- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálŘešení příkladů z algebry od Ing. Kalousové. Zpracoval: Milan Rozsíval
e-mail: rozsim1@fel.cvut.cz
Týden 29. – 5. října
1. Gaussovou eliminací řešte soustavu:
x + 2y - 3z = 7
2x - 3y + z = 0
x - y + 2z = -1
;2237237;1122;1
2
2
7
200
110
321
8
2
7
530
110
321
8
14
7
530
770
321
1
0
7
211
132
321
=−−=−+==−=+=−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
yzxzyz
Řešením je tedy vektor: ()( )1,1,2,, −=zyx
2. Gaussovou eliminací řešte soustavu:
2x - 3y + 2z = 1
x + 2y - z = 2
3x - y + z = 3
2
~
;2
0
3
2
000
470
121
3
3
2
470
470
121
3
1
2
113
232
121
3
2
1
113
121
232
==
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
AhodAhod
⇒ podle Frobeniova pravidla má soustava řešení, má jich dokonce nekonečně
mnoho, neboť jedna neznámá je volná, a sice z:
z volím, y a x dopočtu:
Řešení nehomogenní soustavy:
121222;1
7
43
7
43
;1 =−+=−+==
−
−−
=
−
−−
=⇒= yzx
z
yz
U nehomogenní soustavy postačí určit jedno řešení: ( )1,1,1
Řešení přidružené homogenní soustavy:
7
1
7
8
12;
7
4
7
4
7
4
;1
0
0
0
000
470
121
−=−=−==
−
−
=
−
−
=⇒=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
yzx
z
yz
U homogenní soustavy určujeme všechna řešení jimiž je lineární obal
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 1,
7
4
,
7
1
Množinou řešení celé soustavy rovnic je množina: ()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+ 1,
7
4
,
7
1
1,1,1
Řešením je vektor:
()() Rzyx ∈∀
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+= αα 1,
7
4
,
7
1
1,1,1,,
3. Gaussovou eliminací řešte soustavu:
3x - y + 2z = 4
2x + 3y - z = 4
x - 4y + 3z = 4
3
~
;2
4
4
4
000
7110
341
8
4
4
7110
7110
341
4
4
4
213
132
341
4
4
4
341
132
213
==
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
AhodAhod
⇒ podle Frobeniova pravidla nemá soustava žádné řešení
4. Spočtěte:
(3x
3
- 2x
2
+ x - 4) + (2x
5
- x
4
+ 2x
2
+ 1)
()
3-xx3x-x2
1 2xx-2x
4-x2x-3x
345
245
23
++
+++
+
5. Spočtěte:
(x
3
- x
2
+ 2x - 3) · (x
2
- 2x + 2)
()( )( )( ) ( )
610963
66434222212
2345
2345
−+−+−=
−+⋅++⋅−−−+⋅+++⋅−−+=
xxxxx
xxxxx
Týden 6. – 12. října
1. Vydělte (se zbytkem) polynom P(x) polynomem Q(x), jestliže:
P(x) = x
5
+ 3x
4
- 2x
2
+ 1 a Q(x) = x
3
+ 2
( ) ( )
()
()
164:.
63
143
2
32x:12x3xx
2
4
24
25
23245
+−−
+−
+−
+−
+=++−+
xxZb
xx
xx
xx
xx
2. Vydělte (se zbytkem) polynom P(x) polynomem Q(x), jestliže:
P(x) = x
5
+ 2x
4
+ 3x
3
- 2x - 3 a Q(x) = x
3
- 2
( ) ( )
()
()
()
322:.
