Dynamika

b hmotného bodu po kružnici.

Poloha bodu ( na obr. B
0
, B ) je popsána
časově proměnným úhlem ()tϕ , dráha
kde R je poloměr kružnice.
( ) ( ) Rtts ⋅=ϕ
a s
v
t
t t
y
Vektor průvodiče ( )tr můžeme vyjádřit
pomocí průmětů do souřadnicových os
( ) ( ) () 21 sincos etRetRtr ⋅⋅+⋅⋅= ϕϕ
x

s
()
0
tϕ
( )tϕ
()()tRB ϕ,
( )()
00
, tRB ϕ
kde jednotkové vektory ve směru normály
a tečny jsou ( viz následující obrázek )


() ()
()() ()() ()() ()()2121
21
90cos90sin90sin90cos
sincos
etetetete
etete
t
n
⋅−+⋅−−=⋅−+⋅−−=
⋅+⋅=
ϕϕϕϕ
ϕϕ

Vektor okamžité rychlosti
()
() () () () () () ()[ ]
() () tt etRetR
etettRettRettR
dt
trd
v
⋅⋅=⋅⋅=
=⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−==
ωϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
&
&&&&
2121 cossincossin

Z předchozího zápisu je zřejmé, že úhlová rychlost ()
( )
]srad [
1-
⋅=
dt
td
t
ϕ
ω
a dále platí ()
()
R
tv
t =ω

Vektor zrychlení
() ()
()
() () () () ntntnt etRetRetRetRe
R
tv
etvta ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅=
22
2
ωεωω&&
Úhlové zrychlení ()
()
() ] srad [
2-
⋅== t
dt
td
t ω
ω
ε &
()tR ϕcos⋅
R
()tϕ
()tR ϕsin⋅ 2
e
1
e
y
x
( )tϕ
( )tϕ
t
e
n
e
( )t
o
ϕ−90
Tečná složka zrychlení () ( )tRtRa
t
εω ⋅=⋅= &
Normálová složka zrychlení ( ) ( ) ( )ttvtRa
n
ωω ⋅=⋅=
2


Speciální případ - rovnoměrný pohyb kruhový, který je charakterizován konstantní úhlovou
rychlostí
()
()
0
ϕωϕω
ϕ
+⋅=⇒= tt
dt
td
pohyb je periodický
K proběhnutí kružnice je třeba času T - perioda
T
2
2
00
π
ωϕωϕπ =⇒+⋅=+ T
frekvence
f
T
f ⋅=⇒= πω 2
1

úhlové zrychlení ()tε je rovno 0 .






2.1.3. Šikmý vrh ve vakuu
Počáteční podmínky
- počáteční rychlost v
0


() () 0 pro 000
0
=== tyx
- elevační úhel α



- tíhové zrychlení a
y
= - g
y

- zrychlení a
x
= 0


Pohybové rovnice
rovnoměrný přímočarý pohyb ( )
0
xtvx
x
+⋅=
() tvtvtx
x
⋅⋅=⋅= αcos
00

rovnoměrně zrychlený pohyb




+⋅+⋅=
00
2
2
1
ytvtay
yy



() αsin
2
1
2
1
0
2
00
2
⋅⋅+⋅−=+⋅+⋅−= tvtgytvtgty
y

Vyloučíme-li čas t z obou rovnic dostaneme
()
()
( ) ( )
αα
α
α
22
0
2
2
0
0
0 cos
2
1
cos
2
1
sin
cos
⋅
⋅−
⋅
⋅⋅⋅=
⋅
=
v
tx
g
v
tx
vty
v
tx
t
Potom rovnice dráhy v souřadnicích x,y ( x = x(t) , y = y(t) )
2
22
0
cos2
1
x
v
g
tgxy ⋅⋅−⋅=
α
α
Určení času dopadu t
d
částice
g
v
t
d
αsin2
0
⋅
= netriviální řešení

