuˇcit.
2 Bub´ak jm´enem algebraick´e tˇeleso
Pokud v´am jiˇz samotn´y n´azev algebraick´e tˇeleso nah´an´ı hr˚uzu, vˇezte, ˇze
opravdu nen´ı ˇceho se b´at. Takov´e tˇeleso je ve skuteˇcnosti velmi jednoduch´a
vˇec, pod´ıv´ame-li se na nˇej z toho spr´avn´eho ´uhlu.
Algebraick´e tˇeleso je jak´akoliv libovoln´a mnoˇzina plus dvˇe bin´arn´ı
operace, splˇnuj´ıc´ı urˇcit´e podm´ınky. Tot’ vˇse. Nic v´ıc ani m´ıˇn. Jak vid´ıte, roz-
hodnˇe nic nebezpeˇcn´eho nebo hr˚uzostraˇsn´eho. A jakmile toto v´ıme, m˚uˇzeme
se uˇz beze strachu j´ıt pod´ıvat troˇsiˇcku bl´ıˇz.
2.1 Mnoˇzina prvk˚u tˇelesa
Naˇsi libovolnou mnoˇz´ınu si oznaˇc´ıme T a jej´ım prvk˚um budeme ˇr´ıkat prvky
tˇelesa. Vˇeˇrte, pˇr´atel´e, ˇze mnoˇzina prvk˚u tˇelesa m˚uˇze b´yt naprosto libovoln´a.
1
M˚uˇze to b´yt mnoˇzina vˇsech sud´ych ˇc´ısel, mnoˇzina vˇsech ponoˇzek, ke kter´ym
nem´ate druhou do p´aru nebo tˇreba vaˇse sb´ırka plyˇsov´ych slon˚u. Snad jedin´a
podm´ınka je, ˇze mnoˇzina T nesm´ı b´yt pr´azdn´a. To bychom si totiˇz mnoho
legrace neuˇzili.
2.2 Bin´arn´ı operace
Pokud v´am nen´ı ihned zˇrejm´e, coˇze to vlastnˇe je ta bin´arn´ı operace, m˚uˇzete
si ji pˇredstavit jako takov´y mal´y ml´ynek. Vloˇz´ıte do nˇej dva (odtud to
bin´arn´ı v n´azvu) prvky nˇejak´e mnoˇziny, zatoˇcite lehce klikou a on v´am vy-
padne nˇejak´y dalˇs´ı prvek z vaˇs´ı mnoˇziny. Takov´a hezk´a bin´arn´ı operace je
napˇr´ıklad dˇelen´ı. Zajim´a v´as, kolik je 10 / 5? Vezmˇete si bin´arn´ı operaci
dˇelen´ı (ml´ynek), kde vaˇse mnoˇzina bude mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel. Do ml´ynku
nasypte nejprve des´ıtku a potom pˇetku, zatoˇcte klikou a, svˇete div se, vy-
padne dvojka.
My si naˇse dvˇe operace pojmenujeme sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı a budeme je
znaˇcit ⊕ a ⊗. Nenechte se zm´ast jejich n´azvem. Se sˇc´ıt´an´ım a n´asoben´ım,
kter´e pouˇz´ıv´ame norm´alnˇe, nemus´ı m´ıt tyto operace mnoho spoleˇcn´eho. Je
to pr´avˇe kv˚uli tomu, ˇze prvky tˇelesa m˚uˇzou b´yt jak´ekoliv objekty. A pr´avˇe
na plyˇsov´e slony nebo ponoˇzky se “naˇse” sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı pouˇz´ıt ned´a.
3 Operace nad tˇelesem
Operace ⊕ a ⊗ mus´ı splˇnovat urˇcit´e podm´ınky. Nem˚uˇzeme si je zav´est ´uplnˇe
libovolnˇe. Smyslem zav´adˇen´ı tˇechto operac´ı je totiˇz zobecnˇen´ı obyˇcejn´eho
sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı, kter´e pouˇz´ıv´ama na ˇc´ısla. Chceme, aby se tyto operace
daly zav´est tak, abychom je mohli pouˇz´ıt na prvky tˇelesa, kter´e, jak uˇz
v´ıme, mohou b´yt naprosoto libovoln´e objekty, tedy ne jenom ˇc´ısla. Pˇresto
ale chceme, aby si operace ⊕ a ⊗ zachovaly jak´ysi z´akladn´ı smysl sˇc´ıt´an´ı
a n´asoben´ı. To zajist´ıme tak, ˇze zavedeme desatero podm´ınek, kter´e mus´ı
tyto operace splˇnovat aby naˇse struktura byla tˇelesem. Tˇemto podm´ınk´am
budeme ˇr´ıkat axiomy tˇelesa. Zde jsou:
1. Komutativita sˇc´ıt´an´ı.
Pro libovoln´e dva prvky a, b z tˇelesa T mus´ı platit a ⊕ b = b ⊕ a.
2. Asociativita sˇc´ıt´an´ı.
Pro libovoln´e tˇri prvky a, b, c z tˇelesa T mus´ı platit (a ⊕ b) ⊕ c =
a ⊕(b ⊕ c).
2
3. Existence nulov´eho prvku.
Mus´ı existovat prvek