63
3223
42
32232
2
322 x:3 2x 3x 2x x
2
3
23
4
234
25
23345
++
−−
−++
−−
−−++
−−
++=−−−++
xxZb
x
xxx
xx
xxxx
xx
xx
3. Rozložte na součin kořenových činitelů polynom:
P(x) = x
4
– 6x
2
+ 8
Substituce: y = x
2
⇒ y
2
– 6y + 8 ⇒ řešení kvadratické rovnice
;2;2;2;2
;2;4
2
8466
086
43212,14,3,2,1
21
2
2,1
2
−==−==⇒±=
==⇒
⋅−±
=
=+−
xxxxyx
yyy
yy
Rozklad:
() ( )( )( ) ( )2222 +⋅−⋅+⋅−= xxxxxP
4. Rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů polynom:
P(x) = x
6
– 64
Řešení pomocí binomické věty: x
6
– 64 = 0
()( )
{}
()()
()()
31
2
3
2
1
2
3
5
sin
3
5
cos2
31
2
3
2
1
2
3
4
sin
3
4
cos2
2012sincos2
31
2
3
2
1
2
3
2
sin
3
2
cos2
31
2
3
2
1
2
3
sin
3
cos2
20120sin0cos2
5,4,3,2,1,0
3
26;26464
2sin2cos646sin6cos
64
5
4
3
2
1
0
6
6
6
6
jjjx
jjjx
jjx
jjjx
jjjx
jjx
k
k
kxx
kjkjx
x
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
−=+−⋅=+⋅=
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
=+⋅=+⋅=
∈∀=⇒===⇒=
+⋅=+⋅
=
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
π
ϕπϕ
ππϕϕ
Kořenové činitele s komplexně sdruženými kořeny vynásobíme:
()()()( )
()()()() 42313131
42313131
2
2
2
2
2
2
++=−+=++⋅−+
+−=−−=+−⋅−−
xxjxjxjx
xxjxjxjx
Rozklad:
() ( )( )( ) ( )424222
22
++⋅+−⋅+⋅−= xxxxxxxP
5. Rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů polynom:
P(x) = x
8
- 256
Řešení pomocí binomické věty: x
8
– 256 = 0
()( )
{}
()()
()
()()
()
22
2
2
2
2
2
4
7
sin
4
7
cos2
2102
2
3
sin
2
3
cos2
22
2
2
2
2
2
4
5
sin
4
5
cos2
2012sincos2
22
2
2
2
2
2
4
3
sin
4
3
cos2
2102
2
sin
2
cos2
22
2
2
2
2
2
4
sin
4
cos2
20120sin0cos2
7,6,5,4,3,2,1,0
48
2
;2256
2sin2cos2568sin8cos
256
7
6
5
4
3
2
1
0
8
8
8
jjjx
jjjx
jjjx
jjx
jjjx
jjjx
jjjx
jjx
k
kk
x
kjkjx
x
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
−=−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
−=+−⋅=+⋅=
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
=+⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅=
=+⋅=+⋅=
∈∀====
+⋅=+⋅
=
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
ϕ
ππϕϕ
Kořenové činitele s komplexně sdruženými kořeny vynásobíme ⇒ získáme tím
polynomy 2 stupně s reálnými koeficienty:
()()()( )
()() ()
()()()() 422222222
4222
422222222
2
22
222
2
22
++=−+=++⋅−+
+=−=+⋅−
+−=−−=+−⋅−−
xxjxjxjx
xjxjxjx
xxjxjxjx
Rozklad:
() ( )( )( ) ( ) ( )422442222
222
++⋅+⋅+−⋅+⋅−= xxxxxxxxP
Týden 13. – 19. října
1. Pomocí Hornerova schématu a vztahu mezi racionálními kořeny a koeficienty u
nejvyšší a nejnižší mocniny polynomu s celočíselnými koeficienty rozložte na součin
kořenových činitelů polynom:
P(x) = 2x
4
– 9x
3
+ 14x
2
– 9x + 2
podle vztahu mezi racionálními kořeny a celočíselnými koeficienty polynomu
() () nxPstaxaxaxP
n
n
=+⋅++⋅=