Dostřel (dolet)
polohový vektor
2
0
2
1
tgtvr ⋅+⋅=
() α
α
cos
sin2
cos
0
00
⋅⋅=⋅⋅==
g
v
vttvtxd
ddd

x
o
v
oy
v
ox
v
ϕ
d
→
↓
()
0 0
2
1
sin
0sin
2
1
0
0
2
=⇒=






⋅−⋅
=⋅⋅+⋅−=
ddd
ddd
ttgvt
tvtgty
α
α
y
tv
o
⋅ 2
2
1
tg⋅
( )tr
x
triviální řešení
Maximální dostřel je pro elevační úhel
0
45=α α2sin
2
0
⋅=
g
v
d


2.2. Kinematika tuhého tělesa

Na tělese zvolíme 2 body A,B. Pohyb tělesa
popíšeme tak, že popíšeme polohu bodu A v čase a úhel
spojnice AB v čase

( ) ( )ttrr ϕϕ == ,





skalárně ve složkách
() ( )(tzztyytxx
AAA
=== ) - vyjadřuje posunutí "translaci" tělesa
() ( ) ( )ttt
zzyyxx
ϕϕϕϕϕϕ === - úhly vyjadřují pootočení podél souřadných
os, tj. rotaci tělesa
z
x
y
B
A

Pro obecný bod tělesa C e vyšetřovat rychlost a zrychlení tělesa budem

a) Translační pohyb - dráhy alespoň 3 bodů jsou shodné. Pohyb všech bodů tělesa je
stejný,proto je rychlost v a zrychlení a od translačního pohybu konstantní a rovné rychlosti
a zrychlení bodu A.

2
2
dt
rd
dt
vd
a
dt
rd
v ===
Problém řešíme jako pohyb bodu o hmotě rovné hmotě celého tělesa. Jeho poloha je určena
vektorem ()tr a
b) Rotační pohyb - dva body tělesa zůstávají stále na svých místech, potom se nepohybují
všechny body ležící na spojnici těchto dvou bodů. Těleso se
otáčí kolem této spojnice, nastává rotace tělesa kolem osy.
Každý bod tělesa vykonává kruhovou dráhu o středu na ose
otáčení.
ω
r
v
ρ
O′
o
ω - vektor úhlové rychlosti otáčení vázaný na osu rotace o ,
směr je stálý

Potom rychlost bodu C je
rv ×=ω
a zrychlení
()
dt
rd
r
dt
d
r
dt
d
dt
vd
a ×+×=×== ω
ω
ω



vektor úhlového zrychlení
dt
dω
ε = má směr osy otáčení
Proto vektor r×ε má směr rychlosti v a znamená složku zrychlení do směru tečny ke dráze
Vyjádříme-li rv ×=ω v absolutních hodnotách, dostaneme
ρω⋅=v resp.
ρ
v
=ω
Vektor v
dt
rd
×=× ωω

2
ωρωρ ⋅=⋅⋅
má směr do středu a představuje složku zrychlení dostředivého
ω=
n
a
a tečné zrychlení
1
⇒⋅⋅=×= ρ
ρ
ω
dt
dv
r
dt
d
a
t

dt
dv
a
t
=

c) Pohyb sférický - jeden bod zůstává na svém místě, otáčení tělesa se děje kolem bodu,
dráhy všech bodů tělesa jsou na soustředných koulích se
středem v onom pevném bodě.

r polohový vektor obecného bodu tělesa k bodu A
ϕd při pootočení se těleso pootočí o úhel ve směru
vektoru ϕd
ϕd
ρ rovina daná vektory ( )ϕρ dr,

Změna polohy bodu C pootočením je potom rdrd ×= ϕ
a rychlost bodu C rr
dt
d
dt
rd
v ×=×== ω
ϕ

ϕd
rd
r
C
A
ρ
Vektor úhlové rychlosti ω není předem dán a je závislý na čase
}
()
48476
&&
&
n
t
a
r
a
rrr
dt
vd
a
dt
d
××+×=×+×==
==
ωωεωω
ϕ
ϕ
ω

