- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Příklady na Lagrangeovy rovnice 2. druhu
X02FY1 - Fyzika 1
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiállsiny. (26)
Lagrangeovafunkcemáprozobecněnousouřadnicinásledujícítvar
L=T −U =
1
2
ml
2
˙ϕ
2
−mglsiny. (27)
Lagrangeovarovniceprozvolenouzobecněnousouřadnicije
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙ϕ
parenrightbigg
−
∂L
∂ϕ
=0. (28)
DerivacíLagrangeovyfunkce(27)dostáváme
∂L
∂˙ϕ
=
1
2
ml
2
2˙ϕ=ml
2
˙ϕ. (29)
Ještězderivujemevýraz(29)podlečasu
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙ϕ
parenrightbigg
=
dml
2
˙ϕ
dt
=ml
2
¨ϕ. (30)
Dále
∂L
∂ϕ
=−mglcosϕ. (31)
Dosazenímvýrazů(30)a(31)doLagrangeovyrovnice(28)dostaneme
ml
2
¨ϕ+mglcosϕ=0. (32)
Rovnici(32)podělímevýrazemml
2
¨ϕ+
g
l
cosϕ=0. (33)
Rovnice(33)popisujepohyboboublokůspojenýchtyčí(pohybovárovnice).
Příklad
PomocíLagrangeovýchrovnicpopištepohybkuličky,kterásebeztřenípohybujeuvnitřtrubicevlivem
jejírotacekolemosyz,tj.trubicerotujevrovině(x, y),vizobrázek3.Hmotnostkuličkyjemaúhlová
rychlostrotacejeω=konst..
4
x
ϕ
y
r
O
Obrázek3:Pohybkuličkyvrotujícítrubici.
Řešení
Jelikožsekuličkapohybujevrovině,stačínámkurčeníjejípolohypouzedvěsouřadnice.Zvolíme-lisi
polárnísouřadnice,paksouřadniciϕurčímepomocívztahuϕ=ωt,takžezbýváurčitjensouřadnicir,
vizobr.3.Jednásetedyopohybjensjednímstupněmvolnosti, s=1.Vzhledemktomu,žetrubice
rotujevrovině,jednásetuodvěholonomnívazby(vazebnípodmínky).Jednavazebnípodmínkasouvisí
stím,žesejednáopohybrovinný(skleronomní),kdežtodruhávazebnípodmínkasouvisísrotujícím
pohybemtrubice(vazbou),tudížjeexplicitněčasovězávislá,tj.jednáseovazburheonomní.
Nazákladěobrázku3siurčímekartézskésouřadnicekuličky
x=rcosϕ=rcosωt , (34)
y=rsinϕ=rsinωt . (35)
Zderivujemevztahy(34)a(35),čímždostanemesložkyrychlostihmotnéhobodu
2
v
x
=˙x=˙rcosωt−rωsinωt , (36)
v
y
=˙y=˙rsinωt+rωcosωt , (37)
AbychomurčiliLagrangeovufunkci L = T − U,musímenejdříveurčitkinetickou T apotenciální U
energii.Prokinetickouenergiimůžemepsát,že
T =
1
2
mv
2
=
1
2
m(v
2
x
+v
2
y
)=
1
2
m(˙x
2
+˙y
2
). (38)
Zasložkyrychlostivrovnosti(38)dosadímevýrazy(36)a(37),čímždostáváme
T =
1
2
m(˙rcosωt−rωsinωt)
2
+
1
2
m(˙rsinωt+rωcosωt)
2
=
1
2
m˙r
2
(sin
2
ωt+cos
2
ωt)
bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
=1
+
1
2
mr
2
ω
2
(sin
2
ωt+cos
2
ωt)
bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
=1
=
1
2
m(˙r
2
+r
2
ω
2
). (39)
2
Přiderivováníjetřebasiuvědomit,žezobecněnásouřadnicejefunkcíčasur=r(t)ažeúhlovárychlostjekonstantní
ω=konst..