01
K
platí
n
aqapkde
q
p
x /;/
0
=
⇒ jako racionální kořeny připadají v úvahu: ;
2
1
;
2
1
;2;2;1;1 −−−
pomocí Hornerova schématu vypočítáme hodnotu polynomu P v těchto bodech:
2 -9 14 -9 2 1(kořen)
2 -7 7 -2
2 -7 7 -2 0
Polynom P(x) je dělitelný polynomem (x – 1) jako vedlejší produkt Hornerova
schématu jsme dostali podíl 2x
3
– 7x
2
+ 7x – 2. Pro tento polynom pokračujeme ve
výpočtu pomocí Hornerova schématu:
2 -7 7 -2 1(kořen)
2 -5 2
2 -5 2 0
Polynom 2x
2
– 5x + 2 rozložíme jako kvadratický trojčlen:
2
1
;2
4
224255
0252
212,1
2
==⇒
⋅⋅−±
=
=+−
xxx
xx
Rozklad polynomu:
() ( ) ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅−⋅−=
2
1
21
2
xxxxP
2. Pomocí Hornerova schématu a vztahu mezi racionálními kořeny a koeficienty u
nejvyšší a nejnižší mocniny polynomu s celočíselnými koeficienty rozložte na součin
kořenových činitelů polynom:
P(x) = 3x
5
- 5x
4
- 2x
3
- 42x
2
+ 31x + 15
Podle vztahu mezi racionální kořeny a celočíselnými koeficienty polynomu:
n
aqapkde
q
p
x /;/
0
= připadají v úvahu jako racionální kořeny:
;
3
5
;
3
5
;
3
1
;
3
1
;5;5;3;3;1;1 −−−−−
Pomocí Hornerova schématu vypočteme hodnotu P v těchto bodech, jako vedlejší
produkt v případě že P(x) = 0 dostaneme podíl.:
3 -5 -2 -42 31 15 1(kořen)
3 -2 -4 -46 -15
3 -2 -4 -46 -15 0
3 -2 -4 -46 -15 1
3 1 -3 -49
3 1 -3 -49 -64
3 -2 -4 -46 -15 -1
-3 5 -1 47
3 -5 1 -47 32
3 -2 -4 -46 -15 3(kořen)
9 21 51 15
3 7 17 5 0
3 7 17 5 3
9 48 195
3 16 65 200
3 7 17 5 -3
-9 6 -69
3 -2 23 -64
3 7 17 5 -5
-15 40 -285
3 -8 57 -280
3 7 17 5 -1/3(kořen)
-1 -2 -5
3 6 15 0
Polynom 3x
2
+ 6x + 15 rozložíme jako kvadratický trojčlen:
⇒
⋅⋅−±−
=
=++
6
1534366
01563
2,1
2
x
xx
Vyjdou komplexní kořeny a tím pádem je polynom 3x
2
+ 6x + 15 dále nerozložitelný.
Rozklad polynomu P(x):
() ( )( ) ()1563
3
1
31
2
++⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅−⋅−= xxxxxxP
3. Pomocí Hornerova schématu a vztahu mezi racionálními kořeny a koeficienty u
nejvyšší a nejnižší mocniny polynomu s celočíselnými koeficienty rozložte na součin
ireducibilních reálných polynomů polynom:
P(x) = 2x
5
+ 3x
4
– x
3
+ x
2
– 3x – 2
Předpokládáme-li že má polynom P(x) racionální kořeny, pak pro ně platí vztah:
;/;/
0 n
aqapkde
q
p
x = a
0
je absolutní člen, a
n
koeficient u nejvyšší mocniny x
Jako kořeny polynomu P připadají v úvahu: ;
2
1
;
2
1
;2;2;1;1 −−−
Dělení polynomu P(x) polynomy (x – (adept na kořen)):
2 3 -1 1 -3 -2 1(kořen)
2 5 4 5 2
2 5 4 5 2 0
2 5 4 5 2 1
2 7 11 16
2 7 11 16 18
2 5 4 5 2 -1
-2 -3 -1 -4
2 3 1 4 -2
2 5 4 5 2 -2(kořen)
-4 -2 -4 -2
2 1 2 1 0
2 1 2 1 -1/2(kořen)
-1 0 -1
2 0 2 0
Polynom 2x
2
+ 2 má pouze komplexní kořeny ⇒ je dále nerozložitelný.