Úhlové zrychlení je dáno výrazem ϕω
ω
ε &&& ===
dt
d

Zrychlení bodu C je potom ( ) rra ××+×= ωωε



d) Obecný pohyb - zvolíme 1 bod tělesa (např.těžiště T), k němuž vztahujeme pohyb
ostatních bodů.
Sečtením účinku translace a otáčení dostáváme pro libovolný bod tělesa C:


Polohový vektor obecného bodu
′
+= CTC rrr
C
r
T
r
′
C
r
T
C
Rychlost C
T
C
C
rv
dt
rd
v ×+== ω
Zrychlení








××+×+==
′′
CCT
C
C
rra
dt
vd
a ωωε


Skalární zápis pro složky rychlosti ( dostaneme cyklickou záměnou indexů )
xyyxTzz
zxxzTyy
yzzyTxx
rrvv
rrvv
rrvv
⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
ωω
ωω
ωω
,
,
,

obdobně pro složky zrychlení
( ) ( )
zxxzzxyyxyyzzyTxx
rrrrrraa ⋅−⋅−⋅−⋅+⋅−⋅+= ωωωωωωεε
,

upravíme a cyklickou záměnou získáme složky vektoru zrychlení
( ) ( )
()()
()
yyxxzyxxyyxTzz
xxzzyxzzxxzTyy
zzyyxzyyzzyTxx
rrrraa
rrrraa
rrrraa
⋅+⋅+++⋅−⋅+=
⋅+⋅+++⋅−⋅+=
⋅+⋅+++⋅−⋅+=
ωωωωωεε
ωωωωωεε
ωωωωωεε
22
,
22
,
22
,



2.3. Kinematika desky
je zvláštním případem kinematiky tělesa, které vykonává pohyb v rovině x,y,
tzn. že
yxA
z ϕϕ ,, se nemění
() () ( ) ttyytxx
zAAAA
ϕϕϕ =≡==



kde x,y - nepohyblivý souřadný sys-
tém v rovině pohybu
x´,y´ - pohyblivý souřadný systém
v rovině desky s počátkem v bodě A.








y
y′
x
x′
A
B
ϕ
ϕ
ϕ
A
x
A
y
y′
x′
0
Souřadnice obecného bodu B při pohybu desky
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
cossin cossin
sincos sincos
⋅′+⋅′=−⋅′+⋅′+=
⋅′−⋅′=−⋅′−⋅′+=
yxyyyxyy
yxxxyxxx
AA
AA

derivací drah získáme složky rychlosti
()
()ϕϕϕ
ϕϕϕ
&&
&&
⋅⋅′−⋅′−==
⋅⋅′+⋅′−==
sincos
cossin
yxy
dt
dy
v
yxx
dt
dx
v
Ay
Ax

dosadíme ϕ
ϕ
ω &≈=
dt
d

a potom
()
()

,
,
AAyy
AAxx
xxvv
yyvv
−⋅−=
−⋅−=
ω
ω



Def. 1
Okamžitý střed otáčení (pól otáčení) je bod, který má v čase T nulovou rychlost. Souřadnice
okamžitého středu otáčení určíme z podmínky
pp
yx , 0==
yx
vv :
()
ω
ω
Ax
ApApAx
v
yyyyv
,
,
0 +=⇒=−⋅−
obdobně
ω
Ay
Ap
v
xx
,
−=

Def.2
Spojnici středů otáčení kreslenou v pevném souřadném systému x , y nazveme pevná poloida.
Spojnici středů otáčení kreslenou v pohyblivém souřadném systému x´, y´ v rovině desky
nazveme pohyblivá poloida

Poloidy se používají pro určování vhodného tvaru soukolí.

(Použití v principu virtuálních prací)
Nekonečně malý pohyb desky za časový okamžik t∆ lze realizovat jako otočení desky dle
okamžitého středu otáčení.
Dostaneme

ϕ
ϕ
∆
∆
+=
∆
∆
−=
A
Ap
A
Ap
x
yy
y
xx


Příklad 2.3.1.

Kolo o poloměru r se otáčí úhlovou rychlostí ωa střed kola A má posuvnou rychlost rv ⋅