Dynamika

tan
sin
cos

11
s
s
s
s
s
s
s
s
G
R
G
R
ϕα
ϕα
ϕα
ϕα
ϕα
ϕα
ϕα
ϕα
−
+
++
−
+
=
−
+
++
=

Výsledky mají smysl, pokud
s
ϕα > . Pokud to neplatí, jedná se o úlohu řešící pohyb kola na
nakloněné rovině. Neznámou hodnotu momentu vypočteme z momentové výminky
rovnováhy ke středu kruhu.
()( )0sincos
21max
=⋅+⋅++−
ss
reRRM ϕϕ
Dosazením za reakce získáme
21
,RR
()
ssk
reGM ϕϕ sincos ⋅+⋅=
Pokud by byl tento moment překonán, změnil by se třecí úhel statický na kinematický a V čep
by kladl odpor vyjádřený momentem
()
kkk
reGM ϕϕ sincos ⋅+⋅=


1.3.2. Válcový čep
Opět budeme hledat maximální moment, kterým můžeme zatížit vnitřní válec v čepu.
Odpor pohybu klade jednak tření valivé a jednak tření smykové. Součet těchto odporů se
nazývá tření čepové a pro úhel čepového tření za klidu můžeme přibližně předpokládat

kkčkvsčs
ϕϕϕϕϕϕ +=+=
Sestavíme podmínky rovnováhy válce v čepu. Použijeme tři nezávislé podmínky, které musí
splňovat tuhá deska v rovině. Podmínky jsou řazeny ve směru a orientaci neznámých reakcí

tn
RR ,
0sin 0cos =⋅−=⋅−
čstčsn
GRGR ϕϕ
a momentová podmínka rovnováhy k ose válce
0
max
=⋅+− rRM
t
Řešením rovnic pak dostaneme
sin sin cos
max čsčstčsn
rGMGRGR ϕϕϕ ⋅⋅=⋅=⋅=
Opět při pohybu klade čep odpor vyjádřený momentem

čkk
eGM ϕ⋅⋅=


1.4. Tření lana přes kruhový válec

Lano je vedeno přes kruhový válec, mezi lanem a povrchem válce je tření. Hledáme
největší možný rozdíl mezi velikostmi sil F
1
a F
2
, aby lano dotýkající se kruhového válce v
délce určené úhlem α ( viz obrázek ), neproklouzlo. Součinitel smykového tření za klidu mezi
materiály lana a válce je µ
s
.

ϕd
ϕ
α
( )ϕϕ dF +
()ϕF
t
R
n
R
ϕd
r

F
1
F
2


Přerušíme lano v místě daném úhly ϕ a ϕϕ d+ a zavedeme normálovou a tečnou
složku reakce vystihující spolupůsobení mezi lanem a válcem v úseku ϕd . Ve směru vnější
normály kruhového průřezu válce potom sestavíme součtovou podmínky rovnováhy
() ( ) ( )()0 0 0sin =+−≈=⋅+−⇒=⋅+− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ddFdFRddFRddFR
nnn

( protože pro malý úhel ϕϕ dd =sin ).
Zanedbáme veličinu druhého řádu a potom
() 0 =⋅− ϕϕ dFR
n

Podobně výminka rovnováhy v místě ϕ ve směru tečny má tvar
() ( ) ( ) ( ) 0 0cos =−−+⇒=−−⋅+
tt
RFdFRFddF ϕϕϕϕϕϕϕ
( protože pro malý úhel 1cos =ϕd )
Třecí síla
()ϕϕµµ dFRR
snst
⋅== .
Dosazením do předchozí rovnice a úpravou dostaneme
()()
()0=−
−+
ϕµ
ϕ
ϕϕϕ
F
d
FdF
s

což představuje lineární diferenciální rovnici 1.řádu
()
()0=− ϕµ
ϕ
ϕ
F
d
dF
s
.
Řešením rovnice získáme sílu . ()
ϕµ
ϕ
s
eCF ⋅=
1
Integrační konstantu C
1
získáme z okrajové podmínky ( )
1
0 FF = , tedy
()
ϕµ
ϕ
s
eFF ⋅=
1

Z vypočteného vztahu lze zodpovědět zadání, že maximální možný rozdíl mezi silami F
1
a F
2

je
() ( )1
1max12
−⋅=−
ϕµ
s
eFFF .












2. ZÁKLADY KINEMATIKY


Kinematika se zabývá popisem pohybu částice nebo tělesa, aniž sleduje příčinné
souvislosti. Jedním ze základních vlastností pohybu je, že jeho popis záleží na volbě
vztažného tělesa. Nelze vyloučit případ, kdy se vztažná soustava souřadnic pohybuje.

2.1. Kinematika hmotného bodu
Poloha hmotného bodu dána polohovým
vektorem.

rd
rdr +
r
2
1
e
3
e
k
j
i

Popis pohybu hmotného bodu - jsou-li
známy hodnoty polohového vektoru ve všech
časových okamžicích.







