Tělesa

vyroben´e plnohodnotn´e tˇeleso. Jeˇstˇe by to chtˇelo
ovˇeˇrit platnost vˇsech axiom˚u abychom si byli jisti, ˇze jsme vyrobili skuteˇcnˇe
tˇeleso a ne nˇejak´y paskvil.
• Komutativitu a asociativitu sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı jste jistˇe schopni
ovˇeˇrit sami, stejnˇe tak distributivitu.
• Z toho, jak jsme zadefinovali sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı taky plyne, ˇze exis-
tuje nulov´y prvek (v naˇsem pˇr´ıpadˇe je to n´ahodou zrovna ˇc´ıslo 0) a
jednotkov´y prvek (v naˇsem pˇr´ıpadˇe 1), kter´e jsou navz´ajem r˚uzn´e.
• Ted’ uˇz n´am tedy zb´yv´a ovˇeˇrit pouze existenci opaˇcn´eho a inverzn´ıho
prvku. Urˇcitˇe vˇsichni vid´ıme,ˇze ke kaˇzd´emuˇc´ıslu z mnoˇziny{0,1,2,3,4}
existuje nˇejak´e ˇc´ıslo z t´e sam´e mnoˇziny tak, ˇze v´ysledek jejich souˇctu
je pˇet (tedy v naˇsem tˇelese 0). Obdobnˇe to plat´ı tak´e pro n´asoben´ı a
v´ysledek 6 (v naˇsem tˇelese 1). Zkuste si to!
4.2 Pˇr´ıklady dalˇs´ıch tˇeles
Pˇred chv´ıl´ı jsme vyrobili tˇeleso, kter´e m´a pˇet prvk˚u. Ukazuje se, ˇze stejn´ym
zp˚usobem se daj´ı vyrobit i dalˇs´ı tˇelesa, kde poˇcet jejich prvk˚u je prvoˇc´ıslo.
Takov´ym tˇeles˚um se ˇr´ık´a tˇelesa zbytkov´ych tˇr´ıd a oznaˇcuj´ı se Zp, kde p
je poˇcet prvk˚u tˇelesa, a jsou hodnˇe ˇcasto pouˇz´ıvan´a jak v matematice nebo
informatice tak samozˇrejmˇe i v r˚uzn´ych p´ısemkov´ych pˇr´ıkladech.
Jdou vyrobit i tˇelesa s jin´ym neˇz s prvoˇc´ıseln´ym poˇctem prvk˚u? Ano jdou,
ale uˇz to nejde takov´ym zp˚usobem, jak jsem to pˇredvedl pˇred chv´ıl´ı. Proˇc?
Pˇredstavte si tˇeleso vyroben´e v´yˇse popsan´ym postupem, kter´e m´a pouze ˇctyˇri
prvky. V takov´em tˇelese plat´ı 2 ⊗ 2 = 0. Tedy souˇcin dvou nenulov´ych ˇc´ısel
5
je nula. To se v tˇelese nesm´ı st´at. Nen´ı to sice pˇr´ımo zak´az´ano v axiomech
tˇelesa, ale d´a se to z nich celkem snadno odvodit. Ukazuje se ovˇsem, ˇze pokud
se m´ısto ˇc´ısel jako prvk˚u tˇelesa pouˇzijou polynomy, daj´ı se vyrobit i tˇelesa,
jejichˇz poˇcet prvk˚u je mocninou prvoˇc´ısla. Tedy ˇctyˇrprvkov´e tˇeleso existuje,
nebot’ ˇctyˇrka je mocninou dvojky.
Samozˇrejmˇe jsou moˇzn´a i tˇelesa s nekoneˇcn´ym poˇctem prvk˚u. Tak napˇr´ıklad
mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel plus naˇse obvykl´e operace sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı tak´e tvoˇr´ı
tˇeleso. To samozˇrejmˇe neplat´ı jen pro ˇc´ısla re´aln´a, ale tak´e pro pˇrirozen´a, cel´a,
racion´aln´ı i komplexn´ı.
A to nejlepˇs´ı nakonec. Nikdo n´am samozˇrejmˇe nepˇredepisuje, ˇze telesa
mus´ı b´yt tvoˇrena ˇc´ısly, polynomy nebo v˚ubec nˇejak´ymi matematick´ymi ob-
jekty. Jak uˇz jsem ˇr´ıkal, m˚uˇzete si vyrobit tˇeleso ponoˇzek, plyˇsov´ych slon˚u
atd. Jedin´y probl´em asi bude, jak zadefinovat sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı na slonech.
Tady je zaj´ımav´a ta vˇec, ˇze se v´am nikdy nem˚uˇze podaˇrit vyrobit tˇeleso,
kter´e obsahuje ˇsest ponoˇzek. Protoˇze ˇsestka nen´ı ani prvoˇc´ıslo ani mocnina
prvoˇc´ısla. Ale m˚uˇzete klidnˇe vyrobit tˇeleso, kter´e ˇc´ıt´a sedmn´act ponoˇzek,
kaˇzdou z nich si oˇc´ıslovat (b´ıl´a ponoˇzka bude 0, ˇcern´a 1, zelen´a 2 atd.) a
sˇc´ıtat je potom stejnˇe, jako jsme my sˇc´ıtali ve tˇelese zbytkov´ych tˇr´ıd.
5 A k ˇcemu to vˇsechno je?
Pokud jste doˇcetli aˇz sem, moˇzn´a si ˇr´ık´ate, na co prob˚uh potˇrebujem takovou
ˇs´ılenou strukturu jako je algebraick´e tˇeleso? Inu, tˇelesa jsou velice d˚uleˇzit´a,
jak z teoretick´eho hlediska, nebot’ popisuj´ı a hlavnˇe zobecˇnuj´ı to, ˇcemu by
se dalo ˇr´ıkat poˇc´ıt´an´ı, tedy aritmetiku, tak z praktick´eho hlediska, nebot’
spousta matematick´ych nebo informatick´ych probl´em˚u se snadnˇeji vyˇreˇs´ı,
pˇredstav´ıme-li si je jako poˇc´ıt´an´ı v tˇelesech. Koneˇcn´a tˇelesa maj´ı napˇr´ıklad
velk´y v´yznam pro k´ody na CD nebo DVD disc´ıch. Jinak, co se t´yˇce samotn´e
line´arn´ı algebry, jsou tˇelesa z´akladn´ım kamenem pro dalˇs´ı, sloˇzitˇejˇs´ı a t´ım
tak´e daleko uˇziteˇcnˇejˇs´ı a zaj´ımavˇejˇs´ı struktury, jako jsou napˇr´ıklad vektorov´e
prostory. Ty totiˇz tvoˇr´ı jak´ysi z´aklad cel´e line´arn´ı algebry.
6