Dynamika

České vysoké učení technické v Praze

Fakulta dopravní













Mechanika 2 – dynamika


Texty přednášek











Přednášející: Prof.Ing. Josef Jíra, CSc.

Zpracoval: Doc.Ing. Michal Micka, CSc.
Marek Kříček, Zdeněk Lokaj













Praha, prosinec 2001
1. TŘENÍ

Vazby jsme uvažovali jako útvary s dokonale hladkými styčnými místy a s reakcemi
kolmými ke styčným plochám či křivkám. Ve skutečnosti jsou styčná místa vazeb víceméně
drsná. Vzniklé reakce jsou obecně odchýlené od normál styčných ploch (křivek). Pasivní
odpory se projevují reakcemi, které mají tečné složky.
V charakteru těchto tečných složek rozlišujeme 2 případy. Jestliže jde o vzájemný
pohyb útvarů, obecně mluvím reakce.
Všeobecně platí, že třecí síla relativní
rychlosti stýkajících se bodů.
S pasivními odpory se lze setkat při valení
tělesa, při navíjení vláken (lan, řetězů).
Tření je
-často užitečné, bez tření
energie řemeny
- často škodlivé, neboť
plochy necháme potáhnout vrstvou
neboť tření pevných látek nahradím

1.1. Tření smykové

Vznik tečných reakcí u
ploch, které svými výstupky (
těleso přes nerovnosti jednak přenášet
plasticky).
Tření je jev fyzikálně v
síle, která tyto plochy přitlačuje,
za pohybu.
Jestliže se těleso nepohybuje,
v klidu. Pohybuje-li se těleso, t

V 18.století formuloval fyzik Coulom

1. zákon o smykovém tření za klidu
Tření smykové v klidu nemůže přestoupit určitou hodnotu, která je úm
jíž jsou tělesa k sobě přitlačována.


kde NT
s
⋅≤µ


statický součinitel tření, závisí převážně na drsnosti ploch

1. zákon o smykovém tření za pohybu

Tření za pohybu vyvozuje tečn
e o smykovém tření. Relativnímu klidu přísluší tečné
(smykové tření) působí ve směru a proti smyslu
i v jiných formách, jsou to např. odporové účinky
by nebyla možná chůze, rozjezd a brždění vozidel, přenos
snižuje výkonnost strojů, pak se mu bráníme tím, že třecí
přilnavé kapaliny (mazadla) a tím tření zmenšujeme,
e třením kapalinným (menší).
stýkajících se těles bývá vysvětlován nerovnostmi styčných
i velmi nepatrnými ) do sebe zasahují. Při pohybu se musí
a jednak se výstupky deformují (zčásti pružně, zčásti
elmi složitý. Závisí na materiálu, na stavu styčných ploch , na
na velikosti ploch, na teplotě. Jiné poměry jsou za klidu, jiné
tření brání uvedení tělesa do pohybu - nastává tření
ření se uplatňuje jako síla brzdící pohyb - tření v pohybu.
b 2 empirické zákony o smykovém tření.

ěrná normálové složce,
T je velikost třecí složky reakce
µ
s
je součinitel tření za klidu
N je normálová složka reakce na styku obou těles

ou složku reakce, která je úměrná normálové složce reakce.
kde


kinematický součinitel tření
(závisí převážně na drsnosti ploch a nezávisí na rychlosti)
T je velikost třecí složky reakce
µ
k
je součinitel tření za pohybu
N je normálová složka reakce na styku obou těles
NT
k
⋅≤µ

T(N)
F(N)

Platí:


ks
µµ >
µ
s
N

( platnost vztahu je ověřena
obrázek )
µ
k
N
výsledky experimentů - viz






Úloha 1.1.1:
Těleso na vodorovné rovině, na které působí síla F, která svírá s normálou třecí plochy
úhel α.
1.a) Je-li rovina ideálně hladká těleso je v rovnováze
pouze tehdy, je-li síla F kolmá k rovině
( α = 0 ).
b) Odkloněním síly F o úhel α se dá těleso do
pohybu pod účinkem hnací síly αsin⋅=′′ FF .

2 a) Je-li rovina drsná, může vzdorovat nejen silám k
nim kolmým, ale i tečným silám až do velikosti
NT
s
⋅≤µ .
(i) Při působení síly F odkloněné o úhel α
bude těleso tak dlouho v rovnováze, pokud tečná
složka síly F" bude menší než maximální hodnota
vodorovné reakce T
s
s
sss
tg
FF
FFNFF
µα
α
α
αµα
αµµµα
≤=
⋅⋅≤⋅
⋅⋅=′⋅=⋅≤⋅=′′
cos
sin
cossin
cossin
F
F′
F ′′
α
0=v
s
ϕ
s
ϕ
NR
n
≡
TR
t
≡
R
čili pokud úhel α bude menší než úhel
s
ϕ , pro který platí
ss
tg µϕ = , kde
s
ϕ je úhel
smykového tření v klidu. Udává krajní polohy vnější síly F , při nichž vazba působí.
Přestoupí-li úhel α hodnotu ϕ , dá se těleso do pohybu. Hnací silou zde bude výslednice
vnější síly a reakce vedení
s
k
FFTF µαα ⋅⋅−⋅=−′′ cossin
V této rovnici je již místo
s
µ součinitel
k
µ a protože se těleso pohybuje je
sk
µµ < .
Třecí kužel - vyšrafovaná oblast mezi čerchovanými hranicemi vymezenými úhlem
s
ϕ od
svislé osy. Pokud paprsek síly leží uvnitř třecího kuželu, je těleso ve stabilní poloze
( v klidu ).
Ekvivalence:
Protože se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený, je
nutno do výpočtu zahrnout setrvačnou sílu. Pohybová
rovnice tělesa bude