Rozklad polynomu P(x) vypadá tedy takto:
() ( )( ) ()22
2
1
21
2
+⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅+⋅−= xxxxxP
4. Pomocí Hornerova schématu a vztahu mezi racionálními kořeny a koeficienty u
nejvyšší a nejnižší mocniny polynomu s celočíselnými koeficienty rozložte na součin
ireducibilních reálných polynomů polynom:
P(x) = x
7
+ x
6
- 5x
5
- 11x
4
+ 22x
2
+ 24x + 8
Předpokládáme-li racionální kořeny polynomu P(x) pak pro ně platí:
;/;/
0 n
aqapkde
q
p
x = ⇒ možné kořeny: 1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8;
Výpočet dělení polynomu P kořenovým činitelem (x – (možný kořen)) podle
Hornerova schématu:
1 1 -5 -11 0 22 24 8 1
1 2 -3 -14 -14 8 32
1 2 -3 -14 -14 8 32 40
1 1 -5 -11 0 22 24 8 -1(kořen)
-1 0 5 6 -6 -16 -8
1 0 -5 -6 6 16 8 0
1 0 -5 -6 6 16 8 -1(kořen)
-1 1 4 2 -8 -8
1 -1 -4 -2 8 8 0
1 -1 -4 -2 8 8 -1(kořen)
-1 2 2 0 -8
1 -2 -2 0 8 0
1 -2 -2 0 8 -1
-1 3 -1 1
1 -3 1 -1 9
1 -2 -2 0 8 2(kořen)
2 0 -4 -8
1 0 -2 -4 0
1 0 -2 -4 2(kořen)
2 4 4
1 2 2 0
Polynom x
2
+ 2x + 2, který zbyl jako podíl lze rozložit jako kvadratický trojčlen:
jx
xx
±−=
⋅−±−
=
=++
1
2
2442
022
2,1
2
Řešením vyšly imaginární kořeny ⇒ tento polynom se již nedá rozložit na polynomy
s reálnými koeficienty.
Rozklad polynomu P(x):
() ( ) ( ) ()2221
2
23
++⋅−⋅+= xxxxxP
5. Spočtěte:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
−
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
−
⋅+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
−
213
318
321
835
402
2210
642
624
211
112
321
211
201
115
321
312
2
211
112
321
211
6. Spočtěte:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
−
⋅
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
1102
3743
2532
1012
1321
1211
111
012
011
1 -1 2 2 -1 3
-1 2 -3 + 2 1 -2 3
2 -1 -1 -5 1 -1
1 -1 2 1 0 -2
1 -1 0 1 -1 2 1
-2 1 0 ⋅ -1 2 -3 -1
1 1 1 2 -1 0 -1
7. Spočtěte:
2 -1 3 1 -1 2
1 -2 3 · -1 1 0
-2 1 -1 0 1 -1
1 0 -2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
⋅
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
−
431
323
103
103
110
011
211
201
112
321
312
Týden 20. – 26. října
1. Najděte inversní matici k matici:
1 0 -1
A = 0 1 1
1 1 1
Úprava Gauss-Jordanovou eliminací:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
111
121
110
100
010
001
111
010
001
100
110
101
101
010
001
210
110
101
100
010
001
111
110
101
Inversní matice k matici A:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
=
−
111
121
110
1
A
2. Najděte inversní matici k matici:
A =
Gauss-Jordanova eliminace:
1 1 -1 0
0 -1 2 1
1 2 1 0
1 3 -1 1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
−
≈
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−−
≈
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
2
1
2
1
2
1
8
1
8
3
8
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
8
3
8
1
8
3
4
5
2
1
2
1
2
1
8
1
8
3
8
1
4
1
8
2
8
6
8
6
2
1
8
1
8
3
8
7
4
5
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
01000
0100
0010
0001
01000
0100
1010
1001
0
1
0010
0011
1000
0400
1210
1101
1110
0111
0010
0011
2000
1400
1210
1101
1021
0111
0010
0011
3400
1400
1210
1101
1001
0101
0010
0011
1020
0210
1210
1101
1000
0100
0010
0001
1131
0121
1210
0111
Inversní matice k matici A:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
−
=
−
2
1
2
1
2
1
8
1
8
3
8
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
8
3
8
1
8
3
4
5
1
0
A
3. Přímo z definice determinantu spočtěte determinant matice:
A =
Definice determinantu:
()
() () ()∑
⋅⋅⋅⋅−==
π
πππ nn
p
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A ......1det
2211
21
22221
11211
L
MOMM
L
L
Kde π je tzv. permutace, neboli prosté zobrazení množiny { }n,3,2,1 L do množiny
a p je počet inverzí permutace π, což znamená, že pokud permutace π
přiřadí prvkům (1,2,3,4) např.: prvky (3,2,1,4), pak, je inverze to že, číslo 3 předbíhá
2, 3 je před 1 a 2 je před 1 ⇒ počet inverzí p = 3.