Kartézská souřadnicová soustava
() () () ( )
() () () () 321 etzetyetxtr
ktzjtyitxtr
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
kde
vektorybázové ,,
vektoryjednotkové ,,
321 eee
kji

Rozepsáno pro jednotlivé souřadnice
() () () ] m [ tyytyytxx ===
Po eliminaci času t z těchto rovnic dostáváme dráhu ( trajektorie ) - křivku, po které
se bod pohybuje
()
()0,,
0,,
2
1
=
=
zyxF
zyxF
} dráha je dána jako průsečnice 2 rovin

Def. 2.1.1.
Rychlost je časová změna (derivace dle času) polohového vektoru r
kzjyixr
dt
rd
t
r
v
t
⋅+⋅+⋅===
∆
∆
=
→∆
&&&&
0
lim

nebo ve složkách ] sm [ , ,
1-
⋅===
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
v
zyx

velikost vektoru rychlosti
222222
zyx
vvvzyxv ++=++= &&&
Stejný výsledek dostaneme, derivujeme-li dráhu dle času.
Důkaz o velikosti vektoru rychlosti:
222
222
222
zyx
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dzdydx
dt
d
dt
ds
v &&& ++=






+






+






=++==
z
y
x
A
e
B
z
y
x
Věta 2.1.1.
Rychlost je vektor a má směr dráhy a velikost rovnou první derivaci podle času
Důkaz o směru
() .bodu do bodu odoblouku délkou nazývá se
cos
cos , cos , cos
0
0
ttrdrddstss
v
ds
dx
dt
ds
ds
ds
dt
dx
dt
dx
v
ds
dz
ds
dy
ds
dx
t
t
x
∫∫
⋅===
⋅=⋅=⋅==
===
α
γβα

Oblouk s je přípustným parametrem křivky a její rovnici lze zapsat () srr=
a ve složkách () () ( ) , , szzsyysxx ===
222
dzdydxrdds ++==
Obdobně cos , cos γβ ⋅=⋅= vvvv
zy


Def. 2.1.2.
Zrychlení je časová změna vektoru rychlosti v
kzjyixrv
dt
vd
a ⋅+⋅+⋅==== &&&&&&&&&
Složky vektoru zrychlení jsou
] sm [ , , ,
-2
⋅====== zvayvaxva
zzyyxx
&&&&&&&&&
Velikost zrychlení
222
zyx
aaaa ++=
Důležité složky vektoru zrychlení
Složka do směru normály k dráze je a
n
,složka do
směru tečny k dráze a
t
.

Z diferenciální geometrie plyne:
V každém bodě prostorové křivky lze určit
trojhran, který je popsán vektorem tečny, vektorem
normály a vektorem binormály . Všechny vektory
mají jednotkovou velikost a platí, že spolu s
uvažovaným bodem určují

x
y
z
()tr
0
B
t
e
b
e
n
e
(
(
(,
,
,
eB
eB
eB )
)
) ,
,
,
n
t
bt
bn
e
e
e
- normálovou rovinu
- rektifikační rovinu
- oskulační rovinu

Tečné zrychlení
()
t
vvv
av
t
tt
∆
∆⋅−∆+
==∆
→∆
ϕcos
lim
0
a protože platí v limitě 1cos →∆ϕ
v
dt
dv
t
v
a
t
t
&==
∆
∆
=
→∆ 0
lim
Věta 2.1.2.
Tečné zrychlení má velikost rovnou derivaci velikost rychlosti podle času

Normálové zrychlení
t
v
av
t
nn
∆
∆⋅
==∆
→∆
ϕsin
lim
0

V limitě platí ϕϕ ∆→∆sin a z obr. a)
R
s
Rs
∆
=∆⇒∆⋅= ϕϕ ∆
kde R je poloměr křivosti dráhy
R
v
t
s
R
v
a
t
n
2
0
lim =
∆
∆
⋅=
→∆

v
vv ∆+
s∆
ϕ∆
R
v
v∆
n
v∆
t
v∆
vv ∆+
ϕ∆
tn vv ∆,
v∆
b) složky ∆ přírůstku rychlosti
do směru normály a tečny
a) vektory rychlosti na dráze bodu po časovém
okamžiku
Věta 2.1.3.
Normálové zrychlení má velikost rovnou čtverci rychlosti dělenému křivostí dráhy a
směr do středu křivosti.
Normálová složka zrychlení se proto nazývá zrychlení dostředivé nebo centripetální.

2.1.1. Přímočarý pohyb
V tomto případě je dráha hmotného bodu přímka. Směr rychlosti je stálý. Zrychlení je
pouze tečné a má směr shodný se směrem rychlosti
Časté jsou případy, kdy ve směru některé osy je konstantní zrychlení nebo nulové.
Budeme předpokládat, že je to směr osy x.
1. Případ nazveme 0=
x
a pohyb přímočarý rovnoměrný ve směru osy x .
dt
dx
v
x
= integrací získáme
0
xtvx
x
+⋅=
kde x
0
je integrační konstanta - počáteční dráha.
pohyb rovnoměrně zrychlený
2. Případ .konsta
x
=
pohyb rovnoměrně zpomalený
kde x
0
( počáteční dráha ) a v
x0
(počáteční rychlost ) jsou integrační konstanty.
dt
dv
a
x
x
= a integrací
0xxx
vtav +⋅=
2
2
dt
xd
a
x
= a dvojí integrací
00
2
2
1
xtvtax
xx
+⋅+⋅=
Obdobné vztahy platí pro osy y,z
Ve zvláštním případě, když pohyb začne současně s počátkem měření času z nulové
polohy nulovou rychlostí platí 0
00
==xv
x
atvats ==
2
1
2

.konsta =
tav ⋅=
2
2
1
tas ⋅=
Charakteristickým příkladem pohybu rovnoměrně zrychleného je volný pád, kde a=g ,
tj. gravitační zrychlení (nebo tíhové zrychlení g=9.81 ms
-2
, mění se se zeměpisnou šířkou ).
Ve směru vodorovném je nulové zrychlení

2.1.2. Křivočarý pohyb bodu
a) Zvláštním případem křivočarého pohybu je pohy