Tělesa

z tˇelesa T, oznaˇc´ıme ho 0 (pozor, nepl´est s ˇc´ıslem
0), kter´y mus´ı m´ıt tu vlastnost, ˇze pro libovoln´y prvek a z tˇelesa T plat´ı
a ⊕0 = a.
4. Existence opaˇcn´eho prvku.
Mus´ı existovat prvek z tˇelesa T, oznaˇcme ho −a, kter´y mus´ı m´ıt tu
vlastnost, ˇze pro libovoln´y prvek a z tˇelesa T plat´ı a ⊕−a = 0.
5. Komutativita n´asoben´ı.
Pro libovoln´e dva prvky a, b z tˇelesa T mus´ı platit a ⊗ b = b ⊗ a.
6. Asociativita n´asoben´ı.
Pro libovoln´e tˇri prvky a, b, c z tˇelesa T mus´ı platit (a ⊗ b) ⊗ c =
a ⊗(b ⊗ c).
7. Existence jednotkov´eho prvku.
Mus´ı existovat prvek z tˇelesa T, oznaˇc´ıme ho 1 (pozor, nepl´est s ˇc´ıslem
1), kter´y mus´ı m´ıt tu vlastnost, ˇze pro libovoln´y prvek a z tˇelesa T plat´ı
a ⊗1 = a.
8. Existence inverzn´ıho prvku.
Mus´ı existovat prvek z tˇelesa T, oznaˇcme ho a−1, kter´y mus´ı m´ıt tu
vlastnost, ˇze pro libovoln´y prvek a r˚uzn´y od 0 z tˇelesa T plat´ı a⊗a−1 =
1.
9. Distributivita.
Pro libovoln´e tˇri prvky a, b, c z tˇelesa T mus´ı platit a ⊗ (b ⊕ c) =
(a ⊗ b)⊕(a ⊗ c).
10. Netrivialita.
Nulov´y a jednotkov´y prvek nesm´ı b´yt jeden a ten sam´y. Tedy 0 negationslash= 1
Pro toho, kdy by se chtˇel pocviˇcit v matematick´em formalizmu, jsem zde
napsal axiomy tˇelesa tak, jak se v matematick´e hant´yrce zapisuj´ı.
1. ∀a,b ∈ T a ⊕ b = b ⊕ a
2. ∀a,b,c ∈ T (a ⊕ b)⊕ c = a ⊕(b ⊕ c)
3. ∃0 ∈ T ∀a ∈ T a ⊕0 = a
4. ∃− a ∈ T ∀a ∈ T a ⊕−a = 0
5. ∀a,b ∈ T a ⊗ b = b ⊗ a
3
6. ∀a,b,c ∈ T (a ⊗ b)⊗ c = a ⊗(b ⊗ c)
7. ∃1 ∈ T ∀a ∈ T a ⊗1 = a
8. ∃a−1 ∈ T ∀a ∈ T,a negationslash= 0 a ⊗ a−1 = 1
9. ∀a,b,c ∈ T a ⊗(b ⊕ c) = (a ⊗ b)⊕(a ⊗ c)
10. 0 negationslash= 1
Ted’ si moˇzn´aˇr´ık´ate, ˇze tˇech axiom˚u je straˇslivˇe moc. Vˇsechny jsou ale snadno
pochopiteln´e, kdyˇz si uvˇedom´ıme, co znamenaj´ı. Prvn´ı ˇctyˇri popisuj´ı obvykl´e
vlastnosti sˇc´ıt´an´ı a dalˇs´ı ˇctyˇri obvykl´e vlastnosti n´asoben´ı, kter´e jsou nav´ıc
tˇem prvn´ım ˇctyˇrem velmi podobn´e. Dev´at´y axiom ˇr´ık´a, v jak´em vztahu jsou
spolu sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı. Jenom des´at´y je takov´a sp´ıˇse technick´a z´aleˇzitost,
kter´a zajiˇst’uje, aby to tˇeleso nemohlo m´ıt nˇejak´e podivn´e vlastnosti.
Vˇsimnˇete si, jak hezky jsme se vyhnuli zav´adˇen´ı odˇc´ıt´an´ı a dˇelen´ı. Tyto
operace jsou zavedeny pomoc´ı pˇriˇc´ıt´an´ı opaˇcn´eho prvku a n´asoben´ı inverzn´ım
prvkem. Tedy napˇr´ıkld 4 − 2 je pouze zkratka za 4 + (−2) a 4 / 2 je pouze
zkratka za 4×2−1.
4 Pˇrehl´ıdka tˇeles
Nyn´ı jiˇz m´ame form´alnˇe zaveden pojem algebraick´e tˇeleso. Pokud bychom
chtˇeli nˇejak intuitivnˇe vyj´adˇrit, coˇze to vlatsnˇe to tˇeleso je, m˚uˇzeme ˇr´ıct, ˇze
je to jak´asi struktura, kter´a n´am umoˇzˇnuje sˇc´ıtat, odˇc´ıtat, n´asobit a dˇelit libo-
voln´e objekty, na kter´ych dok´aˇzeme tyto operace zadefinovat, a to zp˚usobem,
podobn´ym tomu, jak tyto operace prov´ad´ıme v element´arn´ı aritmetice.
4.1 Naˇse prvn´ı tˇeleso
Kdyˇz uˇz jsme si tak hezky vymysleli a popsali tˇelesa, pojd’me si nˇejak´e
skuteˇcn´e tˇeleso sestrojit. Nejdˇr´ıve si zvol´ıme mnoˇzinu prvk˚u tˇelesa. Zat´ım
nebudeme pˇr´ıliˇs experimentovat s plyˇsov´ymy slony nebo ponoˇzkami a jako
prvky tˇelesa si zvol´ıme pˇrirozen´a ˇc´ısla. Aby to vˇsechno bylo opravdu jedno-
duch´e, vezmeme pouze ˇc´ısla 0, 1, 2, 3, 4. Tedy naˇse mnoˇzina T bude vypadat
takto:
T = {0,1,2,3,4}
Ted’ uˇz zb´yv´a pouze nˇejak ˇsikovnˇe nadefinovat operace ⊕ a ⊗. Tady
si vypom˚uˇzeme operacemi sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı, kter´e jiˇz zn´ame z aritmetiky.
Troˇsku je ale uprav´ıme, aby fungovaly i na naˇsem tˇelese.
4
• Operace ⊕
Souˇcet dvou prvk˚u a⊕b provedeme tak, ˇze vypoˇcteme zbytek po dˇelen´ı
pˇeti ze souˇctu a+b. Sˇc´ıt´an´ı v naˇsem tˇelese tedy budou vypadat takto:
1⊕1 = 2 1⊕3 = 4 2⊕3 = 0 4⊕2 = 1 apod.
• Operace ⊗
Souˇcin dvou prvk˚u a⊗b provedeme tak, ˇze vypoˇcteme zbytek po dˇelen´ı
pˇeti ze souˇcinu ab. N´asoben´ı v naˇsem tˇelese tedy budou vypadat takto:
1⊗1 = 1 2⊗2 = 4 2⊗3 = 1 4⊗2 = 3 apod.
A je to. Nyn´ı uˇz m´ame