{n,3,2,1 L }
⇒ Součin, který odpovídá této permutaci je:
()
() () () () 4431221344332211
3
1 aaaaaaaa ⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅−
ππππ
Matice A je řádu 4 ⇒ počet všech permutací π je P(4) = 4! = 24.
Vypíšeme všechny permutace do tabulky:
Permutace π: Počet inverzí p: Znaménko: Součin: Výsledek:
(1,2,3,4) 0 + a
11
a
22
a
33
a
44
2
(1,2,4,3) 1 - -a
11
a
22
a
34
a
43
0
(1,3,2,4) 1 - -a
11
a
23
a
32
a
44
0
(1,3,4,2) 2 + a
11
a
23
a
34
a
42
0
(1,4,2,3) 2 + a
11
a
24
a
32
a
43
0
(1,4,3,2) 3 - -a
11
a
24
a
33
a
42
0
(2,1,3,4) 1 - -a
12
a
21
a
33
a
44
0
(2,1,4,3) 2 + a
12
a
21
a
34
a
43
0
(2,3,1,4) 2 + a
12
a
23
a
31
a
44
0
(2,3,4,1) 3 - -a
12
a
23
a
34
a
41
0
(2,4,1,3) 3 - -a
12
a
24
a
31
a
43
0
(2,4,3,1) 4 + a
12
a
24
a
33
a
41
0
(3,1,2,4) 2 + a
13
a
21
a
32
a
44
0
(3,1,4,2) 3 - -a
13
a
21
a
34
a
42
0
(3,2,1,4) 3 - -a
13
a
22
a
31
a
44
2
(3,2,4,1) 4 + a
13
a
22
a
34
a
41
0
(3,4,1,2) 4 + a
13
a
24
a
31
a
42
0
(3,4,2,1) 5 - -a
13
a
24
a
32
a
41
0
(4,1,2,3) 3 - -a
14
a
21
a
32
a
43
0
(4,1,3,2) 4 + a
14
a
21
a
33
a
42
0
(4,2,1,3) 4 + a
14
a
22
a
31
a
43
0
(4,2,3,1) 5 - -a
14
a
22
a
33
a
41
0
(4,3,1,2) 5 - -a
14
a
23
a
31
a
42
-2
(4,3,2,1) 6 + a
14
a
23
a
32
a
41
0
1 0 1 -1
0 -1 -1 0
1 0 -1 0
0 2 0 2
det A = 2
4. Spočtěte determinant matice:
A =
1 2 1
2 -1 1
1 2 -1
()() () ()
10421421
122121111221112111
121
112
121
det
=+−+++
=−⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅+−⋅−⋅=
−
−=A
Týden 31. října – 6. listopadu
1. Spočtěte determinant matice A a determinant matice A
-1
, kde:
A =
Matici pro výpočet determinantu upravíme pomocí řádkových úprav, abychom získali
co nejvíc nul, popřípadě Gaussovou eliminací upravíme matici na trojúhelníkovou:
1 2 1 -1
2 -1 -1 2
1 1 -1 2
1 2 1 2
3000
11700
3210
1121
3000
4350
3210
1121
3000
3210
4350
1121
2121
2111
2112
1121
−
−
−
=
−−
−−
−
−=
−−
−−
−
=
−
−−
−
Determinant trojúhelníkové matice se vypočte jako součin prvků na hlavní diagonále:
det A = 213711 =⋅⋅⋅
det A
-1
=
21
1
det
1
=
A
2. Spočtěte determinant matice A a determinant matice A
-1
, kde:
A =
Matici upravíme řádkovými úpravami, abychom získali co nejvíc nul, pak vypočteme
determinant rozvojem podle řádku (nebo sloupce) s největším počtem nul:
1 2 1 1
2 -1 1 -1
1 2 -1 2
1 -1 1 -2
=
−−
−
−−
=
−−
−
−−−
=
−−
−
−−
3030
1200
0120
1121
3030
1200
3150
1121
2111
2121
1112
1121
(rozvoj podle 1. sloupce)=
9312
303
120
012
1 −=+−=
−−
−
−−
⋅=
det A = 9−
det A
-1
=
9
1
det
1
−=
A
3. Najděte inversní matici k matici A, kde p ∈ R:
A =
Pro čtvercovou matici řádu 3 s parametrem je výhodnější použít pro výpočet inversní
matice vztahu:
1 p + 1 2
p 2p p + 2
1 p + 1 p + 3
T
B
A
A ⋅=
−
det
1
1
Kde matice B je takzvaná matice doplňků, jejíž jednotlivé členy na pozici i, j se
vypočtou ze vztahu:
()
ij
ji
ij
Ab det1 ⋅−=
+
a matice A
ij
je matice, která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého
sloupce.
Spočteme determinant matice A pomocí Sarrusova pravidla:
()()() () ()()()()
()
1100det
123344222362
21314122132
311
22
211
det
23223222
−=∨=∨=⇔=