5
Vzhledemktomu,žepohybsedějevrovině,jepotenciálníenergiekonstantní,bezújmynaobecnosti
budemepotenciálníenergiipokládatzanulovou, U =0.PotomLagrangeovafunkcesepřímorovná
kinetickéenergii
L=T −U =T −0=T =
1
2
m(˙r
2
+r
2
ω
2
). (40)
VnašempřípaděbudemítLagrangeovarovnicetvar
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙r
parenrightbigg
−
∂L
∂r
=0. (41)
DerivacíLagrangeovyfunkce(??)dostáváme
∂L
∂˙ϕ
=
1
2
m2˙r=m˙ϕ. (42)
Ještězderivujemevýraz(42)podlečasu
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙r
parenrightbigg
=
dm˙r
dt
=m¨r. (43)
Dále
∂L
∂r
=
1
2
m2rω
2
=mω
2
r. (44)
Dosazenímvýrazů(43)a(44)doLagrangeovyrovnice(41)dostaneme
m¨r −mω
2
r=0. (45)
Rovnici(45)podělímehmotností,čímždostaneme
¨r −ω
2
r=0. (46)
Rovnice(46)popisujepohybkuličkyvrotujícítrubici(pohybovárovnice).
Příklad
Uvažujmemechanickousoustavu,kterájezachycenanaobrázku4.Jednáseovozík,kterýsepohybuje
beztřeníahmotnostjehokolzanedbáváme.HmotnostvozíkuoznačímeM.Natomtovozíkujeumístěno
matematickékyvadlo,tj.kyvadlosnehmotnýmzávěsemdélkyl,najehožkoncisenacházídrobnákulička
(hmotnýbod)ohmotnostim.Včaset=0senacházíuvažovanýmechanickýsystémvklidu.Vtomto
časejekuličcematematickéhokyvadlaudělenapočátečnírychlostv
0
.Uvažovanýsystémjetímtouveden
dopohybuanašímúkolemjevyšetřitpohybmatematickéhokyvadlaavozíku,přičemžpředpokládáme,
žepromaximálníúhlovouvýchylkumatematickéhokyvadlaplatíϕ
max
lessorsimilar5
◦
.
Řešení
Nynísivyjádřímepolohuvozíkuakul
Vloženo: 23.04.2009
Velikost: 85,32 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X02FY1 - Fyzika 1
Reference vyučujících předmětu X02FY1 - Fyzika 1
Podobné materiály
- X01ALG - Úvod do algebry - Řesene priklady
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce a jejich derivace
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení algebra,mno·iny, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce, limity
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení integrály
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešenínevlastní integrály, aplikace, optimalizace, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady k procvičení Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení Laplaceova transformace, řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení obyčejné diferenciální rovnice
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Fourierovi řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Sobotíková
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené příklady ke zkoušce Sobotíková
- X02FY1 - Fyzika 1 - Další příklady Bednařík
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady a řešení
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z materiálů
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z přednášek
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady ke zkoušce
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 1
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 2
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Vypracované příklady
- 01M4 - Matematika 4 - Řešené příklady z pravděpodobnosti
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady II
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady III
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady z přednášek
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené písemkové příklady Kalousova
- 01M2 - Matematika 2 - ukazkove priklady ku skuske
- 01UA - Úvod do algebry - pisomkove priklady s riesenim uloh
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - tahak na priklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - riesene priklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - priklady aj s odpovedami
- X17TEP - Teorie elektromagnetického pole - priklady ku skuske odporucane a prepocitane
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku ina varianta
- X34ESS - Elektronické součástky a struktury - priklady
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- 01M2 - Matematika 2 - riesene priklady z laplacky
- X01ALG - Úvod do algebry - riesene priklady
- A0B01PSI - Pravděpodobnost, statistika a teorie informace - TI - příklady
- A3B02FY1 - Fyzika 1 pro KyR - Maxwellovy rovnice
Copyright 2024 unium.cz