úhel
k
ϕ , jehož
kk
tg µϕ = , se nazývá úhel tření za pohybu.
Pohyb se bude zrychlovat, pokud platí αϕ tgtg
k
< , klesne-li úhel α pod hodnotu
k
ϕ , bude
těleso bržděno a časem se zastaví.
s
ϕα >
F
α
F′
F ′′
NR
n
≡
R
TR
t
≡
am⋅
α
k
ϕ
()








−⋅=⋅
⋅−⋅=⋅
−′′=⋅
α
ϕ
αµα
tg
tg
Fam
Fam
TFam
k
k
1sin
cossin

Materiál
µ
s
ϕ
s
µ
k
ϕ
k

ocel na ledě 0,027 1
o
36´ 0,014 48´
ocel na oceli 0,11 - 0,3 6
o
20´ - 16
o
40´ 0,07 - 0,25 4
o
- 14
o
kov na dřevě 0,2 - 0,55 11
o
20´ - 29
o
0,2 - 0,5 11
o
20´ - 26
o
30´
dřevo na dřevě 0,43 - 0,62 23
o
- 32
o
0,19 - 0,48 12
o
- 25
o





Úloha 1.1.2:
Chování tělesa o tíze G nakloníme-li rovinu, na které leží kvádr


G
G
α
s
ϕ
s
ϕ
b)
a)
R
R
αcos⋅=GN
αsin⋅=GF
α
0=α
s
ϕα <
bez pohybu, STABILNÍ
bez tření
s
ϕ
s
s
ϕ
s
ϕ
α
α
α
α
G
G
αcos⋅=GN
αcos⋅=GN
αsin⋅=GF
αsin⋅>
POHYB
bez pohybu, ale pohyb možný,
LABILNÍ
ϕ
třecí kužel
d)c)
Nutnou a postačující podmínkou aby těleso na nakloněné rovině bylo ve stabilní
rovnováze, je, aby paprsek výslednice vnějších působících sil (zde tíha) ležel uvnitř
třecího kužele.

1.2. Tření valivé
Válec spočívající na dokonale hladké podložce se uvede do pohybu sebemenší
vodorovnou silou. Válec se bude smýkat a reakce podložky R bude v rovnováze s vahou
válce, bude svislá a bude procházet těžištěm
G
F
N
v
G
N
T
F
v
r
ω
a) dokonale hladká podložka b) tření

Ve skutečnosti smýkání válce po podložce brání tření, podložka kromě svislé reakce
působí i silou vodorovnou, která brání posunu dotykového bodu válce. Tento dotykový bod
zůstává na místě a válec se kolem něho točí - valí se.
Moment roztáčející válec má velikost rF⋅ a velice malá hnací síla F by měla stačit k
uvedení válce do pohybu.
Ve skutečnosti klade těleso odpor i proti valení.
Vysvětlení:
Reakce podložky se poněkud posune vpřed proti směru pohybu o jistou délku e (stejně jako u
radiálního čepu v nepřiléhajícím ložisku)
Váha tělesa vzhledem ke středu otáčení působí brzdícím
momentem eG⋅
Jev se nazývá tření valivé, délka e je parametr tření
valivého (ačkoliv ke tření tu nedochází)
Tření valivé je de facto odpor proti valení tělesa.

Prakticky:
Účinek tření valivého se podobně jako u tření smykového
vyjadřuje brzdící silou T, která je násobkem svislého tlaku.
Součtové podmínky rovnováhy
momentová podmínka rovnováhy ke středu

kde µ
v
je koeficient tření valivého, který je značně menší než u tření smykového.

Zjednodušující předpoklady (Coulomb)
- parametr e je nezávislý na poloměru válce a jeho výšce
- parametr e je nezávislý na síle, kterou je válec tlačen k podkladu


1.3. Tření v čepech
Vyšetříme moment potřebný k překonání odporu v čepu.

1.3.1. Čep tvaru V
Součinitel tření v klidu je charakterizován třecím úhlem
s
ϕ a valivý odpor
parametrem valivého tření e. Sklon ramen V čepu je dán úhlem α. V místě dotyku
kruhového průřezu a hran čepu vznikají neznámé reakce , třetí neznámou je velikost
momentu . Sestavíme součtové podmínky rovnováhy tuhé desky v rovině ve
21
,RR
max
M
NGTF
N-GTF
==
==−

0 0
v
GT
r
e
GT
r
e
NT
rTeN
µ⋅=⋅=⇒⋅=
=⋅−⋅

0
G
N
e
r
ω
F
v
T
G
α

α

α

α

r
M
max
M
max
P
B
2
A
1
p
e
R
1
R
2
x
ϕ
x
ϕB
1
A
2
e
vodorovném a svislém směru:
() () ( )()0coscos 0sinsin
2121
=−−+−↑=−−+→
ssss
RRGRR ϕαϕαϕαϕα
Řešením obou rovnice dostaneme
()
()
()
( )
()
()
()
()

tan
sin
cos
sin
sin