−=+−=−−−−−−−++++++=
=+⋅+−+⋅+⋅−−+⋅++⋅+++⋅=
++
+
+
=
pppA
pppppppppppppppp
pppppppppppp
pp
ppp
p
A
Pro hodnoty p = 0; 1; -1 je det A = 0 ⇒ matice A je singulární a A
-1
neexistuje.
Pro p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 spočteme inversní matici A
-1
, nejprve však budeme muset
vypočítat jednotlivé prvky matice doplňků:
()
()
()
()
()
()
()
()
() pp
pp
p
b
p
pp
b
pp
pp
p
b
p
p
b
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 494,89 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - riesene priklady
- 01M2 - Matematika 2 - riesene priklady z laplacky
- X01ALG - Úvod do algebry - Řesene priklady
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce a jejich derivace
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení algebra,mno·iny, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce, limity
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení integrály
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešenínevlastní integrály, aplikace, optimalizace, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady k procvičení Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení Laplaceova transformace, řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení obyčejné diferenciální rovnice
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Fourierovi řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Sobotíková
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené příklady ke zkoušce Sobotíková
- X02FY1 - Fyzika 1 - Další příklady Bednařík
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady a řešení
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady na Lagrangeovy rovnice 2. druhu
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z materiálů
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z přednášek
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady ke zkoušce
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 1
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 2
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Vypracované příklady
- 01M4 - Matematika 4 - Řešené příklady z pravděpodobnosti
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady II
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady III
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady z přednášek
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené písemkové příklady Kalousova
- 01M2 - Matematika 2 - ukazkove priklady ku skuske
- 01UA - Úvod do algebry - pisomkove priklady s riesenim uloh
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - tahak na priklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - priklady aj s odpovedami
- X17TEP - Teorie elektromagnetického pole - priklady ku skuske odporucane a prepocitane
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku ina varianta
- X34ESS - Elektronické součástky a struktury - priklady
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- A0B01PSI - Pravděpodobnost, statistika a teorie informace - TI - příklady
Copyright 2024 unium.cz